📝 Интегрирование по частям. Геометрический смысл наглядно

Формула интегрирования по частям записывается как: ∫ u · dv = u·v − ∫ v · du . По сути это лайфхак, который проходят на первом курсе физ-мата. И с помощью этой формулы студенты (или продвинутые школьники) уничтожают интегралы, которых нет в таблицах. Формула позволяет заменить один интеграл на другой, часто более простой для вычисления. Впервые этот метод опубликован в 1715 году в труде «Methodus Incrementorum Directa et Inversa» английским математиком Бруком Тейлором. Позже приоритет оспаривал Иоганн Бернулли, но первая печатная работа принадлежит Тейлору.

Геометрический смысл формулы становится ясным при рассмотрении кривой в координатах (u, v), где u и v связаны параметрически.
▪️ Определённый интеграл ∫ u dv от v₁ до v₂ равен площади фигуры под кривой (горизонтальные полосы).
▪️ Интеграл ∫ v du от u₁ до u₂ равен площади фигуры слева от той же кривой (вертикальные полосы).
▪️ Рассмотрим прямоугольник с вершинами (0,0), (u₂,0), (u₂,v₂), (0,v₂). Его площадь равна u₂·v₂.
▪️ Прямоугольник с вершинами (0,0), (u₁,0), (u₁,v₁), (0,v₁) имеет площадь u₁·v₁.
Разность этих площадей: u₂·v₂ − u₁·v₁ равна сумме двух криволинейных площадей: ∫ u dv (от v₁ до v₂) + ∫ v du (от u₁ до u₂)

Отсюда: ∫ u dv (от v₁ до v₂) = u₂·v₂ − u₁·v₁ − ∫ v du (от u₁ до u₂).Это и есть формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Таким образом, формула выражает геометрический баланс: площадь под кривой плюс площадь слева от кривой равны разности площадей двух опорных прямоугольников. Никаких дополнительных построений не требуется. #математика #подборка_книг #math #высшая_математика #математический_анализ #алгебра #calculus

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⚙️ График, который получается в результате таких манипуляций — трохоида, у которой опорная поверхность не плоская, а имеет переменный радиус кривизны. По сути это совокупность эпитрохоид, построенных на поверхности с переменным радиусом кривизны.

Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:

x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)

Для эпициклоиды уже сложнее:

x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)

где m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует).
Ну а если тут положить R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.

❓Математические вопросы для наших подписчиков:
▪️ Попробуйте выразить явную зависимость y(x). Получится у вас это сделать?
▪️ На видео видно, что мы получаем семейство кривых, которые после каждого полного «круга» немного смещаются. Для этого смещения обязательно ли число зубьев на маленьком колесе и число зубьев на опорной кривой должны быть взаимно простыми числами? Или достаточно лишь того, чтобы они отличались хотя бы на 1 ?

➰ Красота параметрических кривых

⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе

🕑 Экстремальная задача на смекалку

#математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📈 Наглядный пример того, как точность разложения влияет на совпадение графика и частичной суммы разложения

eˣ ≈ 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n!

#математика #опыты #геометрия #gif #анимация #видеоуроки #math #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📝 📝📝 Комплексные числа: от ереси до триумфа

Формула, которую мы сегодня воспринимаем как изящную истину — eⁱˣ = cos(x) + i·sin(x) , — рождалась в атмосфере неприятия. Само понятие «мнимый» было введено как насмешка.

▪️ 1. Кардано и «софистические» корни
В 1545 году Джероламо Кардано в «Ars Magna» рассматривал задачу: разделить 10 на две части так, чтобы их произведение равнялось 40. Решение 5 + √(−15) и 5 − √(−15) он назвал «столь же утончённым, сколь и бесполезным», сопроводив заметку: «Оставив моральные терзания, перемножьте их». Он перемножил — и получил 40. Так мнимые величины впервые дали вещественный результат, оставаясь за гранью понимания.

▪️2. Бомбелли и кубический прорыв
Рафаэль Бомбелли в 1572 году столкнулся с неприводимым случаем кубического уравнения x³ = 15·x + 4. Формула Кардано давала: x = ∛(2 + √−121) + ∛(2 − √−121).
Вместо того чтобы отбросить выражение как бессмысленное, Бомбелли предположил, что ∛(2 + √−121) = 2 + √−1, и аналогично для сопряжённого. Сложив, он получил x = 4 — верный вещественный корень. Это был первый случай, когда путешествие через невозможное привело к строгой истине.

▪️3. Лейбниц и парадокс логарифмов
Около 1700 года Лейбниц натолкнулся на равенство, которому сам отказывался верить: ln(−1) / √−1 = π.
Он писал Гюйгенсу, что мнимые величины — это «почти амфибия между бытием и небытием». Сама идея, что логарифм отрицательного числа может дать чисто мнимое значение, а после деления — фундаментальную константу π, казалась ему подозрительной. Сегодня мы знаем, что Ln(−1) = i·π + 2·π·i·k, и это многозначность доставляла Лейбницу почти мистический ужас.

▪️4. Ошибка Эйлера и многозначность
Эйлер ввёл формулу eⁱˣ = cos(x) + i·sin(x) и считал, что ln z определён однозначно, как для вещественных чисел. В 1749 году он писал: «Каждое число имеет только один логарифм». Лишь позже выяснилось, что уравнение eʷ = z имеет бесконечно много решений из-за периодичности. След этого недоразумения живёт в соблазне написать: i = ln(cos(x) + i·sin(x))/x, забывая, что правая часть зависит от выбора ветви и уже содержит i.

▪️5. Подвох: i = √(−1) или i² = −1?
Элементарное определение i = √(−1) влечёт опасное следствие. Формально: −1 = i² = √(−1) · √(−1) = √((−1)(−1)) = √1 = 1.
Ошибка в том, что тождество √a · √b = √(ab) верно лишь для вещественных неотрицательных a и b, но в комплексной области оно нарушается. Именно поэтому корректное определение — i² = −1, а не i = √(−1) как арифметический радикал.

▪️Арган, Гаусс и исчезновение мистики
Жан-Робер Арган в 1806 году и независимо Гаусс в 1831 ввели геометрическую интерпретацию — комплексную плоскость. Гаусс писал: «Если бы 1, −1 и √−1 назывались не положительной, отрицательной и мнимой единицами, а прямой, обратной и боковой, то едва ли возникла бы та тёмная мистика, которая их окружала». Название «мнимые» — исторический курьёз, а не математический факт.

▪️7. Малоизвестный факт: формула Эйлера до Эйлера
Роджер Котс, работавший с Ньютоном, в 1714 году получил соотношение: ln(cos(φ) + i·sin(φ)) = i·φ.
Это эквивалентно формуле Эйлера, но записано в логарифмической форме. Эйлер опубликовал свою показательную версию лишь в 1748 году. Котс умер в 33 года, и его результат остался почти незамеченным.

📜 Как человечество покоряло алгебраические уравнения

📝 Формула Эйлера: из тригонометрического в показательный вид

Самая красивая математическая формула

Комплексные числа — единственная система, где каждое алгебраическое уравнение имеет корень, где анализ обретает цельность, а вращение становится умножением. То, что начиналось как софистическая фикция, оказалось неизбежностью мышления. #математика #math #наука #science #тфкп #mathematics

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⌛ Отображения функции в окружности [ Mapping Functions to a Circle ]

«Деление = 150» означает, что на окружности круга имеется 150 равномерно расположенных точек. Окружность здесь на самом деле представляет собой просто числовую линию, заключенную в круг с использованием функции деления по модулю (x mod 150). Выбирается точка «x» , умножается на некоторый коэффициент, получается новая точка «y». Координаты этих точек соединяются в линию. Огибающая этих отрезков создает красивые узоры. Это связано с эпициклоидами и отражениями света внутри кружки.

Две формы, которые вы, скорее всего, увидите в своей кружке, — это кардиоида (y = x * 2,000) («Кардио» означает «сердце», а «-oid» означает «подобный», поэтому «кардиоида» означает «похожий на сердце») (Кардиоид выглядит как сердце) и нефроид (y = x * 3,000) («Нефро» означает «почка», поэтому «Нефроид» означает «похожий на почку») (Нефроид выглядит как почка). #математика #опыты #геометрия #gif #анимация #видеоуроки #math #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

Эксперт — это человек, который совершил все возможные ошибки в очень узкой специальности».

— Нильс Хенрик Давид Бор — датский физик-теоретик и общественный деятель, один из основоположников современной квантовой механики. Лауреат Нобелевской премии по физике 1922 года «за заслуги в исследовании строения атомов и испускаемого ими излучения.

Какие ошибки в физике, математике или программировании помогли перейти вам на новый уровень развития? Напишите в комментариях. 🔸

#математика #опыты #физика #наука #science #цитаты #math

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📱 Математика не для всех [∞ x A = 8]

🔹 Спектральный радиус и устойчивость. Максимальный модуль собственного значения матрицы определяет, разойдётся ли процесс при итерациях. Если он меньше 1 — система схлопывается в точку. Если больше — взрывается. А если равен 1? Тогда возможны циклы, колебания и вечное движение по орбите. Именно такие матрицы скрываются в основе цепей Маркова и PageRank Google.

🔹 Жорданова нормальная форма. Не всякая матрица диагонализуема. Но любую можно привести к почти диагональному виду с жордановыми клетками — это как распиловка сложного оператора на простые кирпичики, где на диагонали стоят собственные значения, а над ними — единицы, отвечающие за сдвиги. Без этого не работают ни дифференциальные уравнения, ни квантовая механика.

🔹 Псевдообратная матрица Мура — Пенроуза. Когда система имеет бесконечно много решений или не имеет ни одного, на помощь приходит обобщённое обращение. Оно даёт решение с минимальной нормой среди всех возможных — именно этот метод лежит в основе МНК (метода наименьших квадратов) и всей современной регрессионной статистики.

🔹 Число обусловленности. Это не про мораль, а про чувствительность решения к погрешностям в исходных данных. Матрица с большим числом обусловленности (порядка 10¹⁶) превращает малейшую ошибку округления в катастрофу. Такие матрицы называют плохо обусловленными, и с ними боятся работать даже суперкомпьютеры.

🔹 Теорема Кэли — Гамильтона. Любая квадратная матрица аннулируется своим собственным характеристическим многочленом. Звучит как заклинание, но на практике это означает, что матрицу можно возводить в степень, выражая результат через неё саму и единичную матрицу — никаких перемножений до бесконечности.

🔹 Сингулярное разложение (SVD). Любую матрицу можно разложить в произведение трёх: U·Σ·Vᵀ, где Σ — диагональная с сингулярными числами. Это работает даже для прямоугольных матриц. Именно SVD сжимает изображения в JPEG, чистит аудиозаписи от шума и помогает рекомендательным системам предсказывать твои вкусы.

🔹 Матрицы перестановок. Каждая перестановка строк или столбцов задаётся ортогональной матрицей из нулей и единиц. Их определитель равен либо +1, либо −1 в зависимости от чётности перестановки. Это кажется игрушкой, но без них невозможно реализовать ни один метод Гаусса с выбором главного элемента.

🔹 Экспонента от матрицы. Формально определяется через бесконечный ряд, но на практике даёт решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Именно через матричную экспоненту описывают траектории космических аппаратов и эволюцию квантовых состояний. #математика #алгебра #высшая_математика #подборка_книг #наука #science #математический_анализ #math

📱 Physics.Math.Code — поддержи подпиской

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📝 Бесконечно повторяющиеся радикалы Рамануджана

Рассмотренная выше формула с бесконечно повторяющимися радикалами являются частным случаем более общей формулы:

📝 Подробнее

Источник, где эта формула выводится более строго: A. Herschfeld, On Infinite Radicals, American Mathematical Monthly 42 (1935), no. 7, 420–421.

Самое удивительное в Рамануджане — это не его ответ Харди, а странная модулярная функция, которую он открыл. В ней постоянно фигурирует число 24.

▪️ Связь с физикой: Когда спустя десятилетия физики начали строить теорию струн, они с удивлением обнаружили, что для самосогласованности струны нужно 26 измерений пространства-времени.

▪️Магия числа 24: Оказалось, что все 24 «режима» колебаний струны описываются той самой функцией Рамануджана. Для суперструн число измерений стало 10, и здесь снова проявились обобщенные формулы Рамануджана (где 24 заменяется на 8).

Фактически, ещё в 1920 году он написал формулы, описывающие гравитацию на квантовом уровне, хотя сам термин «черная дыра» появился позже.

Когда Рамануджану предложили решить сложную задачу о вложенных корнях (задача из журнала), он дал ответ спустя полгода, когда все остальные сдались. Он показал, что:

(1 + 2‧(1 + 3‧(1 + 4‧(1 + ... ) ¹ᐟ²) ¹ᐟ²) ¹ᐟ²) ¹ᐟ² = 3

Он просто «увидел» ответ, разложив 3 как √9. #math #математика #наука #алгебра #science

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🔹 Ряд Фурье: музыка сфер и сжатие пикселей

Представьте, что вам нужно собрать сложнейший узор из простейших деталей конструктора. Именно эту задачу — разложить любую, даже самую капризную функцию, на сумму простых синусов и косинусов — и решил в начале XIX века французский гений Жан-Батист Жозеф Фурье. Но путь его открытия был тернист и сложен. История началась не с Фурье. Задолго до него, в середине XVIII века, великие умы — Даниил Бернулли, Жан Лерон Д'Аламбер и Леонард Эйлер — бились над задачей о колебании струны. Можно ли представить произвольную форму струны в виде суммы тригонометрических функций? Эйлер, например, получил схожие формулы, но не сделал решающего шага — не перешел от суммы к интегралу для нахождения коэффициентов, так как его исследования преследовали другую цель. Как позже заметил историк математики, это «поучительный пример того, как легко автор упускает почти очевидный вывод из своих результатов».

И вот, в 1807 году, Фурье, занимаясь задачей распространения тепла в твердых телах, представил мемуар в Парижский институт. Он заявил, что любую функцию можно разложить в тригонометрический ряд, и дал четкие формулы для вычисления коэффициентов. Это был вызов математическому истеблишменту! Сам Лагранж и Лаплас выступили с возражениями: идея о том, что функцию с «изломами» можно представить как бесконечную сумму гладких синусоид, казалась им абсурдной.

Работу приняли к рассмотрению, но к её содержанию отнеслись более чем скептически. Тем не менее, конкурс на премию Институт всё же объявил, и Фурье подал свой мемуар. По иронии судьбы, других заявок не поступило, так что премия автоматически досталась ему. Однако научное сообщество не спешило признавать его правоту: монография Фурье «Аналитическая теория тепла» увидела свет лишь 15 лет спустя, в 1822 году. Сегодня эти ряды носят его имя, а спор великих легенд стал лишь яркой страницей истории, доказавшей правоту Фурье.

🔻 За кулисами эффекта Гиббса. Когда мы берем не всю бесконечную сумму, а только ее часть (первые N членов), мы сталкиваемся с удивительным явлением — эффектом Гиббса. Вблизи точек разрыва функции частичная сумма ряда «всплескивает», создавая характерные пульсирующие выбросы. Площадь этих выбросов сжимается с ростом N, но их амплитуда не уменьшается!  Фурье мог бы и не заметить этого, иначе эффект мог бы усомнить его в универсальности метода, но его подход был настолько плодотворен, что это явление, осмысленное в конце XIX века, не умаляет его величия .

Ряды Фурье — это не абстракция из учебника, это фундамент современной цивилизации.

🔹Это главное оружие в математической физике. От решения уравнения колебания струны до распространения тепла в стержне — метод Фурье позволяет разбить сложную задачу на простые «кирпичики» . Без него невозможно представить такие области, как квантовая механика и акустика.

🔹Обработка сигналов. Ваш смартфон, Wi-Fi, радио, MP3-плеер — везде, где нужно оцифровать звук или сжать его, работает преобразование Фурье.

🔹 Анализ вариаций орбит планет, обработка данных сейсмологии, исследование приливов — все это опирается на частотный анализ, в основе которого лежит ряд Фурье.

🔹 И вот здесь мы подходим к самому удивительному. Ряд Фурье — это не просто про волны, это про информацию. Если мы представим изображение не как набор пикселей, а как функцию яркости, то его можно разложить в ряд Фурье. И это дает невероятные возможности:

▪️ Известный алгоритм JPEG основан на дискретном косинусном преобразовании. Мы оставляем только «главные» коэффициенты, отвечающие за низкие частоты (общий фон), и отбрасываем «шумные» высокие частоты (мелкие детали). Это и есть основа сжатия с потерями.

▪️ В современной компьютерной графике ряды Фурье применяются для создания бесшовных текстур, которые можно бесконечно повторять без стыков. А также для быстрого рендеринга глобального освещения и теней, как, например, в технологии Fourier-Compressed Horizon Mapping для рендеринга планетарных теней в реальном времени.
#физика #теория_теплоты #сжатие_данных #алгоритмы #math #physics

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib