⭕️ Задача по математике для наших подписчиков. Подумаем о комбинаторике, геометрии и топологии, господа и дамы? Попробуйте решить без помощи интернета.

📱 Обсуждение задачи здесь в telegram

📱 Обсуждение этой задачи в VK

📚 Сборники конкурсных задач по математике [6 книг]

📚 Как решать задачи [20+ книг]

#math #математика #задачи #геометрия #разбор_задач #algebra #calculus #топология

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⌛ Отображения функции в окружности [ Mapping Functions to a Circle ]

«Деление = 150» означает, что на окружности круга имеется 150 равномерно расположенных точек. Окружность здесь на самом деле представляет собой просто числовую линию, заключенную в круг с использованием функции деления по модулю (x mod 150). Выбирается точка «x» , умножается на некоторый коэффициент, получается новая точка «y». Координаты этих точек соединяются в линию. Огибающая этих отрезков создает красивые узоры. Это связано с эпициклоидами и отражениями света внутри кружки.

Две формы, которые вы, скорее всего, увидите в своей кружке, — это кардиоида (y = x * 2,000) («Кардио» означает «сердце», а «-oid» означает «подобный», поэтому «кардиоида» означает «похожий на сердце») (Кардиоид выглядит как сердце) и нефроид (y = x * 3,000) («Нефро» означает «почка», поэтому «Нефроид» означает «похожий на почку») (Нефроид выглядит как почка). #математика #опыты #геометрия #gif #анимация #видеоуроки #math #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📝 Квадратура круга [1972] Центрнаучфильм

Детская научно – познавательная картина о древней математической загадке, названной «квадратура круга», о дальнейшей истории этой математической задачи. Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки (без шкалы с делениями) квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу.

➰ О свойствах параболы ➿

Наш канал с научно-техническими фильмами: 🎥 Учебные фильмы 🎞 @maths_lib

#физика #математика #моделирование #опыты #эксперименты #physics #видеоуроки #научные_фильмы #math #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📝 В истории математики немало ярких примеров гениальной интуиции, проявленной в юном возрасте. Одним из канонических является эпизод, относящийся к Карлу Фридриху Гауссу (1777–1855). Согласно известному преданию, школьный учитель, желая занять класс на продолжительное время, предложил ученикам найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100:
S = 1 + 2 + 3 + ... + 100.

Гаусс, тогда ребёнок примерно 10 лет, практически мгновенно предоставил верный ответ — 5050. Его метод не требовал трудоёмкого последовательного сложения.

Суть открытия. Юный Гаусс осознал, что члены данной арифметической прогрессии можно попарно сгруппировать симметрично относительно центра (или сложить одну сумму с такой же зеркально-симметричной):

1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
...
50 + 51 = 101

Таким образом, исходная сумма есть произведение числа пар (50) на сумму первого и последнего членов (101): S = 50 ⋅ 101 = 5050. Формальное обобщение. Этот частный случай иллюстрирует общую формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии aₖ : Sₙ= (a₁ + aₙ) ⋅ n / 2. В применении к натуральному ряду Sₙ= (n + 1) ⋅ n / 2

Данный эпизод демонстрирует фундаментальный математический принцип: переход от последовательного перебора к симметричному представлению задачи, кардинально снижающему вычислительную сложность. Глубина заключалась не в вычислении конкретного числа, а в мгновенном усмотрении общей структуры, скрытой за частной проблемой. Гауссовский подход является источником методов комбинаторики и теории чисел, а сама формула стала одним из краеугольных камней элементарной математики. Это достижение, пусть и элементарное с современной точки зрения, символизирует рождение мышления, ориентированного на изящность и общность решения, — мышления, которое в полной мере проявится в последующих фундаментальных работах Гаусса по теории чисел, алгебре и дифференциальной геометрии.

📜 Список основных достижений математика:

1. «Арифметические исследования» (Disquisitiones Arithmeticae, 1801). Фундаментальный труд, систематизировавший теорию чисел и поднявший её на уровень строгой науки.
— Теория квадратичных вычетов. Ввёл понятие и фундаментальные свойства сравнений по модулю, доказал квадратичный закон взаимности (названный им «золотой теоремой»), к доказательству которого он дал шесть различных методов.
— Построение правильного 17-угольника. Решил задачу, остававшуюся неразрешённой со времён античности, доказав возможность построения циркулем и линейкой правильного многоугольника с числом сторон, равным простому числу Ферма F_n = 2^(2^n)+1 (для n=2 это 17). Это прямое следствие его открытий в теории уравнений.

2. Анализ и математическая физика:
— Метод наименьших квадратов (1809). Разработан независимо от Лежандра и применён Гауссом для расчёта орбиты астероида Церера, блестяще продемонстрировав свою эффективность. Лёг в основу современной регрессионной обработки данных и теории ошибок.
— Фундаментальная теорема алгебры (доказательство, 1799). Представил строгое доказательство (один из нескольких своих вариантов) теоремы о том, что всякий непостоянный многочлен с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

3. Дифференциальная геометрия поверхностей (Theorema Egregium, 1828). В работе «Общие исследования о кривых поверхностях» совершил переворот:
— Ввёл параметрическое задание поверхности и первую квадратичную форму (определяющую внутреннюю метрику).
— Доказал Theorema Egregium («Замечательная теорема»): гауссова кривизна поверхности является инвариантом изгибания, то есть зависит только от внутренней геометрии, а не от её погружения в пространство. Это заложило основы современной дифференциальной геометрии и подготовило почву для общей теории относительности.

4. Комплексный анализ:
— Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Хотя не был первым, активно и эффективно использовал представление комплексных чисел точками на плоскости, что способствовало их широкому признанию. #математика #теория_чисел #math #алгебра #комбинаторика #опыты #science #наука

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📝 Бесконечно повторяющиеся радикалы Рамануджана

Рассмотренная выше формула с бесконечно повторяющимися радикалами являются частным случаем более общей формулы:

📝 Подробнее

Источник, где эта формула выводится более строго: A. Herschfeld, On Infinite Radicals, American Mathematical Monthly 42 (1935), no. 7, 420–421.
#math #математика #наука #алгебра #science

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 Искусство программирования / The Art of Computer Programming

💾 Скачать книги

Поскольку Кнут всегда считал «Искусство программирования» основным проектом своей жизни, в 1993 году он вышел на пенсию с намерением полностью сконцентрироваться на написании недостающих частей и приведении в порядок существующих. Он полагал, что на завершение работы потребуется 20 лет.

«Искусство программирования» (англ. The Art of Computer Programming) — фундаментальная монография известного американского математика и специалиста в области компьютерных наук Дональда Кнута, посвященная рассмотрению и анализу важнейших алгоритмов, используемых в информатике. В 1999 году книга была признана одной из двенадцати лучших физико-математических монографий столетия.

Основной чертой монографии Кнута, выгодно отличающей её от других книг, посвящённых программированию, является исключительно высоко поднятая планка качества материала и академичности изложения, а также глубина анализа рассматриваемых вопросов. Благодаря этому она стала настоящим бестселлером и настольной книгой каждого профессионального программиста.

🖥 1. Нужен ли уровень Тьюринга?

Страх перед формулами — главный барьер. Да, математика там есть, и серьезная: комбинаторика, теория вероятностей, анализ алгоритмов. Кнут не бросает читателя в омут. Он постепенно вводит понятия, обильно сопровождая их примерами и упражнениями (с решениями!). Это не учебник для разгона с нуля, но для человека с базовой университетской подготовкой (или с высокой мотивацией и готовностью гуглить термины) — она доступна. Это математика компьютерной эры, а не абстрактная.

💻 2. А на работе-то пригодится?

Прямой ответ: в повседневной разработке CRUD-приложений вы вряд ли будете вручную выводить сложность сортировки слиянием.
Но косвенно — бесценно. Чтение Кнута — это:
▫️Качка для ума: перестраивает мышление на глубокое понимание почему одна операция быстрее другой.
▫️Фундамент: вы перестаете быть «пользователем» структур данных и алгоритмов, а становитесь тем, кто понимает их изнутри. Это уровень уверенности, который не купишь курсом по «паттернам».
▫️Культурный код: вы начинаете видеть элегантность и красоту в эффективных решениях. Это как разница между ремесленником и архитектором.

🕰 3. А в 2026-то это еще актуально?

Ядро книги — фундаментальные алгоритмы и принципы. Сортировки, поиски, хеширование, работа с деревьями — это «таблица умножения» нашей профессии. Меняются языки, фреймворки, парадигмы, но эти основы — нет.
Более того, в эпоху big data, AI и высоконагруженных систем понимание сложности алгоритмов важнее, чем когда-либо. Кнут учит мыслить эффективно в ресурсоограниченной среде — а это и есть суть программирования.

Это не книга, чтобы «подтянуть JS перед собеседованием». Это — инвестиция в интеллектуальный капитал. Для:
▪️Будущих и настоящих инженеров-алгоритмистов, разработчиков компиляторов, ученых.
▪️Программистов, которые хотят выйти за рамки шаблонной разработки и понять суть вещей.
▪️Любого, кто считает программирование не только ремеслом, но и искусством (судя по названию, сам Кнут так и считал).
А вы заглядывали в «Искусство программирования»? #программирование #алгоритмы #подборка_книг #computer_science #code #математика #math #physics #IT #лекции #видеоуроки

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📈 Наглядный пример того, как точность разложения влияет на совпадение графика и частичной суммы разложения

eˣ ≈ 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n!

#математика #опыты #геометрия #gif #анимация #видеоуроки #math #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🔄 Эвольвента: математика, механизм природы и основа инженерии

Эвольвента (или развертка) — это кривая, которую описывает конец натянутой нити, сматываемой с неподвижной окружности. Но за этой простой формулировкой скрывается глубокая математическая структура и ключевые инженерные приложения.

Строгое математическое определение: Пусть дана базовая окружность радиуса a. Эвольвента этой окружности — кривая, задаваемая параметрически:
x = a⋅(cos(t) + t⋅sin(t))
y = a⋅(sin(t) - t⋅cos(t))
, где t ≥ 0 — угол поворота радиуса, проведённого в точку начала сматывания нити (в радианах).

Если нить сматывается с окружности без проскальзывания, то длина свободного участка нити равна дуге, сошедшей с окружности: L = a⋅t
Компоненты точки на эвольвенте есть сумма радиуса-вектора центра окружности в точку отрыва нити и отрезка нити, направленного по касательной.

1. Радиус кривизны эвольвенты в точке пропорционален параметру t: R = a⋅t. При t → 0 радиус кривизны стремится к нулю — точка возврата на базовой окружности.
2. Нормаль к эвольвенте в любой точке является касательной к базовой окружности.
3. Эвольвента не имеет самопересечений и является инволютивной (разные ветви соответствуют разным направлениям сматывания).
4. Расстояние между двумя параллельными эвольвентами одной базовой окружности постоянно вдоль нормали — это важнейшее свойство для зубчатых передач.

⚙️ Зубчатые передачи работают на принципе эвольвенты:
— Профиль зуба выполняется по эвольвенте окружности (основной окружности).
— Постоянство передаточного отношения: благодаря свойству 4, контакт зубьев происходит по общей нормали, которая всегда касается двух основных окружек и проходит через полюс зацепления — это обеспечивает постоянное передаточное отношение даже при небольшом изменении межосевого расстояния.
— КПД и нагрузка: эвольвентное зацепление обеспечивает минимальное трение скольжения и равномерное распределение нагрузки.

Физический смысл в волновых процессах: В акустике и оптике эвольвента возникает как фронт волны от точечного источника, расположенного на окружности. Если источник движется по окружности с постоянной скоростью, испуская волны, огибающая этих волн (каустика) будет эвольвентой — это пример принципа Гюйгенса.

Математический контекст: Эвольвента — натуральная параметризация через длину дуги: s = ½ ⋅ a ⋅ t²
Эволюта эвольвенты окружности — сама эта окружность (отсюда название: эвольвента как развёртка, эволюта как свёртка).
В дифференциальной геометрии эвольвента есть решение задачи о кривой, у которой эволюта задана.
Спираль Корню (клотоида) — кривая, у которой эвольвента также является клотоидой. Эвольвента окружности — лишь частный случай.

Ещё применяется на практике в направлениях:
— В холодильной технике эвольвентные шнеки используются для эффективного сжатия хладагента.
— В судостроении форма эвольвенты применяется для проектирования гребных винтов с оптимальным КПД.

Эвольвента является фундаментальным паттерном, возникающем на стыке геометрии, механики и волновой физики. От математической строгости её определения до универсальности в технике — она демонстрирует, как чистая математика воплощается в инженерном гении. Угол развёртки t связан с давлением на зуб (в зубчатых передачах) через функцию эвольвенты: inv(t) = tan(t) - t. Эта функция табулирована и используется при проектировании зубчатых колёс. #математика #физика #механика #math #physics #science #наука #геометрия

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib