🟡 Демонстрация того, как кривые на первый взгляд фигуры оказываются построены исключительно из прямых линий. Здесь речь идет о гиперболоиде вращения. В геометрии гиперболоид вращения, иногда называемый круговым гиперболоидом, представляет собой поверхность, образованную вращением гиперболы вокруг одной из ее главных осей.

Гиперболоидные конструкции — сооружения в форме однополостного гиперболоида или гиперболического параболоида. Такие конструкции, несмотря на свою кривизну, строятся из прямых балок. Однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид — дважды линейчатые поверхности, то есть через любую точку такой поверхности можно провести две пересекающиеся прямые, которые будут целиком принадлежать поверхности. Вдоль этих прямых и устанавливаются балки, образующие характерную решётку. Такая конструкция является жёсткой: если балки соединить шарнирно, гиперболоидная конструкция всё равно будет сохранять свою форму под действием внешних сил. Для высоких сооружений основную опасность несёт ветровая нагрузка, а у решётчатой конструкции она невелика. Эти особенности делают гиперболоидные конструкции прочными, несмотря на невысокую материалоёмкость. #gif #геометрия #физика #математика #math #geometry #алгебра #maths

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🌀 Траектория спирографа как функция комплексной переменной

Фигуры, получаемые с помощью спирографа (игрушечного механизма для рисования гипоциклоид и эпициклоид), — не просто красивые узоры. Это наглядная визуализация сложного гармонического движения, которое элегантно описывается языком комплексных чисел.

Математическая модель: Пусть у нас есть неподвижная окружность радиуса R и катящаяся по ней изнутри окружность радиуса r. Фиксированная точка находится на расстоянии d от центра движущейся окружности.
Ключевой факт: Положение точки в плоскости можно задать не парой координат (x, y), а одним комплексным числом z.

Тогда траектория точки спирографа задаётся параметрической функцией (параметр t — угол поворота движущей окружности): z(t) = (R - r) * exp [ (i * ((R/r) * t)) ] + d * exp[ (i * ((1 - R/r) * t)) ], где части...

▪️1. (R - r) * exp [ (i * ((R/r) * t)) ] — это движение центра малой окружности вокруг центра большой. Модуль (R-r) — расстояние между центрами, экспонента с мнимым показателем ( exp(iφ) ) задаёт вращение.

▫️2. d * exp[ (i * ((1 - R/r) * t)) ] — это вращение точки относительно центра малой окружности. Частота этого вращения относительно неподвижной системы координат иная.

Какие полезные свойства это даёт?

1. Геометрия становится алгеброй. Сложение комплексных чисел — это векторное сложение. Вся траектория есть сумма двух вращающихся векторов (фазоров).
2. Условия замкнутости (периодичности) кривой выполняются, когда отношение R/r является рациональным числом. Кривая замыкается после конечного числа оборотов.
3. Число «лепестков» или симметрий в узоре напрямую выводится из числителя и знаменателя несократимой дроби R/r.
4. Частные случаи:
— Если d = r, точка лежит на ободе катящейся окружности — получаем гипоциклоиду.
— Если R = 2r, вне зависимости от d получаем эллипс.
— При R/r = 2 и d > r траектория становится отрезком прямой (это механизм рисования линии эллипсографом).

Таким образом, спирограф — это физическая модель сложения двух комплексных экспонент, частотный спектр которых содержит две основные гармоники. Анимации, построенные на этой модели, — это прямое вычисление вещественной и мнимой части функции z(t) для каждого кадра. #математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif #ТФКП #наука #science #комплексныечисла #спирограф #гипоциклоида

➰ Красота параметрических кривых

➿ Трохоида

⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе

➰ Брахистохрона

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🌀 Анимация графиков различных математических функций

„Именно математика даёт надёжнейшие правила: тому кто им следует — тому не опасен обман чувств.“ — Леонард Эйлер швейцарский, немецкий и российский математик 1707–1783

#математика #math #gif #animation #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 17 книг Арнольда по математике

💾 Скачать книги

🎥 Посмотреть интервью с Владимиром Арнольдом:
▪️ Сложность конечных последовательностей нулей и единиц, геометрия конечных функциональных пространств — Владимир Арнольд (Смотреть)
▪️ Владимир Арнольд / Острова / Телеканал Культура (Смотреть)
▪️ Об истории обобщенных функций Владимир Арнольд (Смотреть)
▪️ Очевидное - невероятное. Математика - наука о жизни [2003] (Смотреть)
▪️ Очевидное - невероятное. Задачи Владимира Арнольда (Смотреть)

Владимир Игоревич Арнольд (1937 — 2010) — советский и российский математик, автор работ в области топологии, теории дифференциальных уравнений, теории особенностей гладких отображений и теоретической механики. Один из крупнейших математиков XX века. #math #математика #геометрия #geometry #физика #наука #подборка_книг

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📚 17 книг Арнольда по математике

📕 Обыкновенные дифференциальные уравнения 2014 Арнольд
📗 Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений 2012 Арнольд
📘 Теория бифуркаций 1985 Арнольд
📔 Математическое понимание природы. Очерки удивительных физических явлений и их понимания математиками 2011 Арнольд
📙 Математические методы классической механики 1989 Арнольд
📓 Экспериментальная математика 2018 Арнольд
📒 Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов 2014 Арнольд
📕 Что такое математика 2012 Арнольд
📗 Теория катастроф 1990 Арнольд
📘 Лекции об уравнениях с частными производными 1999 Арнольд
📔 Жесткие и мягкие математические модели 2000 Арнольд
📙 Особенности дифференцируемых отображений 2009 Арнольд, Варченко, Гусейн-Заде
📓 Волновые фронты и топология кривых 2018 Арнольд
📒 Топологические методы в гидродинамике 2007 Арнольд В, Хесин

„Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом.“ — Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс немецкий математик 1815 - 1897

#math #математика #геометрия #geometry #физика #наука #подборка_книг

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

➰ Торический узел — специальный вид узлов, лежащих на поверхности незаузлённого тора в ℝ³. Торическое зацепление — зацепление, лежащее на поверхности тора. Каждый торический узел определяется парой взаимно простых целых чисел p и q. Торическое зацепление возникает, когда p и q не взаимно просты. Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо p, либо q равны 1 или -1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, известный также как трилистник.
Обычно используется соглашение, что (p, q) — торический узел вращается q раз вокруг оси тора и p раз вокруг оси вращения тора.

(p, q) — торический узел может быть задана параметризацией:

x = r⋅cos(p⋅φ)
y = r⋅sin(p⋅φ)
z = - sin(q⋅φ)
где r = cos(q⋅φ) + 2 и 0 < φ < 2π. 

Он лежит на поверхности тора, задаваемого формулой (r - 2)² + z² = 1 (в цилиндрических координатах).
Параметризации могут быть другие, потому что узлы определены с точностью до непрерывной деформации. #gif #геометрия #физика #математика #math #geometry #алгебра #maths

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📝 Загадка для наших подписчиков

#geometry #math #наука #геометрия #science #математика #задачи

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib