Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶, пусть 𝑄 — проекция ортоцентра на медиану треугольника 𝐴𝐵𝐶, выходящую из 𝐴. На отрезке 𝐵𝐶 выбрана произвольная точка 𝑇. Прямая 𝐴𝑇 пересекает окружности (𝑄𝐴𝐵) и (𝑄𝐴𝐶) повторно в точках 𝐵′, 𝐶′ соответственно. Прямые 𝐵𝐵′ и 𝐶𝐶′ пересекаются в точке 𝐾. На прямой 𝐴𝐾 выбрана точка 𝐿, отличная от 𝐴, так что 𝑇𝐴 = 𝑇𝐿. Докажите, что прямая 𝑇𝐿 касается окружности (𝑄𝐵′𝐶′).

Выше предлагалась примерно такая задача: смотрим на точки, из которых пара окружностей видна под данным углом, проводим биссектрисы этих углов, доказать, что все они касаются какой-то окружности (см. рис.).

Хочу поделиться спойлером, как решать почти любую задачу: если сразу идей нет, рассмотреть более простого родственника.

Выродим окружности из условия в точки. Что получится? Из точки P отрезок XY виден под фиксированным углом — то есть P лежит на дуге окружности. А биссектриса делит оставшуюся дугу пополам… то есть всевозможные биссектрисы в данном случае проходят через фиксированную точку.

Чтобы связать это с исходной задачей, можно отметить центры окружностей из условия и ———

#ЮМТ

Предлагаем вашему вниманию замечательную задачку от нашего подписчика Кирилла Бельского 🔥

Задача прекрасна тем, что не только имеет красивое и не требующее особых знаний геометрическое решение, но и тем, что обученнные люди в ней смогут разглядеть факт про коники 🤩

Однако, будьте аккуратнее — на профессиональном пути решения можно споткнуться, как случилось сегодня на матбою, где одна из команд, почти полностью рассказав решение, получила за него всего два балла 🤯

Задача. Дан выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, диагонали которого пересекаются в точке 𝑂. Внутри треугольников 𝑂𝐴𝐷 и 𝑂𝐵𝐶 выбраны точки 𝑋 и 𝑌 соответственно так, что ∠𝑂𝐵𝑌 = ∠𝑋𝐴𝐷, ∠𝑂𝐷𝑋 = ∠𝐵𝐶𝑌 и точки 𝑂, 𝑋, 𝑌 лежат на одной прямой. Оказалось,что точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 не лежат на одной окружности. Докажите, что 𝐶𝑌 ‖ 𝐴𝑋.

#геом_разминка #ЮМТ

Начнем это утро с прикольной задачки со вчерашнего конкурса капитанов 🙂

Задача. Существует ли такой неравнобедренный треугольник, что его можно двумя способами разрезать на два равнобедренных треугольника?

Всем добра 🤗

В окружность вписан прямоугольник ABCD. По прямой AD движется точка M. Перпендикуляры к отрезкам MB и MC, восстановленные в точках B и C, пересекаются в точке N. Докажите, что точка N движется по параболе, касающейся окружности в точках B и C.

Анимация в geogebra:
https://www.geogebra.org/classic/bethsmt3

на картинке мозаика, глядя на которую можно понять, как правильный 8-угольник разрезать на части и сложить из них квадрат

подробности и история — на сайте Мат. Этюдов, https://etudes.ru/models/square-octagon/

ранее на тему разрезаний и паркетов: https://tttttt.me/geometrykanal/1508 https://tttttt.me/geometrykanal/1509

Стороны синего треугольника (или их продолжения) касаются параболы. Точки касания — вершины красного треугольника. Доказать, что красная площадь вдвое больше синей.

Три квадрата

Легко заметить, что эти три задачи имеют много общего. Для решения первой хватит знаний 7 класса, вторая по силам уже восьмикласснику, а третью лучше решать в 9 классе. Получилась вот такая серия задачек «на вырост».
Как обычно, в комментариях пишите свои ответы.

Задача с второго отборочного тура олимпиады ЮМШ. 9 класс. Докажите, что AD + BD = CD.

Решение задачи выше.

в МЦНМО кроме обычных математических кружков иногда бывают кружки по геометрии

в этом году — геометрия для 9- и 10-классников по средам, https://mccme.ru/circles/mccme/2025/geom/

вот, например, ниже задача для привлечения внимания

(10-2, устный тур олимпиады Шарыгина 2021 года). Авторское решение данной задачи использует свойства гармонических четверок, но есть и более простое решение, которое мы обсудим на кружке.
В неравнобедренном треугольнике ABC точки A0, B0, C0 - середины сторон BC, CA, AB. Биссектриса угла C пересекает прямые A0C0 и B0C0 в точках B1 и A1. Докажите, что прямые AB1, BA1 и A0B0 пересекаются в одной точке.

продолжаю публиковать листочки для начинающих геометров. вот листик про осевую симметрию, в котором знать почти ничего и не надо.

на рисунке правильный треугольник сложен из одинаковых красных прямоугольных треугольников и одинаковых зеленых равнобедренных треугольников

во сколько раз площадь большого треугольника больше площади зеленого?

// доступная начинающим задача М.Евдокимова с проходившего вчера Турнира Ломоносова

На отрезке АВ=2 взяли точку С. На отрезках АС и ВС с разных сторон относительно АВ построили квадраты АСDE и CBFG. М и N — их центры соответственно. Чему равна площадь четырёхугольника MNBD?

#начинающим

Продолжаем. Вот еще мой листик (хотя скорее два) про прямую Штейнера и прямую Симсона. Опять же может не самый хороший)