Есть следующая простая (и хорошая) планиметрическая задача Микеля. На каждой стороне треугольника взята точка, отличная от вершин. Тогда три окружности, каждая из которых проходит через вершину треугольника и две точки, взятые на сторонах, выходящих из нее, пересекаются в одной точке.

Имеет место быть и такой трехмерный аналог. На каждом ребре тетраэдра взята точка, отличная от вершин. Тогда четыре сферы, каждая из которых проходит через вершину тетраэдра и три точки, взятые на ребрах, выходящих из нее, пересекаются в одной точке.

Листочек на инверсию. Наверное не сильно оригинальный.

Дан треугольник ABC из каждой вершины провели красную и синию прямые, которые симметричны относительно биссектрис соответствующих углов. Оказалось, что они образовали два не равных треугольника с общим ортоцентром. Докаите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку на описанной окружности исходного.

Дан треугольник ABC. Пусть K -- точка касания вписанной окружности со стороной AC. Докажите, что окружности, касающиеся описанной окружности треугольника ABC, луча BK и продолжений AC за точки A и С, равны.

Каким минимальным числом непрозрачных попарно непересекающихся шаров можно загородить точечный источник света? А если все шары равны?

Можно ли сцепить концы у каждой из трех мишур так, чтобы получились три кольца, которые нельзя разцепить, но при разрезании любого из них они расцеплялись бы? А если мишур больше, чем три?

Вторая часть статьи про сопряжение Клауса Клоусона от Миши Сидоренко!

Если синие дуги имеют равную градусную меру, то красные отрезки имеют равную длину.

P.S. на предыдущей картинке была ошибка, спасибо обратившим внимание!

Неплохой гайд по инверсии.

коллега П.Пушкарь задал вопрос, а я не смог сходу ответить — предлагаю решить как задачу

Есть три точки на плоскости, треугольник. Тогда единственным образом определяются радиусы шаров таких, что они касаются плоскости в выбранных точках и друг друга. Внутрь этих шаров и плоскости можно вписать ещё шар. Где он коснется плоскости?

Это должна быть какая-то замечательная точка треугольника — какая?

коллега Д.Прокопенко напоминает такое прикольное утверждение:

Если сфера, вписанная в треугольную призму, касается нижнего основания в некоторой точке P, то верхнего основания она будет касаться в изогонально сопряженной с ней точке.

Кай находится в центре заколдованного круга с радиусом 100 метров. Каждую секунду он делает шаг длиной 1 метр. Перед каждым шагом он объявляет направление, в котором хочет шагнуть. Снежная королева имеет право заставить его сменить направление на противоположное (когда Кай находится внутри круга). Сможет ли Кай действовать так, чтобы выбраться из круга к Герде?

Со Старым Новым годом! 🎄