коллега П.Пушкарь задал вопрос, а я не смог сходу ответить — предлагаю решить как задачу

Есть три точки на плоскости, треугольник. Тогда единственным образом определяются радиусы шаров таких, что они касаются плоскости в выбранных точках и друг друга. Внутрь этих шаров и плоскости можно вписать ещё шар. Где он коснется плоскости?

Это должна быть какая-то замечательная точка треугольника — какая?

коллега Д.Прокопенко напоминает такое прикольное утверждение:

Если сфера, вписанная в треугольную призму, касается нижнего основания в некоторой точке P, то верхнего основания она будет касаться в изогонально сопряженной с ней точке.

Кай находится в центре заколдованного круга с радиусом 100 метров. Каждую секунду он делает шаг длиной 1 метр. Перед каждым шагом он объявляет направление, в котором хочет шагнуть. Снежная королева имеет право заставить его сменить направление на противоположное (когда Кай находится внутри круга). Сможет ли Кай действовать так, чтобы выбраться из круга к Герде?

Со Старым Новым годом! 🎄

Теорема Карно Штейнера.
Даны два треугольника ABC и A_1B_1C_1. Оказалось, что перпендикуляры из точек A_1,B_1,C_1 на прямые BC, AC, AB пересекаются в точке P. Докажите, что перпендикуляры из точек A, B, С на стороны B_1C_1, A_1C_1, A_1B_1 пересекаются в одной точке.

1. Дана бесконечно удаленная прямая и на ней некоторая проективная инволюция. Докажите, что после поворота на 90 градусов она останется проективной инволюцией.
2. Докажите прошлую задачу используя 1.

Дополнение к картинке К. Малевича.

Докажите, что если черный четырехугольник - квадрат, E и F - середины его сторон, то красный треугольник - правильный.

P.S. Хорошая учебная задача, которая следует из совпадения двух замечательных точек (центра описанной окружности и точки пересечения медиан) в красном треугольнике. А бывает ли так, что какие-то две замечательные точки совпадают, а треугольник - неправильный?

Давайте обсудим еще эту задачку)
1. Пусть дан шестиугольник ABCA_1B_1C_1 так, что никакие четыре точки не лежат на одной окружности, а прямые AA_1BB_1CC_1 пересекаются в одной точке. Что вы можете сказать про точки P такие, что окружности (APA_1), (BPB_1), (CPC_1) соосны.
2. Решите задачу используя 1.

Легко проверить, что если треугольник прямоугольный, то его полупериметр равен сумме диаметра описанной и радиуса вписанной окружностей. Попробуйте доказать геометрически обратное утверждение.

Разделить трапецию на рисунке а) на две подобных трапеции
б) на два подобных четырехугольника, не являющихся трапециями

Источник

Из четырех равных треугольников сложили выпуклый четырехугольник, у которого нет параллельных сторон. Какую форму могут иметь такие треугольники?

Задача Маркелова С.В. с Тургора

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда.)

P.S. Ответ в задаче неожиданный.

Не самая простая задача на построение

Даны две касающихся внешним образом окружности. Провести прямую так, чтобы она пересекла большую в точках A,B и коснулась меньшей в такой точке С, для которой CB=BA.

Все белые четырехугольники - квадраты. Тогда для каждого цвета сумма площадей полосатых многоугольников равна сумме площадей клетчатых.

Добрый день. Во вторник, 11 февраля в 15:30-16:30 по Москве, будет математический кружок 🍩

Title: Квадраты вокруг многоугольников

Speaker: Федор Нилов

Аннотация:

В геометрических конструкциях зачастую оказывается интересным строить на сторонах произвольного многоугольника правильные многоугольники, например, в теоремах Пифагора, Наполеона, Тебо, Ван Обеля. Мы обсудим свойства конструкции из бесконечного числа слоев квадратов вокруг некоторых многоугольников и красивую идею шарнирного доказательства.


Zoom meeting link:
Zoom - Meeting ID: 853 1771 8785 Passcode: 549695
Link: https://us02web.zoom.us/j/85317718785?pwd=XS0bILZaREyt00pA2EJlu1zxaEHbDN.1

Приходите!

пусть и вас позабавит несложное

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC. Проведем через середину BC прямую параллельно OA и т.д. Почему такие три прямые пересекаются в одной точке — и что это за точка?

Классическая олимпиадная задача (было бы интересно узнать источник):

Для каких n существует замкнутая n-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз?

Несложно понять, что ответ: при любых четных n>4.

Назовем две ломаных эквивалентными, если их вершины можно сопоставить друг другу таким образом, чтобы два звена одной ломаной пересекались тогда и только тогда, когда пересекаются звенья, соединяющие соответствующие звенья другой ломаной. Сколько может быть неэквивалентных друг другу ломаных при разных n, удовлетворяющих условию изначальной задачи?

P.S. На картинке герб ЮМШ

https://vkvideo.ru/video-163532021_456239221
https://vkvideo.ru/video-163532021_456239223

А.Д.Блинков рассказывает про задачи на построение