Forwarded from Геометрия с Ниловым
На плоскости нарисовано m синих и n красных окружностей, при этом любые окружности разных цветов касаются, а одинакового цвета - нет. Могут ли m и n быть равны a) 3 и 8; b) 3 и 9; c) 4 и 6; d) 4 и 7?
P.S. Выше картина В. Кандинского "Несколько кругов" 1926 г.
P.S. Выше картина В. Кандинского "Несколько кругов" 1926 г.
😁12❤5👍4
Дан треугольник ABC. В него вписана окружность с центром в точке I. К ней провели касательную, которая параллельна BC и выбрали на этой касательной точки U и V такие, что угол UIV = 90. Прямые IU и IV повторно пересекают окружность (AUV) в точках P и Q. Докажите, что точки O, P, Q лежат на одной прямой, где O — центр описанной окружности треугольника ABC.
🔥7❤6😐4👍2🤔1
Олимпиадная геометрия
Обобщение теоремы Паскаля. Цветные фигуры — эллипсы.
добавлю к предыдущему утверждению вот какой контекст
на картинке (взятой у Мат. этюдов) — теорема Монжа (вот, кстати, еще подборка доказательств)
можно ли заменить в ней окружности на эллипсы? на произвольные нельзя, но можно — на эллипсы с общим фокусом
как и в многих других утверждениях, вместо фокуса можно рассматривать обобщенный фокус — окружность, дважды касающуюся эллипса (настоящий фокус получается, когдарадиус этой окружности нулевой — это не так заметно, потому что точки касания при этом становятся комплексными )
вот такой родственник теоремы Монжа и нарисован на предыдущей картинке
upd: можно еще сказать, что это — гиперболическая версия теоремы Монжа (нарисованная в модели Клейна)
на картинке (взятой у Мат. этюдов) — теорема Монжа (вот, кстати, еще подборка доказательств)
можно ли заменить в ней окружности на эллипсы? на произвольные нельзя, но можно — на эллипсы с общим фокусом
как и в многих других утверждениях, вместо фокуса можно рассматривать обобщенный фокус — окружность, дважды касающуюся эллипса (настоящий фокус получается, когда
вот такой родственник теоремы Монжа и нарисован на предыдущей картинке
upd: можно еще сказать, что это — гиперболическая версия теоремы Монжа (нарисованная в модели Клейна)
❤8🤔1
Forwarded from Геометрия от Волчкевича
Задачи с турнира
В июне этого года прошел турнир имени Савина для школьников 7 и 8 классов. На нем ребята решали несколько моих задач. Предлагаю вам подумать над двумя из них.
Просьба: в комментах пишите только свои ответы:)
В июне этого года прошел турнир имени Савина для школьников 7 и 8 классов. На нем ребята решали несколько моих задач. Предлагаю вам подумать над двумя из них.
Просьба: в комментах пишите только свои ответы:)
❤14🤔2
Forwarded from Я веду кружок (Konstantin Knop)
20 теорем об углах в треугольнике и не только
Увидел в ФБ такую вот коллекцию. Большая часть кажется весьма полезной, хотя и редко употребительной. Какие из «не школьной» части этого списка вы считаете самыми ценными?
Увидел в ФБ такую вот коллекцию. Большая часть кажется весьма полезной, хотя и редко употребительной. Какие из «не школьной» части этого списка вы считаете самыми ценными?
❤10
Forwarded from Геометрия с Ниловым
Теорема Штейнера. На плоскости даны четыре прямые общего положения (никакие три не пересекаются в одной точки, никакие две не параллельны). Для каждой тройки прямых есть четыре окружности, которые их касаются. Таким образом, в общем случае получаем 16 окружностей, касающихся трех из четырех прямых. Тогда a) центры этих 16 окружностей лежат на 8 окружностях, по 4 центра на каждой.
b) среди этих 8 окружностей 4 лежат в одном пучке, а 4 оставшихся - в другом, перпендикулярном ему.
На картинке изображена одна четверка окружностей, центры которых лежат на одной окружности.
Есть ли что-то схожее в трехмерном пространстве для 5 плоскостей? Что будет, если исходные 4 прямые заменить на окружности?
b) среди этих 8 окружностей 4 лежат в одном пучке, а 4 оставшихся - в другом, перпендикулярном ему.
На картинке изображена одна четверка окружностей, центры которых лежат на одной окружности.
Есть ли что-то схожее в трехмерном пространстве для 5 плоскостей? Что будет, если исходные 4 прямые заменить на окружности?
🔥19❤4🤔3🤓2👍1
Forwarded from Записки юного геометра на пенсии (Щербатов Ярослав)
Да, мне определенно нравится эта задача! Очень красиво!
P, Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC.
Двадцать первая олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина, 2025 год, 10 класс, 2 задача
#O2025 #Sharygin #Sharygin_2025
P, Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC.
Двадцать первая олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина, 2025 год, 10 класс, 2 задача
#O2025 #Sharygin #Sharygin_2025
🤨7❤1👎1😁1
Forwarded from Геометрия с Ниловым
Сегодня стартует финал олимпиады имени И.Ф. Шарыгина.
Отличная книжка, посвященная олимпиаде.
https://math.ru/lib/files/pdf/olimp/Sharygin.pdf
Отличная книжка, посвященная олимпиаде.
https://math.ru/lib/files/pdf/olimp/Sharygin.pdf
👍5
Forwarded from Ботаем геому (Тихомир Листожуй)
Моя задача с олимпиады Шарыгина.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Через точки A, B, C, D проведена произвольная коника. Рассматривают четыре прямые, получающиеся после изогонального сопряжения этой коники относительно треугольников ABC, ABD, BCD, ACD.
(!) Четырёхугольник образованный этими прямыми – описанный
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Через точки A, B, C, D проведена произвольная коника. Рассматривают четыре прямые, получающиеся после изогонального сопряжения этой коники относительно треугольников ABC, ABD, BCD, ACD.
(!) Четырёхугольник образованный этими прямыми – описанный
🔥10❤3👍3😐1
Для тех кому хочется чего-то школьного, то вот была такая задача в 8 классе от М. Волчкевича.
В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины прямого угла до биссектрисы острого равно четверти гипотенузы. Чему могут равняться углы треугольника?
В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины прямого угла до биссектрисы острого равно четверти гипотенузы. Чему могут равняться углы треугольника?
👍13😁5❤1
Forwarded from Фулл и точка
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
#красота_спасет_мир
В догонку публикуем еще задачку с подвижной 🏃 картинкой (но не решением!)
Задача 10.6. Даны окружности Ω и 𝜔𝑎, являющиеся соответственно описанной и 𝐴-вневписанной для некоторого треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐼𝑏, 𝐼𝑐 — центры двух других вневписанных окружностей, а 𝐴𝑏, 𝐴𝑐 — точки касания продолжений сторон 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 с 𝜔𝑎. Докажите, что точка пересечения прямых 𝐴𝑏𝐼𝑏 и 𝐴𝑐𝐼𝑐 не зависит от треугольника 𝐴𝐵𝐶.
В догонку публикуем еще задачку с подвижной 🏃 картинкой (но не решением!)
Задача 10.6. Даны окружности Ω и 𝜔𝑎, являющиеся соответственно описанной и 𝐴-вневписанной для некоторого треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐼𝑏, 𝐼𝑐 — центры двух других вневписанных окружностей, а 𝐴𝑏, 𝐴𝑐 — точки касания продолжений сторон 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 с 𝜔𝑎. Докажите, что точка пересечения прямых 𝐴𝑏𝐼𝑏 и 𝐴𝑐𝐼𝑐 не зависит от треугольника 𝐴𝐵𝐶.
😐11❤6😱3🔥1🥰1👏1
4-1-ponsele-rus.pdf
723 KB
Уже совсем скоро начнётся ЛКТГ. Первые части проектов уже можно найти тут.
Традиционно есть один проект по классической геометрии про теорему Понселе и CRL, в котором можно найти много всего интересного)
Традиционно есть один проект по классической геометрии про теорему Понселе и CRL, в котором можно найти много всего интересного)
❤6👍5🔥4👎1
на ЛКТГ-2025 есть и еще один геометрический проект, https://turgor.ru/lktg/2025/5/5-1-origami-rus.pdf
обсуждаются геом. построения при помощи сгибания бумаги, увеличивающие периметр сгибания листа («задача Арнольда о мятом рубле»), аналоги формулы Герона и изгибаемые многогранники
обсуждаются геом. построения при помощи сгибания бумаги, увеличивающие периметр сгибания листа («задача Арнольда о мятом рубле»), аналоги формулы Герона и изгибаемые многогранники
❤6🔥2👎1
#реклама
📞 ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ОТ PHYSX
Главное событие этого лета. Мы все долго ждали!
⚡️ С 4 по 11 августа мы проводим онлайн олимпиады по математике для будущих 6-9 классов и по физике для будущих 3-9.
🖇️ 2 олимпиады:
⚪️ математика 6-9 классы, но и 5 класс может попробовать силы
⚪️ физика будущие 3-9 классы
Интересные и качественные варианты заданий, открытые уроки по математике и физике от лучших педагогов, встреча для родителей и крутые призы для всех призеров и победителей!🔥
Приглашаем всех, кто:
• ждет олимпиадного сезона
• стремится получить новые знания, навыки
• соскучился по науке, экспериментам и интересным фактам
• хочет вспомнить основные темы прошлых лет обучения
Условия прохождения заданий: 120 минут и 1 попытка
💬 Наше топовое жюри: Бовбыр Г. И., Почепцов И.С., Кузнецов М.Д. и другие
Также вас ждут бесплатные открытые уроки по математике:
• 5 августа, 18:00 мск — Открытый урок для 7-8 классов
«Метод математической индукции и рекурсия», Карасёв Алексей Алексеевич
• 6 августа, 19:00 — Открытый урок для 5-6 классов
«Умения и инструмент: раскрашивание клеток в тетради и карандаши», Санников Григорий Сергеевич
• 7 августа, 18:00 мск — Родительское собрание
«Как подготовиться к олимпиадам и взять дипломы на финалах», Бовбыр Глеб Иванович
а также 2 открытых занятия по физике!
📎ЗАПИСАТЬСЯ НА МАТЕМАТИКУ
📎ЗАПИСАТЬСЯ НА ФИЗИКУ
ерид: 2VtzqwVLecx
Главное событие этого лета. Мы все долго ждали!
Интересные и качественные варианты заданий, открытые уроки по математике и физике от лучших педагогов, встреча для родителей и крутые призы для всех призеров и победителей!
Приглашаем всех, кто:
• ждет олимпиадного сезона
• стремится получить новые знания, навыки
• соскучился по науке, экспериментам и интересным фактам
• хочет вспомнить основные темы прошлых лет обучения
Условия прохождения заданий: 120 минут и 1 попытка
Также вас ждут бесплатные открытые уроки по математике:
• 5 августа, 18:00 мск — Открытый урок для 7-8 классов
«Метод математической индукции и рекурсия», Карасёв Алексей Алексеевич
• 6 августа, 19:00 — Открытый урок для 5-6 классов
«Умения и инструмент: раскрашивание клеток в тетради и карандаши», Санников Григорий Сергеевич
• 7 августа, 18:00 мск — Родительское собрание
«Как подготовиться к олимпиадам и взять дипломы на финалах», Бовбыр Глеб Иванович
а также 2 открытых занятия по физике!
📎ЗАПИСАТЬСЯ НА МАТЕМАТИКУ
📎ЗАПИСАТЬСЯ НА ФИЗИКУ
ерид: 2VtzqwVLecx
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👎10👏2🕊1
(a) (Простое и очень полезное утверждение, все могут попробовать решить и запомнить)) Дан треугольник ABC с ортоцентром H и центром описанной окружности O. Пусть угол A = α. Тогда AH / AO = 2cos α.
(b) (Сложное утверждение, но на самом деле не очень сложно следует из утверждения выше)
Пусть OH пересекает AB и AC в точках X и Y. Тогда O_1H_1 параллельна стороне BC, где O_1 и H_1 центр описанной окружности и ортоцентр треугольника AXY соответственно.
(b) (Сложное утверждение, но на самом деле не очень сложно следует из утверждения выше)
Пусть OH пересекает AB и AC в точках X и Y. Тогда O_1H_1 параллельна стороне BC, где O_1 и H_1 центр описанной окружности и ортоцентр треугольника AXY соответственно.
🔥19👎2👏1