Forwarded from Авва
Прочитал про теорему Дена о разрезании: если прямоугольник можно разрезать на квадраты, то отношение его сторон рационально. Интуитивно это кажется логичным, но доказать не так уж и просто. Обратное утверждение тривиально: если отношение сторон рационально и скажем равно p/q, то увеличив масштаб в q раз, получим прямоугольник с целыми сторонами, который можно разрезать на квадраты 1x1.
Линейная алгебра помогает построить простые и красивые доказательства:
Отношение длин сторон прямоугольника W,H иррационально - это то же, что "W,H линейно независимы как векторы в пространстве R над Q". Это в свою очередь значит, что существует Q-линейная функция f:R->R, так, что f(W) и f(H) - любые удобные нам значения.
Для любой Q-линейной функции f определим f-площадь прямоугольника со сторонами A,B как f(A)*f(B). Тогда легко увидеть, что при разрезании прямоугольника на другие прямоугольники f-площадь целого равна сумме f-площади частей (это очевидно при разрезании одного прямоугольника на два, и к повторению этого можно свести любое разрезание, если сделать из него "сетку", продлив все внутренние линии до краев).
Как ни странно, доказательство почти закончено. f-площадь любого квадрата равна f(A)*f(A), то есть неотрицательна. Отсюда f-площадь любого прямоугольника размером W:H, разрезанного на квадраты, неотрицательна. Но если W/H не рационально, то мы можем выбрать такую f, что f(W)=1, f(H)=-1, и его f-площадь равна -1, это противоречие.
Другое доказательство с помощью линейной алгебры вместо f-площади пользуется тензорным произведением R@R. Если стороны прямоугольника w,h линейно независимы, то {w,h} можно продлить до базиса, и поэтому ясно, что в R@R линейно независимы также векторы w@w, w@h, h@w, h@h. С другой стороны, если прямоугольник разбит на квадраты, то w@h является суммой членов вида a@a (доказательство аналогично примеру с площадью). Это значит, что изоморфизм в R@R, который меняет координаты местами, одновременно переводит w@h в h@w и оставляет неизменным, т.е. w@h = h@w, а это противоречит их независимости.
Еще есть красивое доказательство с помощью гармонических функций на конечных графах (второе в этой заметке). А в древней книжке Яглома "Как разрезать квадрат?" (1968) есть элементарное доказательство через систему уравнений, связывающих длины сторон.
P.S. Вспоминается также замечательная статья "Fourteen proofs of a result about tiling a rectangle", где дается много доказательство похожего, но другого по сути утверждения: что если прямоугольник разрезан на прямоугольники и у каждого внутренного прямоугольника хотя бы одна из сторон - целое число, то и у всего прямоугольника тоже хотя бы одна из сторон целая.
Линейная алгебра помогает построить простые и красивые доказательства:
Отношение длин сторон прямоугольника W,H иррационально - это то же, что "W,H линейно независимы как векторы в пространстве R над Q". Это в свою очередь значит, что существует Q-линейная функция f:R->R, так, что f(W) и f(H) - любые удобные нам значения.
Для любой Q-линейной функции f определим f-площадь прямоугольника со сторонами A,B как f(A)*f(B). Тогда легко увидеть, что при разрезании прямоугольника на другие прямоугольники f-площадь целого равна сумме f-площади частей (это очевидно при разрезании одного прямоугольника на два, и к повторению этого можно свести любое разрезание, если сделать из него "сетку", продлив все внутренние линии до краев).
Как ни странно, доказательство почти закончено. f-площадь любого квадрата равна f(A)*f(A), то есть неотрицательна. Отсюда f-площадь любого прямоугольника размером W:H, разрезанного на квадраты, неотрицательна. Но если W/H не рационально, то мы можем выбрать такую f, что f(W)=1, f(H)=-1, и его f-площадь равна -1, это противоречие.
Другое доказательство с помощью линейной алгебры вместо f-площади пользуется тензорным произведением R@R. Если стороны прямоугольника w,h линейно независимы, то {w,h} можно продлить до базиса, и поэтому ясно, что в R@R линейно независимы также векторы w@w, w@h, h@w, h@h. С другой стороны, если прямоугольник разбит на квадраты, то w@h является суммой членов вида a@a (доказательство аналогично примеру с площадью). Это значит, что изоморфизм в R@R, который меняет координаты местами, одновременно переводит w@h в h@w и оставляет неизменным, т.е. w@h = h@w, а это противоречит их независимости.
Еще есть красивое доказательство с помощью гармонических функций на конечных графах (второе в этой заметке). А в древней книжке Яглома "Как разрезать квадрат?" (1968) есть элементарное доказательство через систему уравнений, связывающих длины сторон.
P.S. Вспоминается также замечательная статья "Fourteen proofs of a result about tiling a rectangle", где дается много доказательство похожего, но другого по сути утверждения: что если прямоугольник разрезан на прямоугольники и у каждого внутренного прямоугольника хотя бы одна из сторон - целое число, то и у всего прямоугольника тоже хотя бы одна из сторон целая.
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
По наводке Бори Трушина вот вам трэш-теорема. Пользуйтесь и не благодарите! Такого в школе и правда не расскажут!
Forwarded from Олимпиадная математика ВсОШ | Дабромат
Преподаватели Дабромат продолжают делать крутые летние активности для вас! Для тех, кому требуется погружение в конкретную тему, а не последовательная прокачка навыков, как на летних курсах, мы подготовили линейку спецкурсов.
Что же такое спецкурс?
Это интенсивная неделя занятий, на которой подробно рассматривается одна или несколько смежных тем. Спецкурсы, как и ступени, будут разного уровня в зависимости от текущих знаний участников.
➤ «Вокруг малой теоремы Ферма, порядков чисел и леммы об уточнении показателя»
Преподаватель — Бибиков Павел Витальевич.
Каждый знает Малую теорему Ферма. Спецкурс посвящен ее уточнениям и применениям в олимпиадных задачах по теории чисел.
Занятия проводятся 24-30 июня.
➤ «Топологический путь к Вейерштрассу»
Преподаватель — Волкова Алиса Алексеевна.
Мы познакомимся с новым для многих разделом математики — топологией, в простом понимании — науке о геометрических и не только свойствах различных нестандартных объектов. Мы затронем лишь малую её часть — изучим некоторые свойства функций и отображений, но этого нам хватит, чтобы доказать теорему Вейерштрасса, теорему, которая часто помогает формализовать решение неравенств и немного модифицировать метод Штурма, что поможет применять его в более широком классе задач.
➤ «Открытая неделя по барицентрам» 1 часть
Преподаватель — Бахарев Федор Львович.
Спецкурс посвящен мощному методу решения геометрических задач — счету в барицентрических координатах.
Состоит из двух частей: подготовительной открытой недели и недельного интенсива. На открытой неделе мы кратко вспомним основные понятия геометрии масс, обсудим простейшие вещи, связанные с барицентрическим координатами, подготовимся к основной части спецкурса.
Открытая неделя проводится 22-27 июля.
➤ «Интенсив по барицентрам» 2 часть
На самом интенсиве мы погрузимся в пучину барицентров, решим множество задач уровня сложнейших математических состязаний.
Преподаватель — Бахарев Федор Львович.
Интенсив проводится 28 июля - 4 августа.
➤ «Дистанционные графы»
Преподаватель — Дидин Максим Александрович.
Погружение в теорию графов для любителей комбинаторики. Обсудим число независимости графа и его хроматическое число, научимся доказывать известные теоремы про графы и попробуем решить открытые вопросы.
Занятия проводятся 17-23 августа.
Запись на спецкурсы откроется совсем скоро! Не пропустите🔥
Что же такое спецкурс?
Это интенсивная неделя занятий, на которой подробно рассматривается одна или несколько смежных тем. Спецкурсы, как и ступени, будут разного уровня в зависимости от текущих знаний участников.
➤ «Вокруг малой теоремы Ферма, порядков чисел и леммы об уточнении показателя»
Преподаватель — Бибиков Павел Витальевич.
Каждый знает Малую теорему Ферма. Спецкурс посвящен ее уточнениям и применениям в олимпиадных задачах по теории чисел.
Занятия проводятся 24-30 июня.
➤ «Топологический путь к Вейерштрассу»
Преподаватель — Волкова Алиса Алексеевна.
Мы познакомимся с новым для многих разделом математики — топологией, в простом понимании — науке о геометрических и не только свойствах различных нестандартных объектов. Мы затронем лишь малую её часть — изучим некоторые свойства функций и отображений, но этого нам хватит, чтобы доказать теорему Вейерштрасса, теорему, которая часто помогает формализовать решение неравенств и немного модифицировать метод Штурма, что поможет применять его в более широком классе задач.
➤ «Открытая неделя по барицентрам» 1 часть
Преподаватель — Бахарев Федор Львович.
Спецкурс посвящен мощному методу решения геометрических задач — счету в барицентрических координатах.
Состоит из двух частей: подготовительной открытой недели и недельного интенсива. На открытой неделе мы кратко вспомним основные понятия геометрии масс, обсудим простейшие вещи, связанные с барицентрическим координатами, подготовимся к основной части спецкурса.
Открытая неделя проводится 22-27 июля.
➤ «Интенсив по барицентрам» 2 часть
На самом интенсиве мы погрузимся в пучину барицентров, решим множество задач уровня сложнейших математических состязаний.
Преподаватель — Бахарев Федор Львович.
Интенсив проводится 28 июля - 4 августа.
➤ «Дистанционные графы»
Преподаватель — Дидин Максим Александрович.
Погружение в теорию графов для любителей комбинаторики. Обсудим число независимости графа и его хроматическое число, научимся доказывать известные теоремы про графы и попробуем решить открытые вопросы.
Занятия проводятся 17-23 августа.
Запись на спецкурсы откроется совсем скоро! Не пропустите🔥
Forwarded from Математические кружки | «МТ кружки»
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Придумал окружности анти-Аполлония треугольника (наверняка, не я первый). A-окружность анти-Аполлония треугольника ABC это геометрическое место точек X таких, что BX/CX=CA/BA.
Оказывается они очень похожи на окружности Аполлония.
1. Если такие окружности пересекаются, то они все три пересекаются в двух точках, симметричных относительно описанной окружности треугольника.
2. Они соосны.
3. Они перпендикулярны описанной окружности.
4. Их общая радикальная ось — прямая Эйлера треугольника.
Что еще можно про них сказать? Или про точки их пересечения? Ну и вообще это все, наверное, давно исследовано и как-то называется...
Оказывается они очень похожи на окружности Аполлония.
1. Если такие окружности пересекаются, то они все три пересекаются в двух точках, симметричных относительно описанной окружности треугольника.
2. Они соосны.
3. Они перпендикулярны описанной окружности.
4. Их общая радикальная ось — прямая Эйлера треугольника.
Что еще можно про них сказать? Или про точки их пересечения? Ну и вообще это все, наверное, давно исследовано и как-то называется...
Forwarded from Математические кружки | «МТ кружки»
Напоминаем, что сегодня в 15:00 мск будет проходить разбор задач от Фёдора Львовича Бахарева.
Будем обсуждать тринадцатую задачную разминку, посвящённую степени точки и продвинутым техникам вокруг неё. Условия задач можно найти тут.
Ссылка для подключения
Присоединяйтесь!
Будем обсуждать тринадцатую задачную разминку, посвящённую степени точки и продвинутым техникам вокруг неё. Условия задач можно найти тут.
Ссылка для подключения
Присоединяйтесь!
Вот вам картинка и кусочек текста из оригинальной статьи Фейербаха с доказательством его теоремы. Что можно сказать...
Во-первых, доказательство у него не геометрическое и в статье около 70-ти страниц (но и доказано, видимо, много чего еще).
Во-вторых, в статье есть второй автор, имя которого, не вошло в название теоремы, хотя он тоже Карл: Karl Heribert Ignatius Buzengeiger.
UPD: говорят, второй Карл только предисловие писал...
Во-первых, доказательство у него не геометрическое и в статье около 70-ти страниц (но и доказано, видимо, много чего еще).
Во-вторых, в статье есть второй автор, имя которого, не вошло в название теоремы, хотя он тоже Карл: Karl Heribert Ignatius Buzengeiger.
UPD: говорят, второй Карл только предисловие писал...
Говорят, что Дезарг не только что-то понял про проективные инволюции, но и возможно, поучаствовал в осаде Ла-Рошели.
Тут, конечно, уместно еще вспомнить Жана-Виктора Понселе человека и парохода математика и инженера, который в июне 1812-го года присоединился к армии Наполеона и попал в русский плен à la Bataille de Krasnoï. В плену в Саратове написал черновой вариант своего трактата о проективных свойствах фигур. Позже стал президентом Парижской академии наук и членом-корреспондентом Петербургской.
И мне кажется, не очень удобно, когда все чертежи собраны в конце трактата, особенно, если в нем более 400 страниц. Но раньше, наверное, иначе не умели...
И мне кажется, не очень удобно, когда все чертежи собраны в конце трактата, особенно, если в нем более 400 страниц. Но раньше, наверное, иначе не умели...
Symedian_Luiz_Gonzalez.pdf
131.4 KB
30 способов охарактеризовать симедиану от Луиса Гонсалеса!
А вот такое интересное "доказательство" теоремы Монжа (о трех колпаках), говорят принадлежит Акопяну
Заметим, что точка пересечения общих внешних касательных к двум окружностям обладает тем свойством, что любая прямая, проходящая через эту точку составляет равный угол с этими двумя окружностями. При этом верно и обратное утверждение. Следовательно, прямая, проходящая через два центра гомотетии, составляет равные углы со всеми тремя окружностями, а значит проходит и через третий центр гомотетии.
Заметим, что точка пересечения общих внешних касательных к двум окружностям обладает тем свойством, что любая прямая, проходящая через эту точку составляет равный угол с этими двумя окружностями. При этом верно и обратное утверждение. Следовательно, прямая, проходящая через два центра гомотетии, составляет равные углы со всеми тремя окружностями, а значит проходит и через третий центр гомотетии.