молодцы!)

условие было такое

Преподаватели Дабромат продолжают делать крутые летние активности для вас! Для тех, кому требуется погружение в конкретную тему, а не последовательная прокачка навыков, как на летних курсах, мы подготовили линейку спецкурсов.

Что же такое спецкурс?

Это интенсивная неделя занятий, на которой подробно рассматривается одна или несколько смежных тем. Спецкурсы, как и ступени, будут разного уровня в зависимости от текущих знаний участников.

➤ «Вокруг малой теоремы Ферма, порядков чисел и леммы об уточнении показателя»

Преподаватель — Бибиков Павел Витальевич.

Каждый знает Малую теорему Ферма. Спецкурс посвящен ее уточнениям и применениям в олимпиадных задачах по теории чисел.

Занятия проводятся 24-30 июня.

➤ «Топологический путь к Вейерштрассу»

Преподаватель — Волкова Алиса Алексеевна.

Мы познакомимся с новым для многих разделом математики — топологией, в простом понимании — науке о геометрических и не только свойствах различных нестандартных объектов. Мы затронем лишь малую её часть — изучим некоторые свойства функций и отображений, но этого нам хватит, чтобы доказать теорему Вейерштрасса, теорему, которая часто помогает формализовать решение неравенств и немного модифицировать метод Штурма, что поможет применять его в более широком классе задач.

➤ «Открытая неделя по барицентрам» 1 часть

Преподаватель — Бахарев Федор Львович.

Спецкурс посвящен мощному методу решения геометрических задач — счету в барицентрических координатах.

Состоит из двух частей: подготовительной открытой недели и недельного интенсива. На открытой неделе мы кратко вспомним основные понятия геометрии масс, обсудим простейшие вещи, связанные с барицентрическим координатами, подготовимся к основной части спецкурса.

Открытая неделя проводится 22-27 июля.

➤ «Интенсив по барицентрам» 2 часть

На самом интенсиве мы погрузимся в пучину барицентров, решим множество задач уровня сложнейших математических состязаний.

Преподаватель — Бахарев Федор Львович.

Интенсив проводится 28 июля - 4 августа.

➤ «Дистанционные графы»

Преподаватель — Дидин Максим Александрович.

Погружение в теорию графов для любителей комбинаторики. Обсудим число независимости графа и его хроматическое число, научимся доказывать известные теоремы про графы и попробуем решить открытые вопросы.

Занятия проводятся 17-23 августа.

Запись на спецкурсы откроется совсем скоро! Не пропустите🔥

Думаете, всё знаете про степень точки? А вот и нет.

Тринадцатая задачная разминка — от нашего преподавателя Фёдора Львовича Бахарева. Комментарий от автора:

В этой разминке мы затронем довольно сложные и содержательные вопросы, связанные со сравнительно свежими подходами к решению трудных геометрических задач. Речь пойдёт об алгебраическом взгляде на степень точки относительно окружности, то есть о понимании степени точки как функции на плоскости. На разборе мы затронем такие важные темы, как линейность разности степеней относительно двух окружностей и лемма о соосности. Возможно, на разборе будут разобраны не только три задачи, приведённые выше, но и некоторые задачи из последних олимпиад, например, с финала ВсОШ этого года.

Разминка будет полезна всем, кто уже знает, что такое степень точки, но хочет освоить продвинутые техники её использования.

Как всегда, в комментариях приветствуются ваши решения и мысли о задачах.

Разбор задач будет проводиться Фёдором Львовичем в субботу 22 июня в 15:00 мск по ссылке https://us06web.zoom.us/j/5634707332?pwd=TUcxTlJQbmxxMGRucDJ0ejVDaVZ3UT09&omn=84130329096

Присоединяйтесь!

#мт_разминка

Придумал окружности анти-Аполлония треугольника (наверняка, не я первый). A-окружность анти-Аполлония треугольника ABC это геометрическое место точек X таких, что BX/CX=CA/BA.

Оказывается они очень похожи на окружности Аполлония.

1. Если такие окружности пересекаются, то они все три пересекаются в двух точках, симметричных относительно описанной окружности треугольника.

2. Они соосны.

3. Они перпендикулярны описанной окружности.

4. Их общая радикальная ось — прямая Эйлера треугольника.

Что еще можно про них сказать? Или про точки их пересечения? Ну и вообще это все, наверное, давно исследовано и как-то называется...

Напоминаем, что сегодня в 15:00 мск будет проходить разбор задач от Фёдора Львовича Бахарева.

Будем обсуждать тринадцатую задачную разминку, посвящённую степени точки и продвинутым техникам вокруг неё. Условия задач можно найти тут.

Ссылка для подключения

Присоединяйтесь!

Зеленый четырехугольник — квадрат. Зеленый угол равен 45 градусов. Докажите, что разность красного и синего угла тоже 45 градусов.

USA TSTST 2024, problem 4

Диагонали вписанного четырхугольника ABCD пересекаются в точке E. Касательные в точке A к (AED) и в точке C к (BCE) пересекаются в точке P. Касательные в точке D к (AED) и в точке B к (BCE) пересекаются в точке Q. Докажите, что точки P и Q равноудалены от центра (ABCD).

30 способов охарактеризовать симедиану от Луиса Гонсалеса!

А вот такое интересное "доказательство" теоремы Монжа (о трех колпаках), говорят принадлежит Акопяну

Заметим, что точка пересечения общих внешних касательных к двум окружностям обладает тем свойством, что любая прямая, проходящая через эту точку составляет равный угол с этими двумя окружностями. При этом верно и обратное утверждение. Следовательно, прямая, проходящая через два центра гомотетии, составляет равные углы со всеми тремя окружностями, а значит проходит и через третий центр гомотетии.

Какие еще есть доказательства теоремы Монжа?

Ну, во-первых, есть стандартное доказательство с теоремой Менелая. Я бы даже сказал, что теорема Монжа это и есть теорема Менелая.

Во-вторых, есть доказательство с композицией гомотетий. Если композиция трех гомотетий является тождественным преобразованием, то центры лежат на одной прямой. Как это понять? Надо проследить, например, за центром первой гомотетии. Если центры гомотетий не лежат на одной прямой, то он не имеет шансов вернуться назад в исходное положение.

В-третьих, есть замечательное доказательство от Григория Мерзона с линейными функциями. Обозначим центры окружностей A, B, C, их радиусы — a, b, c. Пускай [B,C] — линейная функция на плоскости, которая в точках B и C равна 0, а в точке A равна 1 (в частности, [B,C]=0 — уравнение линии центров этих окружностей). Аналогично определим функции [C,A] и [A,B].
Тогда a[B,C]+b[C,A]+c[A,B]=0 — уравнение прямой, на которой лежат нужные три точки.

В-четвертых, есть доказательство с моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского. Вкратце, если радиусы (в смысле модели) первой и второй окружностей равны, и второй и третьей равны, то и радиусы первой и третей окружностей равны. А движение, переводящее равные окружности друг в друга это как раз гомотетия с центром на абсолюте.

В-пятых, есть доказательство Акопяна из вчерашнего поста.

А в-шестых, предлагаю такое доказательство с помощью масс. Пусть опять центры окружностей A, B, C, их радиусы — a, b, c. Поставим в точку A массу b-c, в точку B массу c-a, и в точку C массу a-b. Сумма масс равна нулю, центра масс нет, но есть утверждение, которое я называю лемма о диполе

Предположим дана система материальных точек с нулевой суммой масс. Ее разбили на две группы двумя способами. При первом разбиении образовалось две группы с ненулевыми суммами, при этом группа с положительной суммой масс имеет центром точку X+, а группа с отрицательной суммой масс имеет центром точку X-. При втором разбиении аналогично получаются точки Y+ и Y-. Тогда X-X+ и Y-Y+ параллельны - дипольная ось.

В нашем случае мы разобьем, скажем, массу в точке C на две

a-b=a/c(c-b)+b/c(a-c)

массы (A, b-c) и (C, a/c(c-b)) группируются в центр гомотетии окружностей с центрами A и C;

массы (B, c-a), (C, b/c(a-c)) группируются в центр гомотетии окружностей с центрами B и C;

поэтому прямая, соединяющая два центра гомотетий, параллельна дипольной оси нашей системы масс. а значит и все три центра лежат на одной прямой.

UPD. Забыл еще доказательство со сферами и выходом в пространство..

Хорошее упражнение из задачника В.В. Прасолова

Красная прямая пересекает две красные окружности в четырёх точках. Докажите, что касательные в этих точках к одной окружности пересекают касательные к другой окружности в четырёх точках, лежащих на окружности, причём центр этой окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

А еще полезно вспомнить задачу П.А. Кожевникова с финала олимпиады Шарыгина 2021 года

Секущая пересекает первую окружность в точках A1, B1, а вторую — в точках A2, B2. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках C1, D1, а вторую — в точках C2, D2. Докажите, что точки A1C1 ∩ B2D2, A1C1 ∩ A2C2, A2C2 ∩ B1D1, B2D2 ∩ B1D1 лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.

https://arxiv.org/abs/2306.15099

А.Г.Хованский про центр масс в т.ч. для систем с нулевой суммарной массой (в этом случае он является не массивной точкой, а “диполем”)