На отрезке АВ=2 взяли точку С. На отрезках АС и ВС с разных сторон относительно АВ построили квадраты АСDE и CBFG. М и N — их центры соответственно. Чему равна площадь четырёхугольника MNBD?

#начинающим

Продолжаем. Вот еще мой листик (хотя скорее два) про прямую Штейнера и прямую Симсона. Опять же может не самый хороший)

Задача Егора Бакаева с Турнира Городов (базовый тур, 8-9 класс, осень 2024)

Дан описанный пятиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Центр его вписанной окружности лежит на диагонали 𝐴𝐶. Докажите, что 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 > 𝐶𝐷 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐴

Картинку мы взяли в канале Фулл и точка
А тут остальные задачи этого тура

А у 10-11 классов на Тургоре была задача Михаила Евдокимова, тоже прекрасная.

В равностороннем треугольнике ABC проведены отрезки ED и GF, так что образовались два равносторонних треугольника ADE и GFC со сторонами 1 и 100 (точки E и G лежат на стороне AC).

Отрезки EF и DG пересекаются в точке O, причём ∠EOG = 120°.

Чему равна сторона треугольника ABC?

Еще интересная теорема о замыкании.

На стороне BC треугольника выбирают точку D. B треугольники ABD и ACD вписывают окружности. Их общая внешняя касательная пересекает AD в точке K. Доказать, что длина AK не зависит от выбора точки D.

// Задача И.Ф.Шарыгина на ММО-1994 с сегодняшнего семинара. Подходит начинающим — никакие знания сверх школьной программы не требуются (но надо не полениться)

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Через точку её касания с катетом проведён перпендикуляр к хорде, соединяющий другие две точки касния. Доказать, что этот перпендикуляр высекает на катете отрезок, равный радиусу вписанной окружности.

// Задача М.А.Волчкевича на ММО-2007 со вчерашнего семинара. Тоже не требует никаких знаний (но придумать решение не так просто). В комментариях есть обобщение

параболу y=-x² пересекают всевозможными параболами вида y=x²+ax+b, проходящими через фиксированную точку

доказать, что всевозможные общие хорды этих парабол проходят через фиксированную точку

// задача П.Кожевникова с заканчивающейся сейчас олимпиады «Ассара»; все задачи — https://tttttt.me/matheduks/31

#семинары

❗️Семинар учителей математики в МЦНМО.

Д.Г.Мухин, Д.В.Швецов. Вписанная и вневписанная окружность.

Приглашаю всех принять участие в устной олимпиаде Лицея НИУ ВШЭ по геометрии!
Олимпиада проводится для учеников 8-11 классов. Интересные задачи найдутся как для начинающих, так и для опытных геометров.
Олимпиада состоится 27 октября по адресу: ул. Солянка 14А, стр.1. Начало олимпиады в 10.00.

Для участия необходима предварительная регистрация: https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeYRBtcir_X2sfYnwOCrHcMahrgC2VXAAEcQC614jni048q5w/viewform?usp=sf_link
Регистрация открыта до 26 октября.

#геометрия #задача

Докажите, что пунктирная прямая проходит, через фиксированную точку.

Внутри окружности расположен а) правильный б) равносторонний многоугольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до окружности — появляется по два новых отрезка. Доказать, что если новые отрезки покрасить в красный и синий цвета в естественном порядке, то сумма длин красных отрезков будет равна сумме синих.

// подниму из комментариев обобщение предыдущей задачи

Давид Бродский написал хорошие посты про инверсию. Всем рекомендую. Пост 1, Пост 2. А ну да в комментариях написали еще уровни. Но я бы сказал, что есть только еще один уровень. Он заключается в том, что инверсия является изогональным сопряжением относительно некоторого треугольника. Треугольник немного необычный правда. Две вершины у него комплексные... Но зато это позволяет расширить инверсию на комплексные точки, а еще наверное не надо доказывать, что инверсия сохраняет двойные отношения. Но к сожалению такой взгляд не очень помогает в задачах, поэтому знать необязательно)

давайте попробуем новый формат: “задачи на практическое построение”

допустим обсуждаются всевозможные окружности, касающиеся двух данных (как на рисунке) — как строить такие картинки? (например, в геогебре; или если не верите в компьютеры — циркулем и линейкой)

рассматривают всевозможные пунктирные окружности, касающиеся двух данных (внутренним образом)

доказать, что концы возникающих красных хорд лежат на одной окружности

( задача П.Кожевникова на позавчерашнем Турнире городов; все задачи: https://turgor.ru/problems/46/os-46-sl-avt.pdf )

Разминка дня №1

С этого дня команда администраторов будет делать почти каждый день разминки (простые задачи для всех, чтобы разбавить тот ужас, который постится здесь обычно. Обычные посты никуда не денутся)