Дмитрий Прокопенко написал статью «Разрезания и перекладывание отрезков» (опубл. в журнале Архимед)

обсуждаются и задачи https://tttttt.me/geometrykanal/1813 и задача https://tttttt.me/geometrykanal/2269 и еще разное

«…Казалось бы, что может быть проще равностороннего треугольника? Решение вызвало смесь восхищения и удивления. Потом попадались еще задачки с похожей конструкцией. С некоторыми из них, среди которых есть настоящие шедевры, а также с характерными приемами решения мы и познакомимся…»

Любопытный сайт, на котором можно найти множество геометричных орнаментов.

https://patterninislamicart.com/

Очень крутая задача с секретом с MMO 2021(это не Московская олимпиада, а макет в стиле IMO). Предлагалась под номером 3. Картинку не рисую. Пусть ABC - неравнобедренный треугольник. Предположим, что окружность с центром на прямой BC, проходящая через A, окружность с центром на прямой AC, проходящая через B, и окружность с центром на прямой AB,проходящая через C, имеют общую радикальную ось. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на этой радикальной оси.

Wild Mathing напомнил задачу с Всесоюзной олимпиады (и статью в Кванте про нее):

Один тетраэдр лежит внутри другого. Может ли сумма длин ребер у внутреннего быть больше, чем у внешнего? Какое максимальное отношение можно получить?

(Ср., кстати, с аналогичной задачей про параллелепипеды.)

Я, кстати, знаю еще один прекрасный пример как "меньшее может быть большим". В свое время меня этот пример поразил до глубины души. Он, правда, про размерности выше 3.

Вопрос такой. Существует ли в n-мерном пространстве два центрально симметричных тела A и B (с центром в начале координат) таких, что площади всех (n-1)-мерных центральных сечений A меньше, чем площади соответствующих сечений B, а объем A больше объема B.

Особо удивительно то, что в размерности, начиная, кажется с 7, контрпримером служит шар и куб, и это почти совсем просто понять...

VIKKi - Ringel Circles Problem - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=s-3OwgwT7qw

Точка Эйлера-Понселе для парабол с параллельными осями. Предлагается найти еще свойство этой точки, которое верно для окружностей и для парабол.

Как вам такой факт: чевианная парабола (аналог чевианной окружности, которая проходит через точку Понселе-Эйлера).

Площадь каждого правильного пятиугольника равна 1. Найдите площадь белой области внутри.

Теорема Понселе для треугольника, четырехугольника и пятиугольника с явными параметризациями для радиусов вписанной и описанной окружностей и расстояния между их центрами.

https://www.geogebra.org/classic/bjpvtpwm

https://www.geogebra.org/classic/dx3sgmnb

https://www.geogebra.org/classic/mcfys5q6

сегодня (24.02) в 19msk будет стрим Давида Бродского про проективное движение точек

стрим: https://youtube.com/live/7JhJzZumL34

подробный анонс: https://tttttt.me/vsosh_olymp/156

«Движение точек — мощный метод решения геометрических задач, который в последние годы стал крайне популярен (…) за счет своей кажущейся простоты и невероятной силы (…). Однако в подавляющем большинстве случаев школьники неправильно понимают концепции теории движения точек, из-за чего пишут на олимпиадах решения, содержащие серьезные ошибки.

На стриме мы поговорим об одном из самых простых видов движения — о проективном. Мы разберем несколько задач, которые в свое время считались крайне трудными, но в одну строчку решаются при помощи указанного метода. (…)

Если вы планируете участвовать в стриме, то убедитесь, что вы знаете что такое проективная прямая, проективная плоскость и двойные отношения (…).»

upd: говорят, из-за технических проблем стрим перенесели

upd2: вот, в итоге, запись —
https://www.youtube.com/live/jiZaRe1UDEM

Несложная и красивая задача.

Из старого дневника (2008 год), задача.

Рассмотрим круговой (это важно) конус и отсечем у него верхушку. Получится колпак (некоторый, вообще говоря не прямой, конус над эллипсом). Составим из двух таких одинаковых колпаков фигуру. Утверждается, что сумма длин образующих, соединяющих точку на эллипсе с вершинами, не зависит от точки на эллипсе. Вот это все на рисунке.

Если что -- я ее сам придумал случайно, может быть известная.

Взаимосвязанный вопрос.

Дан эллипс. Найти геометрическое место вершин круговых конусов, у которых данный эллипс является сечением.

Надо доказать, что если четыре точки лежат на одной окружности, то XY диаметр этой окружности. Когда-то меня очень поразила эта задача. Попробуйте придумать авторское решение). Автор: Evan Chang, USA.

https://www.geogebra.org/m/jFFERBdd#material/exrpd9dw

картинки по выходным — снова про теорему Пифагора

как собрать из (частей) правильных шестиугольников, построенных на катетах, правильный шестиугольник построенный на гипотенузе

В связи с этой задачей в качестве ассоциации возникла такая классическая конструкция.

На плоскости даны 4 прямые общего положения. Для каждой пары данных прямых провели две биссекторные прямые. После чего отметили их точки пересечения. Какие точки пересечения выстраиваются на окружности и что про эти окружности можно сказать?

Дима Швецов и Митя Мухин выложили видеозаписи докладов конференции Блинков-70

вот, например, Наташа Стрелкова рассказывает про интересный формат геометрического марафона: https://youtu.be/O6jj9Qgi13c

( весь плейлист: https://www.youtube.com/playlist?list=PLIu8Mui0KEFd4OPkgVXeQgo8Unh3bK33b )

В этом году RMM порадовала красивой геометрической задачей. Вот ещё одна красивая задача с шорт-листа прошлого года RMM SL 2023 G3. Дан треугольник ABC и точка P. Точки O_a,O_b,O_c - центры окружностей (PBC),(PAC),(PAB) соответственно. Точка Q симметрична точке P относительно общей хорды окружностей (O_aO_bO_c) и (ABC). Докажите, что точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC.