(из «Олимпиадной геометрии»): красные окружности равны — доказать, что и синие окружности равны

(кроме того, что просто нравится) кажется еще похожим на обсуждавшуюся раньше “теорему о четырех кругах” — можно попробовать перенесети решение, или смешать два утверждения и т.п.

#видео #семинары

❗️Г.Б.Шабат. Площади пифагоровых треугольников.

обобщение (включающее и предыдущую задачу, и теорему о четырех кругах) от коллеги Нилова: если зеленые окружности равны, то и остальные окружности (попарно) равны

а если и не равны — то линии центров (по одной для каждого цвета) все пересекаются на стороне треугольника

https://www.geogebra.org/classic/m8fv5jpn

в треугольнике провели высоты AA', BB', CC'

доказать, что треугольник с вершинами в ортоцентрах цветных треугольников (AB'C' и аналогичных) равен треугольнику A'B'C'

// давние ММО/Тургор, А.Акопян

Существует ли такая выпуклая фигура на плоскости, которую можно поделить на 7 равновеликих по площади частей 3 прямыми?

(источник)

Что-то у меня не получается решить.

https://www.youtube.com/live/uyPtQqHSjUA

видеозапись рассказа Наталии Стрелковой про степени свободы и т.п. в геометрии

1) Даны две окружности с общим центром. Построить одной линейкой этот центр.

2) Даны две пересекающиеся окружности. Построить одной линейкой их общие касательные.

В равностороннем треугольнике ABC отметили точки N, K, M на сторонах AB, BC, AC соответственно так, что AM = 1, BN = 2, BK= 3, CM= 4. Докажите, что треугольник MNK равнобедренный.

Задача из 6-го этапа заочного конкурса журнала «Квантик»: https://tttttt.me/kvantik12/317
Не обсуждайте, пожалуйста, решение.

Из точки M внутри правильного треугольника ABC сторона видна под углом 150 градусов. Доказать, что из отрезков MA, MB, MC можно составить прямоугольный треугольник.

SAGF 2024 SL 1.
Сколько парабол можно провести через вершины треугольника так, что ее фокус лежит на описанной окружности?

Замостите плоскость одинаковыми плитками, граница каждой из которых состоит из трёх дуг окружностей, имеющих общие концы.

Могут ли эти дуги быть попарно различными? Как описать все такие замощения?

Круги в квадрате.

Древние греки не могли решить некоторые задачи с помощью циркуля и линейки. Самыми известными из них были задачи об удвоении куба, деление произвольного угла на три равные части, построение правильного семиугольника и квадратура круга.
Только в XIX веке было доказано, что циркулем и линейкой из единичного отрезка можно построить лишь квадратичные иррациональности, то есть все числа, которые получаются из 1 с помощью арифметических операций и извлечения квадратных корней. Кстати, это доказательство вполне доступно школьникам.
Корни большинства кубических уравнений (если среди них нет рациональных) нельзя представить в таком виде, поэтому и построить их классическими инструментами не получится.
Вашему вниманию предлагается задача о трех равных кругах в квадрате, которую тоже не решить циркулем и линейкой, ведь радиус нужных кругов - корень кубического уравнения с целыми коэффициентами.
Какое это должно быть уравнение?

складывая бумагу можно сделать больше, чем позволяют только циркуль и линейка

вот, например, «удвоение куба» (построение кубического корня из 2) сгибанием квадратного листа бумаги

В продолжение этого сюжета. Ответ: 6. Можно доказать,что фокусы этих парабол являются точками пересечения вневписанных окружностей с описанной окружностью. Предлагается доказать это и то,что каждая парабола содержит одну из внешних точек Жергонна.

Задача о делении на равные части сгибанием была осенью у нас на Турнире по математическому моделированию https://internat.msu.ru/media/uploads/2023/10/omarstarsh2023resheniya.pdf. В задачах на сгибание надо точно указывать разрешенные операции. "Простые" операции - сложить по линии через две имеющиеся точки или так, чтобы совместить две точки. А при "удвоении куба" предлагается поместить одну точку на одну линию, а другую - на другую линию. Это примерно то же самое, что и метод вставки Архимеда при трисекции угла, позволяющий решать кубические уравнения. Так что ничего удивительного.

Дан стандартный лист бумаги А4. Сложите из него а) квадрат; б) правильный треугольник; в) правильный пятиугольник; г) правильный нечетноугольник. Можно ли сложить правильный восьмиугольник?

Задача с эллипсом,которая почти попала на крутую олимпиаду... (ELMO Shortlist 2023 G7)