499. Сумма трех наибольших натуральных делителей натурального числа N в 10 раз больше суммы трёх наименьших его натуральных делителей. Найдите все возможные значения N.

#олмат
#тч

​​500. Существует ли такая отличная от круга фигура, ограниченная отрезками и дугами окружностей, что все отрезки, делящие пополам ее периметр, имеют одинаковые длины?

#олмат
#геом

​​501. В графе 100 вершин, какие-то соединены ребрами, но мы не знаем какие. Мы можем выбрать любую пару вершин и получить ответ на вопрос “есть ли ребро между ними?”. Какое наименьшее число вопросов надо задать, чтобы гарантированно выяснить является ли граф связным?

#олмат
#графы

​​502. Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?

#олмат
#матигры
#оценкаплюспример

​​503. В ряд лицом в затылок стоит счетное число заключенных, на каждого надет колпак черного или белого цвета. Каждый заключенный видит колпаки всех впереди стоящих заключенных. Также каждый знает свое положение в очереди. По команде все заключенные одновременно должны назвать цвет своего колпака. Как им договориться, чтобы не угадало лишь конечное число заключенных?

#олмат #алгоритмы

​​504. В начале сезона у баскетболиста Васи процент попаданий был меньше 75 процентов, а в конце сезона этот показатель превысил 75. Верно ли, что в какой-то момент процент попаданий был ровно 75?

#олмат

​​505. Сергей Дурасов утверждает, что придумал 1000-значное число, делящееся на 2¹⁰⁰⁰, в записи которого участвуют только цифры 1 и 2. Не лукавит ли он?

#олмат
#тч

​​506. Для двух узников подготовили испытание. Сначала первого приводят в комнату, в которой стоит шахматная доска. Охранник раскладывает 64 монеты по клеткам (какие-то орлом вверх, какие-то решкой). Далее он загадывает любую клетку. Первый узник обязан перевернуть ровно одну монету, после чего его выводят. Потом заводят второго узника и он, глядя на расположение монет, должен точно назвать загаданную охранником клетку. Как нужно договориться узникам заранее, чтобы наверняка пройти испытание?

#олмат
#узники

​​507. По однополосной дороге в одну сторону едут 𝑛 машин. В какой-то момент все машины одновременно меняют скорость на случайную из равномерного распределения на отрезке [60; 120]. Если машина (или группа машин) догоняет впереди идущую машину, то она упирается в головную машину и едет с ее скоростью. Через какое-то время машины разобьются на группы. Найти матожидание их количества.

#олмат
#тервер

​​508. Существует ли отображение из некоторого трёхмерного шара в некоторый плоский круг, для каждой пары точек не уменьшающее расстояние между ними?

#олмат

509. Из 16 монет две фальшивые, более легкие. Чашечные весы недостаточно чувствительны, поэтому если на них положить настоящую и фальшивую монеты, то они остаются в равновесии. Но две настоящие монеты перевешивают две фальшивые. Можно ли найти обе фальшивые монеты за 6 взвешиваний?

#олмат
#взвешивания

​​510. Дана бесконечная последовательность натуральных чисел, в которой каждое число, начиная со второго, равно количеству делителей предыдущего (включая единицу и само это число). В последовательности есть хотя бы четыре попарно различных числа, но нет двух полных квадратов подряд. Докажите, что она содержит степень четверки.

#олмат #тч

​​511. Мастер задумал четыре различных двузначных натуральных числа, одно из которых равно сумме трех остальных. Зная этот факт, а также три задуманных числа, ни одна из четырех Маргарит не смогла назвать недостающее число (Маргаритам сообщались разные тройки чисел). Какие числа задумал мастер?

#олмат #логика

​​512. На кольцевой дороге стоят n бензоколонок, в каждой какое-то количество бензина. Расстояния между бензоколонками известны. Имеется машина с постоянным и известным расходом топлива. При каких условиях можно стартовать с пустым баком из какой-то бензоколонки и проехать весь круг, заправляясь по пути?

#классика #алгоритмы

​​513. Вокруг стола с метровыми промежутками стоят p блюдец (p –– простое число), на каждом –– по одному печенью. Карлсон проходит вокруг стола k метров, останавливается и берёт печенье с блюдца. Затем Малыш, стартовав из того же места, проходит вокруг стола m метров, останавливается и берёт там печенье с блюдца. Потом Карлсон от места своей остановки идёт k метров и берёт печенье с блюдца (если оно там ещё осталось) и т. д. Все переходы они делают в одном направлении. Кому из них достанется больше печенья и на сколько, если k и m –– различные натуральные числа, меньшие p?

#олмат #тч

​514. На сторонах выпуклого четырёхугольника построены равносторонние треугольники во внутреннюю сторону. Оказалось, что треугольники, построенные на одной паре противоположных сторон, имеют общую вершину. Докажите, что треугольники, построенные на другой паре противоположных сторон, имеют общий центр.

#олмат #геом #планиметрия

​​515. Профессор Выбегалло написал 1001 статью. В каждой статье он может поставить ссылки на другие статьи, но никакие две статьи не должны ссылаться друг на друга. Выбегалло получит значимость k, если после этого у него будет k статей, на каждую из которых ссылаются хотя бы k статей. Какой наибольшей значимости он может добиться?

#олмат #оценкаплюспример

​​516. В армии Саурона 1000 орков. Для поднятия уровня дружбы в армии он казнил всех орков, у которых нет друзей, затем тех, у кого ровно 1 друг среди оставшихся в живых, затем тех, у кого ровно 2 друга среди оставшихся в живых и т.д. до 999. Какое наибольшее количество орков могло остаться в конце?

#олмат #оценкаплюспример