119. Двое играют в игру на доске 1703×1703. Первый своим ходом закрашивает "уголок" (квадрат 2×2 с вырезанной клеткой), а второй квадрат 2×2. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может обеспечить себе победу вне зависимости от ходов противника?

#олмат
#8класс
#матигры

​​182. Двое по очереди красят вершины шестиугольной призмы в белый и черный цвета. За один ход можно покрасить не покрашенную вершину в белый или черный цвет, причем никакое ребро не должно соединять одноцветные точки. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

189. Двое играют в "двойные шахматы": по очереди делают два хода подряд. Может ли у второго быть выигрышная стратегия?

#олмат
#матигры

250. Двое играют на шахматной доске 8×8. Первый -- ставит на любую клетку пешку. Далее они по очереди ее двигают на любую соседнюю клетку по вертикали или горизонтали, причем нельзя ставить пешку на поле, где она уже побывала. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выиграет при правильной игре -- первый или второй?

#олмат
#матигры

​​267. Сто карточек в стопке пронумерованы числами от 1 до 100 сверху вниз. Двое играющих по очереди снимают сверху по одной или несколько карточек и отдают противнику. Выигрывает тот, у кого первого произведение всех чисел на карточках станет кратно 1000000. Может ли кто-то из игроков всегда выигрывать независимо от игры противника?

#олмат
#матигры

279. В строке написано несколько минусов. Двое по очереди исправляют один или два соседних минуса на плюс. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

​284. На бесконечной плоскости расположены фишка-волк и 2000 фишек-овец. Двое ходят по очереди: один игрок передвигает волка, а другой одну из овец. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции, волк поймает хотя бы одну овцу?

#олмат
#матигры

​291. Паук и муха бегают по прямой. Известно, что скорость паука в двое больше скорости мухи. Но паук слепой и не видит муху, если только не находится с ней в одной точке. Верно ли, что паук всегда сможет догнать и съесть муху, где бы она ни находилась в начальный момент?

#олмат
#матигры

​​299. Никита и Аня по очереди ломают шоколадку 6×8, Никита начинает. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре и как ему для этого надо действовать?

#олмат
#матигры

​​308. Есть куча из n спичек. Играют двое, ходят по очереди, за ход разрешается брать от 1 до 10 спичек, выигрывает взявший последнюю спичку. При каких n выигрывает начинающий?

#олмат
#матигры

​312. Четверо пиратов: капитан, старшина, матрос и юнга (звания идут в порядке убывания значимости) нашли клад со 100 золотыми монетами. Им нужно разделить эти 100 монет между собой. Этот процесс происходит следующим образом: сначала капитан выбирает, как нужно разделить монеты среди четверых моряков (каждому достается целое число монет) и происходит голосование в котором участвуют все. Если большинство голосов против такого разделения, то капитана убивают, иначе, пираты получают соответствующее количество монет. Если капитана убили, то свой вариант предлагает старшина и опять происходит голосование. Так происходит и далее. Какое наибольшее количество монет может гарантировать себе капитан, если все пираты действуют наиболее оптимальным образом? Дополнительное условие: если невозможно увеличить собственную выгоду, то пират действует так, чтобы поддержать моряка меньшей значимости. Например: при всех прочих равных, юнга будет действовать в интересах матроса, а не старшины.

#олмат
#матигры

322. На доске написано число 60. Играют двое, ходят по очереди. За один ход разрешается уменьшить число на один из его натуральных делителей (в том числе на единицу или само это число). Если при этом получается нуль, игрок проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

329. На столе лежат 100 спичек. Двое ходят по очереди. За один ход можно взять 1, 2, 4, 8, . . . (любую степень двойки) спичек. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнёр?

#олмат
#матигры

362. В крайних клетках полоски 1×20 стоят белая и черная шашки. Двое по очереди передвигают свою шашку на одну или две клетки вперед или назад, если это возможно (перепрыгивать через шашку нельзя). Проигрывает тот, кто не может двинуть свою шашку. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

​​369. Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве pⁿ, где p – простое число, n = 0, 1, 2, 3, ... . Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

#олмат #матигры

438. Двое игроков отмечают точки плоскости. Сначала первый отмечает точку красным цветом, затем второй отмечает 100 точек синим, затем первый снова одну точку красным, второй 100 точек синим и так далее. (Перекрашивать уже отмеченные точки нельзя.) Докажите, что первый может построить правильный треугольник с красными вершинами.

#олмат
#матигры

443. Имеются фишки с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Рома и Даля по очереди берут фишки (каждый ход по одной фишке). Выигрывает тот игрок, который первым соберёт у себя три фишки с суммой 15. (Если ни у одного игрока таких фишек не будет, фиксируется ничья.) Начинает Даля. Может ли один из игроков обеспечить себе победу? Ничью?

#олмат
#матигры

​​474. На доске записано число 111...111 (всего 99 единиц). Вика и Наташа играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Начинает Вика. За ход игрок либо записывает ноль вместо одной из единиц, кроме первой и последней, либо стирает один из нулей. Проигрывает тот, после чьего хода на доске в первый раз появится число, делящееся на 11. Кто выигрывает при правильной игре?

#олмат
#матигры

​​487. Два бога по очереди выписывают цифры бесконечной десятичной дроби. Первый своим ходом приписывает в хвост любое конечное число цифр, второй -- одну. Они успевают сделать все ходы (то есть, бесконечно много) за час. Если в итоге получится периодическая дробь (без предпериода), выигрывает первый, иначе -- второй. Кто из них может выиграть, как бы ни играл соперник?

#олмат
#матигры

​​502. Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?

#олмат
#матигры
#оценкаплюспример