⚙️ График, который получается в результате таких манипуляций — трохоида, у которой опорная поверхность не плоская, а имеет переменный радиус кривизны. По сути это совокупность эпитрохоид, построенных на поверхности с переменным радиусом кривизны.

Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:

x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)

Для эпициклоиды уже сложнее:

x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)

где m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует).
Ну а если тут положить R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.

❓Математические вопросы для наших подписчиков:
▪️ Попробуйте выразить явную зависимость y(x). Получится у вас это сделать?
▪️ На видео видно, что мы получаем семейство кривых, которые после каждого полного «круга» немного смещаются. Для этого смещения обязательно ли число зубьев на маленьком колесе и число зубьев на опорной кривой должны быть взаимно простыми числами? Или достаточно лишь того, чтобы они отличались хотя бы на 1 ?

➰ Красота параметрических кривых

⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе

🕑 Экстремальная задача на смекалку

#математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📝 Величие, которое нельзя измерить деньгами

Григорий Яковлевич Перельман — редкий случай, когда масштаб личности затмевает даже масштаб решенной проблемы.

В 2002–2003 годах он выкладывает на arXiv свои знаменитые работы по гипотезе Пуанкаре. Никакого шума, никаких пресс-релизов. Просто текст. Он не делает того, что от него ждут: не публикуется в рецензируемых журналах по классической схеме, не бежит с докладами по ведущим университетам мира. Он просто решает задачу столетней давности, замыкая одну из глав топологии.

В 2010 году Математический институт Клэя объявляет о присуждении Перельману «Премии тысячелетия» в размере 1 миллиона долларов за доказательство гипотезы Пуанкаре.

Перельман отказывается. Он не просто игнорирует письма — он формулирует свою позицию предельно четко. В интервью «The New Yorker» он произносит фразу, которая для многих стала символом несгибаемой принципиальности. Отвечая на вопрос, почему он отверг премию, он спокойно говорит:

«Всех не купишь. Если решение вeрное, дальнейшее признание не нужно».

Для человека, который живет на скромную пенсию, который в тот момент практически не работает в официальных институциях, отказаться от миллиона долларов — это не просто скромность. Это принципиальная позиция человека, для которого истина не имеет цены.

Он показал миру, что существует иная система координат. Где главная валюта — чистота метода и внутренняя убежденность в правильности пути. Он не позволил превратить математику в шоу-бизнес, где главный приз — это чек.

Был ли это эскапизм, патологическая скромность или высшая форма свободы? Возможно, это был единственно возможный способ сохранить себя в мире, где любой результат пытаются монетизировать и капитализировать. Перельман напомнил нам, коллеги, что математика — это не гонка за грантами и не борьба за индекс цитирования. Математика — это диалог с истиной. И если ты нашел ее, остальное — суета.

«Всех не купишь» — это была теорема о существовании абсолютной свободы в мире, который пытается навесить ценник на всё. #математика #math #наука #science

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📝 Бесконечно повторяющиеся радикалы Рамануджана

Рассмотренная выше формула с бесконечно повторяющимися радикалами являются частным случаем более общей формулы:

📝 Подробнее

Источник, где эта формула выводится более строго: A. Herschfeld, On Infinite Radicals, American Mathematical Monthly 42 (1935), no. 7, 420–421.

Самое удивительное в Рамануджане — это не его ответ Харди, а странная модулярная функция, которую он открыл. В ней постоянно фигурирует число 24.

▪️ Связь с физикой: Когда спустя десятилетия физики начали строить теорию струн, они с удивлением обнаружили, что для самосогласованности струны нужно 26 измерений пространства-времени.

▪️Магия числа 24: Оказалось, что все 24 «режима» колебаний струны описываются той самой функцией Рамануджана. Для суперструн число измерений стало 10, и здесь снова проявились обобщенные формулы Рамануджана (где 24 заменяется на 8).

Фактически, ещё в 1920 году он написал формулы, описывающие гравитацию на квантовом уровне, хотя сам термин «черная дыра» появился позже.

Когда Рамануджану предложили решить сложную задачу о вложенных корнях (задача из журнала), он дал ответ спустя полгода, когда все остальные сдались. Он показал, что:

(1 + 2‧(1 + 3‧(1 + 4‧(1 + ... ) ¹ᐟ²) ¹ᐟ²) ¹ᐟ²) ¹ᐟ² = 3

Он просто «увидел» ответ, разложив 3 как √9. #math #математика #наука #алгебра #science

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib