Республиканская олимпиада Казахстана 2025

9 класс задача 4 (из 6). Автор М. Кунгожин

В неравнобедренном треугольнике ABC точка M — середина стороны AB, I — центр вписанной окружности, а J — середина дуги AB окружности, описанной около треугольника ABC, не содержащей точку C. К окружности с центром J и радиусом JM провели касательные IP и IQ (A и P лежат по одну сторону от прямой CI). Описанные окружности треугольников APJ и BQJ вторично пересекаются в точке R. Докажите, что R лежит на прямой AB.

ЗАДАЧИ И ИТОГИ УСТНОГО ТУРА — 2025

Сегодня, 30 марта в Москве состоялся заключительный устный тур 46го Турнира городов!

Опубликованы условия задач.

По итогам тура жюри приняло решение наградить
— дипломами I степени — участников, решивших не менее 4 задач (всего 25 человек);
— дипломами II степени — участников, решивших 3 задачи (всего 24 человека).
— дипломами III степени — участников, решивших 2 задачи (всего 56 человек).

Жюри также отмечает похвальными грамотами участников, решивших одну задачу.

#устныйтур

По просьбам особо активных участников выкладываю условия олимпиады 239. Довольно во многих питерских кружках принято задачи олимпиады выдавать в качестве серии, поэтому просьба в чате не обсуждать решения как минимум в ближайшие несколько дней.

на картинке есть правильная пятиконечная звезда, но найти ее не так просто...

Можно ли с помощью одной линейки установить, являются ли две данных окружности концентрическими?

Дан вписанный пятиугольник. Из вершины опустим три перпендикуляра на стороны пятиугольника, не выходящие из этой вершины. Основания перпендикуляров являются вершинами треугольника. Докажите, что площадь треугольника не зависит от выбора вершины пятиугольника.

На картинке площади красного и синего треугольников равны.

O и L — центр описанной окружности и точка Лемуана треугольника ABC. Докажите, что касательные к окружностям (AOL), (BOL) и (COL) в соответствующих вершинах треугольника пересекаются в одной точке.

G — точка пересечения медиан треугольника ABC. D — точка пересечения касательной к описанной окружности в точке A со стороной BC. Докажите, что красные углы равны.

красные углы не меняются

Треугольник с углами 40, 60 и 80 градусов.

Пожалуй самую красивую задачу, которую я придумал за последний год, вчера решали семиклассники на Московской устной олимпиаде. Само собой, что она была быть им по возрасту, то есть должна иметь решение без счета и тригонометрии. Предлагаю вам над ней тоже подумать. Обещаю: получите большое удовольствие!

Напомнилось тут в фейсбуке от Акопяна...

В США и Канаде trapezoid означает трапецию, а trapezium все остальные четырехугольники.

В остальном англоязычном мире: trapezium означает трапецию, а trapezoid все остальные четырехугольники.

Короче, английский очень сложный язык. Всегда надо помнить в журнал в какой стране вы отправляете свою математическую статью. И лучше бы в ней не было ни трапеций, ни четырехугольников.

Немного проспал(буквально) конец олимпиады, но вот моя задача с сегодняшней олимпиады. По-моему очень презабавно утверждение как факт...

Московская устная олимпиада по геометрии, 2025 год, 10-11 класс, Задача 6.

EGMO 2025, Problem 3

Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник. Точки 𝐵, 𝐷, 𝐸 и 𝐶 лежат на одной прямой в указанном порядке, причём выполнено равенство 𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐸𝐶. Пусть 𝑀 и 𝑁 — середины отрезков 𝐴𝐷 и 𝐴𝐸 соответственно. Предположим, что треугольник 𝐴𝐷𝐸 является остроугольным, и пусть 𝐻 — его ортоцентр. На прямых 𝐵𝑀 и 𝐶𝑁 выбраны точки 𝑃 и 𝑄 соответственно таким образом, что точки 𝐷, 𝐻, 𝑀, 𝑃 лежат на одной окружности и попарно различны, а также точки 𝐸, 𝐻, 𝑁, 𝑄 лежат на одной окружности и попарно различны. Докажите, что точки 𝑃, 𝑄, 𝑁, 𝑀 лежат на одной окружности.