Простое упражнение про стандартную конструкцию

Эта замечательная задача давно стала классикой — выдал ее на занятии на этой неделе. Весной этой задаче исполнится 30 лет.

Ее автор Сергей Маркелов, замечательный человек, которого сегодня увы не стало.

Кажется, что некоторое представление о Сергее и его вкусах в математике можно получить по такой замечательной лекции:
https://www.mathnet.ru/present50

Про параболическую точку Фейербаха не очень понимаю я кое-что...

Само утверждение такое: если парабола вписана в треугольник, то парабола с тем же направлением оси, проходящая через середины сторон, касается первой.

Доказать это можно по-разному. Можно, во-первых, применить какие-то общие соображения, видимо. Во-вторых, можно, видимо, переписать доказательство со счетом углов в общем виде, пригодном для углов в параболе. Ну и, наконец, можно просто посчитать.

Так вот если посчитать... то окажется, что точка касания имеет ту же абсциссу, что и центр масс треугольника (считаем, что параболы вертикальны) . И вот это мне не понятно... Есть ли у этого какая-то интерпретация, в частности, для окружностей?

У геометрической олимпиады им. Ясинского появился свой красивый сайт

https://yasinskyi-geometry-olympiad.com/en/home-eng/

Как показывают ответы выше, вопрос не такой уж и интуитивно понятный. На самом деле, если пытаться не просто угадать, а доказать соответствующий факт, то задача становится еще запутаннее.

Я знаю общий ответ в n-мерном пространстве и доказательство, в котором первый шаг... это преобразование Фурье характеристической функции куба. Правда, не выглядит тривиально?

Тем не менее, если ответ получен, то вместе с ним получается и ответ на такой вопрос.

Вопрос. Предположим в R^n даны два выпуклых центрально-симметриченых тела K и L с центром симметрии в начале координат. Оказалось, что любое центральное (n-1)-мерное сечение K имеет площадь меньше, чем сечение L той же гиперплоскостью. Верно ли, что тогда объем K меньше объема L?

Ответ оказывается отрицательным и контрпримером в размерностях больше 10 (не помню точно) служат куб и шар. А все потому, что можно явно указать сечение наибольшей площади у куба и посчитать ее.

Естественным продолжением служит такой вопрос.

Вопрос. Предположим в R^n даны два выпуклых центрально-симметриченых тела K и L с центром симметрии в начале координат. Оказалось, что любое центральное (n-1)-мерное сечение K имеет площадь как минимум в C раз меньше, чем сечение L той же гиперплоскостью. Верно ли, что существует такая универсальная константа C (не зависящая от размерности), которая гарантирует, что объем K меньше объема L?

Этот вопрос оставался открытым около 40 лет. И позавчера опубликовали препринт, подтверждающий, что это утверждение верно!

Что интересно, у этой гипотезы (теперь уже теоремы) есть множество абсолютно разнородных и нетривиальных переформулировок. Помню я даже как-то делал доклад в лаборатории Ч и рассказывал про это.

Вот, например, simplex conjecture (не помню, эквивалентна ли, но в одну сторону следствие точно есть).

Simplex conjecture. Обозначим через m(K) среднее значение объемов симплексов, лежащих внутри K. Тогда среди всех выпуклых тел единичного объема максимум m достигается на симплексе. (Минимум, кстати, достигается на шаре и это известно.)

Про сечения единичного куба (то, что их площадь не превосходит sqrt(2)) можно прочитать маленькую заметку вот тут. Если вы знаете более простое решение, то обязательно напишите мне!))

Докажите, что ортоцентры отмеченных треугольников лежат на одной прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей описанного четырехугольника.

Bulgaria MO, 1999, Problem 2

На картинке два подобных треугольника. O и H — центр описанной окружности и ортоцентр маленького, H' — ортоцентр большого. Докажите, что OH=OH'.

YGO 2024, 8 клас, Задача 2.

Нехай 𝐼 та 𝑂 — центри вписаного та описаного кіл трикутника 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝑃 та 𝑄 такі, що 𝐴𝐼𝑂𝑃 та 𝐵𝐼𝑂𝑄 — рівнобічні трапеції (𝐴𝐼||𝑂𝑃, 𝐵𝐼||𝑂𝑄). Доведіть, що 𝐶𝑃 = 𝐶𝑄.

Володимир Брайман

Дарагія сябры!

Са шчырымі і радаснымі віншаваннямі звяртаемся да вас у гэта цудоўнае і чароўнае свята — Каляды! Тым часам, калі свет напаўняецца адменнай атмасферай, напоўненай чаканнем дзіва і цяплом шчырых пачуццяў, мы прапануем нацешыцца вам выдатнай навагодняй задачай.

Унутры елкі ABC адзначаны пункт P. Апынулася, што існуе прамая, што дакранаецца навагодніх шароў, упісаных у трохвугольнiкі ABP, BCP, CPA.

Давесці, што прамая, якая праходзіць праз тры вонкавыя цэнтры гаматэтыі пар упісаных у трохвугольники ABP, BCP, CPA навагодніх шароў, таксама праходзіць праз вяршыню елкі ABC.

Аўтар: Раман Прозараў
Крыніца MGO 2024, задача 6

Hello, guys!
Завтра состоится последняя лекция в JB Math Club в этом году. Я решил сделать ее поучительно-развлекательной и рассказать 7-8 доказательств рождественской теоремы Ферма (о представлении простых чисел вида 4k+1 в виде суммы двух квадратов). А еще мы решили, что можно ее провести в формате общедоступного стрима. Ссылочка на YouTube стрим появится в комментариях завтра за пять минут до начала. Напоминаю, что JB Math Club это мероприятие на английском языке.

Какие доказательства планируется обсудить?
1. Метод спуска, предложенный, видимо, Эйлером
2. Доказательство с помощью леммы Туэ
3. Доказательство с помощью теоремы Дирихле о диофантовых приближениях
4. Доказательство Цагира с визуализацией Спивака
5. Доказательство с помощью теоремы Минковского
6. Доказательство Лагранжа с помощью квадратичных форм
7. Доказательство Дедекинда с помощью гауссовых чисел
8. Доказательство с помощью цепных дробей

Кроме того, по ходу дела мы постараемся обсудить заодно, позволяют ли данные доказательства придумать разумный алгоритм представления числа в виде суммы двух квадратов.

Начало лекции в 17:00 по московскому времени.

Ожидаемая продолжительность лекции 2 часа.

А что, действительно! Тут коллеги интересуются задачей года по геометрии... что думаете?

Наконец-то!

https://youtu.be/8V_8uet35I0?si=si6aIEHl9a6x74K4

С наступающим Новым Годом от Олимпиадной геометрии!

Докажите, что синие гирлянды на елке параллельны!

D и E — проекции вершины A на биссектрисы углов B и С. Докажите, что прямая Эйлера треугольника ADE проходит через точку Фейербаха треугольника ABC.

В очередной раз проверял технический прогресс... Ни строчки кода сам не написал...

Замутим решебник Акопяна?))