Говорят, стартовала Летняя конференция Турнира Городов. Там есть классный геометрический проект про точки Шиффлера. Пока традиционно проект выложен не весь. Не знаю как вам, а мне прям интересно! Планирую пару вечеров посидеть-порешать. У проекта появился свой телеграм-канал, в котором, видимо, будут публиковаться иллюстрации к задачам и комментарии.

Что такое точка Шиффлера? Помните я как-то писал тут про факт, что если у четырех треугольников ABC, BCD, CDA и DAB три из прямых Эйлера проходят через одну точку, то и четвертая проходит через эту же точку. Так вот, если точка D=I — инцентр треугольника, то как раз выполняются условия и точка пересечения называется точкой Шиффлера треугольника. ГМТ точек D, для которых выполнено свойство, кстати, тоже по-своему интересно: оно состоит из описанной окружности треугольника, бесконечно удаленной прямой и кубики Нойберга.

В честь кого названа точка? Точка названа в честь любителя геометрии Курта Шиффлера, 1896-1996, (см. фото), основателя фирмы, которая специализируется на производстве игрушек, мебели и учебных материалов для детских садов.

Одно из главных умений, которому надо научиться начинающему геометру, это понимать какие объекты на картинке зависят друг от друга, а какие нет. Зачастую это позволяет априори установить, что какой-то один угол выражается через какой-то другой, и на основании этого придумывать решение.

Одна из моих любимых задач на эту тему такая: доказать, что красные отрезки на картинке равны тогда и только тогда, когда равны синие.

Кидайте в комментариях задачи, где полезно разделить зависимости между объектами на картинке!

Меня тут опять перепутали с другим Федором. На этот раз с Федей П. Это, конечно, очень лестно для меня, но теперь количество Федоров, с которыми меня можно перепутать, не столь уж велико. Если вы все еще нас путаете, то решите классическую задачу не по геометрии, придуманную задолго до того, как путать Федоров стало мэйнстримом.

Я вот думаю, что если есть какое-то разумное утверждение про окружность, то оно должно быть в каком-то смысле верно и для равнобокой гиперболы.

На картинке треугольник описан около равнобокой гиперболы. Прямую, соединяющую две точки касания, пересекли с прямой, соединяющей третью с центром гиперболы. Докажите, что точка пересечения лежит на медиане треугольника.

Приветствую. Заметил интересный факт: вершина треугольника A, соответствующая ей точка Шалтая P, симметричная A относительно точки Фейербаха A' и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Предполагаю, что это известное утверждение. Буду признателен, если поделитесь интересными решениями.

Хотели бы сделать объявление:
С 18 по 23 августа на аопсе (ссылка ниже) будет проходить очень интересная олимпиада MGO 2024.

Составители задач - очень опытные геометры, среди них есть:
- Жюри олимпиады Шарыгина
- Золотые медалисты уровня Advanced Иранской геометрической Олимпиады
- Победители SAGF и Discord Geometry Olympiad
- Победители ВСОШ и кандидаты в сборную России на Международную Математическую Олимпиаду

Сложность задач будет достаточно высока: по шкале Imo Shortlist:
p1/p4 - G4
p2/p5 - G6/G7
p3/p6 - G8+

При этом в отличии от других олимпиад по геометрии высокой сложности на этой олимпиаде не будет:
- нагромождённых конструкций (все условия не более 4 строк в длину и обладают поразительной красотой)
- сложных объектов (каких-нибудь никому не известных замечательных точек, коник, или кубик)
- геометрических неравенств или комбинаторной геометрии

От себя могу добавить, что на мой взгляд, на этой олимпиаде будет несколько задач, которые могут претендовать на звание самых красивых задач в истории. Всем рекомендую поучаствовать!

https://artofproblemsolving.com/community/c594864h3379839_mgo_2024_announced

Про точку Шалтая тетраэдра можно думать так.

Пусть дан тетраэдр ABCD. Рассмотрим три сферы, касающиеся грани BCD в точках B, C и D и проходящие через вершину A. Докажите, что точка пересечения этих сфер, отличная от A, лежит на сфере, симметричной описанной около ABCD относительно грани BCD.

А какие еще свойства есть у такой точки?

а) Четырехугольник вписан в конику и описан вокруг коники. Теорема Понселе говорит, что тогда четырехугольник можно “вращать” с сохранением вписанности и описанности. Доказать, что точки пересечения противоположных сторон всё время лежат на одной прямой.

б) Полный четырехсторонник вписан в кубику и описан вокруг коники. Доказать, что четырехсторонник можно “вращать” с сохранением вписанности и описанности (предыдущий пункт соответствует кубике, распадающейся в объединение коники и прямой).

// via П.Бибиков: https://vk.com/wall840911_606

Предлагаю порешать такую задачу:
(источник - символ MGO, обобщение EMC 2022 S4, придуманное мной и Лёшей Суворовым)
Легко решается через линейную двигалку Кези, поэтому предлагаю поискать геометрические решения

сумма длин перпендикуляров из точки на стороны многоугольника Понселе не меняется

geometry_ukraine

Geometry Trip

https://youtu.be/QiaB6zubVws?si=LQCaWfTWMpUdLy6r

Наш проект развивается после завершения конференции 🤟

Публикуем запись лекции про проективные коники.

🐴🐴🐴🐴🐴🐴🐴🐴🐴🐴🐴

Разговор про коники не только интересен, но еще и полезен!

Многие задачи по геометрии (в частности, с различных олимпиад) имеют очень короткое и естественное решение, использующее коники, несмотря на то, что кониками в их условии даже не пахнет 🤯

Яркий пример тому есть в нашем проекте — самое простое доказательство существования точки Шиффлера обычными методами занимает страницу текста, а вот при помощи равнобоких гипербол это делается буквально в одну строчку 🤩

Многих пугает новая теория, но бояться не стоит. Мы сделали так, чтобы разговор про коники был доступен каждому, кто увлекается обычной планиметрией)

Заваривайте себе кружечку горячего чая и кликайте сюда 👉 тык-тык 👈

Дан красный эллипс с красными фокусами и черная окружность. Докажите, что синяя пунктирная прямая касается эллипса.

Для окружности радиус в точку касания перпендикулярен касательной.

А что для эллипса: как связаны отрезок из фокуса в точку касания и перпендикуляр из фокуса на касательную? Простая задача: доказать, что красные отрезки параллельны.

// via Д.А.Терёшин via Stanley Rabinowitz

в качестве картинок по выходным — несколько кругов Кандинского

https://www.guggenheim.org/artwork/1992