Задача 52:
Автор - Ким Пëтр

В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC. Точка D на BC такова, что верно равенство углов: DAB = BAC. Точки X и Y на AB и BC соответственно таковы, что AX : XB = 2 : 1 и BY : XC = 2 : 1. Доказать, что отражение D относительно XY лежит на AC.

Когда-то на канале публиковал обобщение этой задачи. Но в такой формулировке тоже симпатично.

Равносторонний треугольник разбит на три треугольника: красный, синий и зеленый. Докажите, что их прямые Эйлера пресекаются в одной точке.

Так-так-так...

Оказывается уже на следующей неделе стартует спецкурс по барицентрическим координатам!

Точнее на следующей неделе стартует первая часть, в которой может поучаствовать любой желающий. Это хороший способ проверить, подойдет ли вам интенсив, который стартует неделей позже.

Что будет на открытой неделе? Мы повторим определение центра масс, проверим, что мы все хорошо понимаем, как массы группируются, как при помощи масс доказывать, что точки лежат на одной прямой или, что прямые пересекаются в одной точке. Посчитаем барицентрические координаты кое-каких точек. В качестве изюминки обсудим нотацию Конвея и лемму о диполе.

Для кого это подходит? Будет здорово, если вы придете с ненулевыми знаниями про массы, хотя все необходимые определения и теоремы я докажу на лекциях, так что при должном упорстве можно все освоить с нуля. Но уж конечно, нам не удастся обойтись без векторов.

Как будет проходить открытая неделя?
22-го лекция в записи + листик с задачами
24-го разбор в зуме в 17:30 мск
25-го лекция в записи + листик с задачами
27-го разбор в зуме в 17:30 мск
сдача задач письменная с моей проверкой через таксу Дусю

Что надо сделать, чтобы поучаствовать?
Перейти по ссылке. Зарегистрироваться. Заплатить 0 рублей. Не забыть поучаствовать, впрочем, наверняка, Дуся вам напомнит.

Буду рад вас видеть на спецкурсе и пообщаться с вами на разборах!

Кажется, появились результаты IMO-2024

Добрая, но красивая задача. Акопян геометрия в картинках 6.2.2.

Окружности W_1 и W_2 касаются окружности W внутренним образом в точках K_1 и K_2. Окружность Г_1 касается W_1 и касательных из K_1 к W_2. Окружность Г_2 определена аналогично. Докажите, что радиусы Г_1 и Г_2 равны.

Много геометрических каналов, конечно, развелось... проще перечислить тех, у кого их нет... но я попробую в почти случайном порядке перечислить те, что есть.

Геометрия-канал старейший геометрический канал
Geometry Ukraine
Geometry Belarus
геометрия от Волчкевича
геометрия с Федором Ниловым
NeuroGeometry геометрия с не только лишь человеческим лицом
канал Ярослава Щербатова специалиста по Акопяну
канал Задача дня Юсуфа Нагуманова
Geometry Weekly автор скрывает свое имя... но мы то знаем...

У многих каналов есть свои чаты, но их уж я упоминать не буду. Наверняка, есть еще десяток, можете скинуть в комментариях, если действительно туда стоит заходить...

Кстати-кстати-кстати, спецкурс-то по барицентрическим координатам стартовал! Зарегистрировалось на открытую неделю пока всего 164 человека...

Первая лекция уже давно на платформе и многие начали присылать первые решения задач. Стараюсь оперативно все проверять... но сами понимаете...

Скажу вам по секрету, за решенные задачи на открытой неделе можно будет получить скидку на основной интенсив! Подробности ищите очень скоро на канале Олимпиадная математика ВсОШ.

Благодаря каналу Geometry Ukraine узнал некоторое время назад очень классную задачу про пару равносторонних треугольников с общей вершиной (см. картинку сверху — на ней отмечены центры треугольников).

А сегодня благодаря Кириллу узнал, что у задачи есть хорошее обобщение (картинка снизу). Два подобный треугольника сцеплены вершиной и на этот раз отмечены ортоцентры.

Всеми этими разговорами навеяло... две леммы о велосипедистах.

Пытался узнать, почему изодинамические центры так называются. Была у меня одна гипотеза, но она как-то не оправдалась. Видимо, такое название им дал Neuberg в сноске к статье про гармонический четырехугольник. Вообще там какой-то веселый источник в стиле "Решение задач по переписке + Статьи + задачи экзаменов", очень напоминает Квант, но без картинок...

Вот вам такое почти абсолютно тривиальное утверждение из задачника по переписке. Красная точка и прямая — фокус и директриса параболы. Диаметр синей окружности проходит через фокус. Тогда она касается директрисы.

Впрочем, встречаются и содержательные утверждения...

Моя неоправдавшаяся гипотеза, почему изодинамические центры (точки Аполлония) так называются: это такие центры треугольника, которые сохраняются при инверсиях (а на самом деле и в более широком классе отображений плоскости). То есть если точки A, B, C перешли в точки A', B', C' то точка Аполлония треугольника ABC перешла в точку Аполлония A'B'C'.

Прекрасные новости пришли с фронта умных чайников. AlphaProof решил все некомбинаторные задачи IMO-2024 и завоевал серебряную медаль!

https://www.newscientist.com/article/2441450-deepmind-ai-gets-silver-medal-at-international-mathematical-olympiad/

O,H - центр описанной окружности и ортоцентр оранжевого треугольника. У задачи есть очень изящное решение (как всегда)

Из комментариев от пользователя Yu Ka. Красный и синий треугольники правильные. Доказать, что зеленый тоже правильный.

Фуф! Открытая неделя по барицентарам закончилась! Это был челлендж и для меня тоже, потому что кроме записи лекций и проведения разборов надо было еще и проверять много всего. За каждый плюсик участники получали по 100 даброкоинов, которые конвертировались прямо сегодня в рубли по курсу 1 дбк = 5,77 р. Их можно потратить на оплату интенсивной недели.

Сам интенсивный курс стартует уже завтра. Основной целью я ставлю рассказать, как можно классно работать с окружностями в барицентрических координатах. Это, кажется, мало кто знает)

#51 (Окружной этап ВсОШ 2000, 11.3)

Доказать, что красная окружность касается MN

Красный, синий и зеленый углы пропорциональны соответствующим углам треугольника. Точки пересечения называются точками Хофстедтера.