USA TSTST 2024, problem 4

Диагонали вписанного четырхугольника ABCD пересекаются в точке E. Касательные в точке A к (AED) и в точке C к (BCE) пересекаются в точке P. Касательные в точке D к (AED) и в точке B к (BCE) пересекаются в точке Q. Докажите, что точки P и Q равноудалены от центра (ABCD).

30 способов охарактеризовать симедиану от Луиса Гонсалеса!

А вот такое интересное "доказательство" теоремы Монжа (о трех колпаках), говорят принадлежит Акопяну

Заметим, что точка пересечения общих внешних касательных к двум окружностям обладает тем свойством, что любая прямая, проходящая через эту точку составляет равный угол с этими двумя окружностями. При этом верно и обратное утверждение. Следовательно, прямая, проходящая через два центра гомотетии, составляет равные углы со всеми тремя окружностями, а значит проходит и через третий центр гомотетии.

Какие еще есть доказательства теоремы Монжа?

Ну, во-первых, есть стандартное доказательство с теоремой Менелая. Я бы даже сказал, что теорема Монжа это и есть теорема Менелая.

Во-вторых, есть доказательство с композицией гомотетий. Если композиция трех гомотетий является тождественным преобразованием, то центры лежат на одной прямой. Как это понять? Надо проследить, например, за центром первой гомотетии. Если центры гомотетий не лежат на одной прямой, то он не имеет шансов вернуться назад в исходное положение.

В-третьих, есть замечательное доказательство от Григория Мерзона с линейными функциями. Обозначим центры окружностей A, B, C, их радиусы — a, b, c. Пускай [B,C] — линейная функция на плоскости, которая в точках B и C равна 0, а в точке A равна 1 (в частности, [B,C]=0 — уравнение линии центров этих окружностей). Аналогично определим функции [C,A] и [A,B].
Тогда a[B,C]+b[C,A]+c[A,B]=0 — уравнение прямой, на которой лежат нужные три точки.

В-четвертых, есть доказательство с моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского. Вкратце, если радиусы (в смысле модели) первой и второй окружностей равны, и второй и третьей равны, то и радиусы первой и третей окружностей равны. А движение, переводящее равные окружности друг в друга это как раз гомотетия с центром на абсолюте.

В-пятых, есть доказательство Акопяна из вчерашнего поста.

А в-шестых, предлагаю такое доказательство с помощью масс. Пусть опять центры окружностей A, B, C, их радиусы — a, b, c. Поставим в точку A массу b-c, в точку B массу c-a, и в точку C массу a-b. Сумма масс равна нулю, центра масс нет, но есть утверждение, которое я называю лемма о диполе

Предположим дана система материальных точек с нулевой суммой масс. Ее разбили на две группы двумя способами. При первом разбиении образовалось две группы с ненулевыми суммами, при этом группа с положительной суммой масс имеет центром точку X+, а группа с отрицательной суммой масс имеет центром точку X-. При втором разбиении аналогично получаются точки Y+ и Y-. Тогда X-X+ и Y-Y+ параллельны - дипольная ось.

В нашем случае мы разобьем, скажем, массу в точке C на две

a-b=a/c(c-b)+b/c(a-c)

массы (A, b-c) и (C, a/c(c-b)) группируются в центр гомотетии окружностей с центрами A и C;

массы (B, c-a), (C, b/c(a-c)) группируются в центр гомотетии окружностей с центрами B и C;

поэтому прямая, соединяющая два центра гомотетий, параллельна дипольной оси нашей системы масс. а значит и все три центра лежат на одной прямой.

UPD. Забыл еще доказательство со сферами и выходом в пространство..

Хорошее упражнение из задачника В.В. Прасолова

Красная прямая пересекает две красные окружности в четырёх точках. Докажите, что касательные в этих точках к одной окружности пересекают касательные к другой окружности в четырёх точках, лежащих на окружности, причём центр этой окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

А еще полезно вспомнить задачу П.А. Кожевникова с финала олимпиады Шарыгина 2021 года

Секущая пересекает первую окружность в точках A1, B1, а вторую — в точках A2, B2. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках C1, D1, а вторую — в точках C2, D2. Докажите, что точки A1C1 ∩ B2D2, A1C1 ∩ A2C2, A2C2 ∩ B1D1, B2D2 ∩ B1D1 лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.

https://arxiv.org/abs/2306.15099

А.Г.Хованский про центр масс в т.ч. для систем с нулевой суммарной массой (в этом случае он является не массивной точкой, а “диполем”)

В треугольнике ABC отмечена середина M высоты AH и центр вписанной окружности I. D — точка касания вписанной окружности со стороной BC. Зеленая точка — четвертая вершина отмеченного прямоугольника и центр зеленой окружности. Докажите, что зеленая окружность касается описанной.

Еще задача с тремя равными окружностями, но более простая. ELMO SL G2. Оказалось, что красные окружности равны. Надо доказать, что сумма радиусов красной и синий окружностей равна радиусу черной окружности.

А вот еще задача про сумму радиусов.

Доказать, что радиус одного заштрихованного круга равен сумме радиусов двух других.

Квант М2793 (со звездочкой)

В остроугольном треугольнике ABC (AB <AC) точка O — центр описанной окружности. Пусть касательная к (ABC), проведенная в точке A, пересекает прямую BC в точке D. Пусть прямая DO пересекает отрезки AB и AC в точках E и F соответственно. Точка G построена так, что AEGF — параллелограмм. Пусть K и H — точки пересечения отрезка BC с отрезками EG и FG соответственно. Докажите, что окружность (GKH) касается окружности (ABC).

Чешско-Австрийско-Польско-Словацкий матч 2024 (растут!)

В четырехугольнике ABCD
AB=BC=CD. На лучах CA и BD выбрали точки X и Y соответственно так, что BX=CY. Докажите, что середины BX, CY, DX, AY лежат на одной окружности.

Очень часто вижу это утверждение как лемму в рассуждениях про окружности Мальфати. Но почему всегда оно считается в синусах? Я нашел здесь геом. решение... и мне оно показалось несложным, но забавным.

https://www.geogebra.org/geometry/yv4xupjq

В честь дня взятия Бастилии предлагаю вам задачу Дмитрия Терешина.

Есть довольно много задач с похожими картинками, в частности от Ламуна. Но большая часть из них так или иначе сводится к лемме о велосипедистах. С этой задачей это вроде бы не так...

На картинке даны три правильных пятиугольника. Доказать, что прямые пересекаются в одной точке.

что-то давно не было анимаций... эллипс, окружность и прямоугольник

IMO Shortlist 2023 G5

Условия IMO-2024

#48 (Сюжетик)

Фиолетовые окружности касаются двух сторон треугольника и его окружности девяти точек. Доказать, что их центры на одной прямой