G — точка пересечения медиан треугольника ABC. D — точка пересечения касательной к описанной окружности в точке A со стороной BC. Докажите, что красные углы равны.

красные углы не меняются

Треугольник с углами 40, 60 и 80 градусов.

Пожалуй самую красивую задачу, которую я придумал за последний год, вчера решали семиклассники на Московской устной олимпиаде. Само собой, что она была быть им по возрасту, то есть должна иметь решение без счета и тригонометрии. Предлагаю вам над ней тоже подумать. Обещаю: получите большое удовольствие!

Напомнилось тут в фейсбуке от Акопяна...

В США и Канаде trapezoid означает трапецию, а trapezium все остальные четырехугольники.

В остальном англоязычном мире: trapezium означает трапецию, а trapezoid все остальные четырехугольники.

Короче, английский очень сложный язык. Всегда надо помнить в журнал в какой стране вы отправляете свою математическую статью. И лучше бы в ней не было ни трапеций, ни четырехугольников.

Немного проспал(буквально) конец олимпиады, но вот моя задача с сегодняшней олимпиады. По-моему очень презабавно утверждение как факт...

Московская устная олимпиада по геометрии, 2025 год, 10-11 класс, Задача 6.

EGMO 2025, Problem 3

Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник. Точки 𝐵, 𝐷, 𝐸 и 𝐶 лежат на одной прямой в указанном порядке, причём выполнено равенство 𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐸𝐶. Пусть 𝑀 и 𝑁 — середины отрезков 𝐴𝐷 и 𝐴𝐸 соответственно. Предположим, что треугольник 𝐴𝐷𝐸 является остроугольным, и пусть 𝐻 — его ортоцентр. На прямых 𝐵𝑀 и 𝐶𝑁 выбраны точки 𝑃 и 𝑄 соответственно таким образом, что точки 𝐷, 𝐻, 𝑀, 𝑃 лежат на одной окружности и попарно различны, а также точки 𝐸, 𝐻, 𝑁, 𝑄 лежат на одной окружности и попарно различны. Докажите, что точки 𝑃, 𝑄, 𝑁, 𝑀 лежат на одной окружности.

Задача от В.Н. Дубровского (извлечено из fb)

Доказать, что если BC и AD параллельны, то EC и AF тоже параллельны.

Вопрос от В.Н.:
This fact is the crucial point in a much more involved theorem, discussed in a number of papers, but I haven't seen it in such a concise form. Does anybody have a reference? Or an equally concise solution?

С удивлением вчера в очередной раз читал диспут про то, какие темы подходят, а какие не подходят для финала ВсОШ. Не слишком для меня удивительная особенность некоторых недавно выпустившихся и пока еще не выпустившихся:

до олимпиады недовольны тренировочными вариантами (в ваших тренировочных вариантах не те темы/не та сложность/задачи не того авторства — подчеркните нужное)

после олимпиады недовольны задачами олимпиады (в варианте олимпиады не те темы, что в были прошлые годы/не те темы, что проходят олимпиадники/не те темы, что проходят обычные школьники/слишком неразнообразное авторство/они бы еще ребус дали/они бы еще задачу на теорему Хана-Банаха дали — подчеркнуть нужное)

Кстати, про задачи на теорему Хана-Банаха. В 1998 году на финале ВсОШ была задача 11.8 авторства Алексея Яковлевича как раз на эту теорему.

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

Условия второго дня всеросса 2025

Задача 9.8, 10.8 просто удивительная!

В треугольнике ABC проведены две изогонали AD и AE (т.е. зеленые углы равны). Красные точки — центры описанных окружностей треугольников ABD, ABE, ACD и ACE. Синие точки — центры их окружностей девяти точек. Докажите, что красный и синий четырехугольники вписаны, подобны и коэффициент подобия равен 2.