Открываем рубрику #красота_спасет_мир 🥳

Здесь мы будем предлагать вам задачи с простым и неожиданным решением, не требующим глубоких знаний💡

Дан шестиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, в котором 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, 𝐸𝐹 = 𝐹𝐴, а углы 𝐴 и 𝐶 — прямые. Докажите, что прямые 𝐹𝐷 и 𝐵𝐸 перпендикулярны.

#красота_спасет_мир

Встречайте авторскую задачу от Ивана Андреевича 😎

Задача. Даны две касающиеся внешним образом окружности Ω₁ и Ω₂ и угол 𝛼. К Ω₁ проводится касательная 𝑙₁ в точке 𝑋, а к Ω₂ касательная 𝑙₂ в точке 𝑌 так, что ∠𝑋𝑃𝑌 = 𝛼, обе окружности лежат внутри ∠𝑋𝑃𝑌, 𝑃 лежит выше линии, соединяющей центры Ω₁ и Ω₂, где 𝑃 — точка пересечения 𝑙₁ и 𝑙₂. Докажите, что биссектриса ∠𝑋𝑃𝑌 касается фиксированной окружности.

За неподвижной картинкой заходите в комментарии и присоединяйтесь к чату канала 💪

#красота_спасет_мир #ЮМТ

Команда авторов канала сейчас на Южном математическом турнире 🙂

Мы будем держать вас в курсе событий 😉 Ожидается очень много крутых геометрий 🔥

А вот и первая — своеобразный тест на профессионала с довольно изящной формулировкой от Павла Александровича 🤗

Задача. Трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐵 ‖ 𝐶𝐷) вписана в окружность Ω. Рассмотрим всевозможные окружности Γ, которые касаются отрезка 𝐶𝐷 и той дуги 𝐶𝐷 окружности Ω, что не содержит точек 𝐴 и 𝐵. Пусть Γ касается сторон некоторого угла ∠𝐴𝑃𝐵 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Докажите, что сумма 𝐴𝐾 + 𝐵𝐿 постоянна (то есть не зависит от выбора окружности Γ).

На командной олимпиаде в старшей лиге была еще одна прикольная геометрия от нашего подписчика Вовы Конышева. С ней справилась всего одна команда! 🤯

Условие и картинку к сложной задачке вы сможете найти в комментариях к посту 👇
Там же лежит неподвижная картинка к задаче от Павла Александровича 💜

Добавляйтесь в наш чат, чтобы ничего не пропустить!

Выше предлагалась примерно такая задача: смотрим на точки, из которых пара окружностей видна под данным углом, проводим биссектрисы этих углов, доказать, что все они касаются какой-то окружности (см. рис.).

Хочу поделиться спойлером, как решать почти любую задачу: если сразу идей нет, рассмотреть более простого родственника.

Выродим окружности из условия в точки. Что получится? Из точки P отрезок XY виден под фиксированным углом — то есть P лежит на дуге окружности. А биссектриса делит оставшуюся дугу пополам… то есть всевозможные биссектрисы в данном случае проходят через фиксированную точку.

Чтобы связать это с исходной задачей, можно отметить центры окружностей из условия и ———

#колм #красота_спасет_мир

Подошел к концу третий день турнира Колмогорова, и мы, как обычно, радуем вас задачами с него 💥

Задача. На сторонах 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐴₁, 𝐵₁ и 𝐶₁ соответственно. Четырёхугольники 𝐴𝐵₁𝐴₁𝐶₁, 𝐵𝐶₁𝐵₁𝐴₁ и 𝐶𝐴₁𝐶₁𝐵₁ описаны около окружностей с центрами 𝐼𝑎, 𝐼𝑏 и 𝐼𝑐 соответственно. Докажите, что площади треугольников 𝐴₁𝐵₁𝐶₁ и 𝐼𝑎𝐼𝑏𝐼𝑐 отличаются в четыре раза.

#красота_спасет_мир

Подошла к концу олимпиада ЮМШ 🥇 Публикуем задачку, которая предлагалась в девятом классе 🔥

Задача. Дан вписанный выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 выбраны на прямых 𝐴𝐷, 𝐴𝐵, 𝐶𝐵, 𝐷𝐶 так, что 𝑃𝑄 ⊥ 𝐴𝐵, 𝑄𝑅 ⊥ 𝐵𝐶, 𝑅𝑆 ⊥ 𝐶𝐷 и 𝑆𝑃 ⊥ 𝐷𝐴. Оказалось, что четырёхугольники 𝑃𝑄𝑅𝑆 и 𝐴𝐵𝐶𝐷 (соответственно) подобны. Докажите, что центр описанной окружности четырёхугольника 𝑃𝑄𝑅𝑆 — это точка пересечения диагоналей 𝐴𝐵𝐶𝐷.