Добрая задача про равные окружности: красные окружности равны, докажите, что угол прямой

https://miro.com/app/board/uXjVKY1HfmI=/ & https://geometry.ru/dv.html — материалы по геометрии с сегодняшнего семинара учителей

Опять задача про Шалтая и Болтая. Закрашенный четырёхугольник является параллелограммом.

Даны две пересекающиеся окружности. Доказать, что длина отрезка BC не зависит от выбора точки A.

а кому это слишком просто — решите задачу Д.В.Прокопенко с устной олимпиады по геометрии 2010 года:

Серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС остроугольного треугольника АВС пересекают прямые АС и ВС в точках М и N. Пусть точка С движется по описанной окружности треугольника ABC, оставаясь в одной полуплоскости относительно АB (при этом точки A и B неподвижны). Докажите, что прямая MN касается фиксированной окружности.

можно считать, что всё это в качестве рекламы упомянутого семинара — вот, кстати, видеозапись: https://youtu.be/j-Z3-IfS8b4

Касательную к вписанной окружности треугольника отразили относительно биссекстрис его внешних углов. Докажите, что три полученные прямые ограничивают треугольник, равный исходному.

Разбираем 4 решения геометрической задачи с недавно прошедшей ММО!

Точка H является ортоцентром треугольника ABC.

Из точки X провели касательные к параболе. Точки касания соединили отрезком и отметили его середину M. Доказать, что XM вертикальный (параллелен оси параболы).

// А родственником какого утверждения про окружность вы бы это назвали?

Дана пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.

Crazy fact

Два равных треугольника.
Любое количество окружностей.
Переставлять можно в любом порядке.

Добрая задача.
На сторонах треугольника построены равные прямоугольники. Докажите, что три прямых пересекаются в одной точке.

Вопрос без картинки.
Как построить(с помощью геогебры) треугольник такой,что его ортоцентр лежит на его вписанной окружности?

Задача подсказка. Дана парабола и точки A,B,C на ней так, что ее фокус является ортоцентром треугольника ABC. Тогда точка H лежит на вписанной окружности треугольника ABC.

Ладно, вот вам другая задача. А то говорят мало задач про многоугольники))

Даны два правильных шестиугольника.

(a) Докажите, что сумма площадей красных четырехугольников равна сумме площадей синих.

(b) Докажите, что сумма квадратов площадей красных четырехугольников равна сумме квадратов площадей синих.

Авторы: Fotis Dellaportas
и В.Н. Дубровский

Через общую точку двух окружностей проводят всевозможные прямые, которые вторично пересекают эти окружности в точках A и B. Доказать, что ГМТ середин AB — окружность.

Bulgaria NMO 2024, Problem 6

Вот такая симпатичная и несложная задача была в это воскресенье на устной олимпиаде по геометрии (Автор: Д. Прокопенко):

B треугольнике ABC провели биссектрису BL. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники ABL и CBL, а также центры вневписанных окружностей этих треугольников, касающихся стороны BL, лежат на одной окружности.

Красиво, не правда ли?

Добрая задача. Два подобных прямоугольных треугольника расположены как показано на рисунке. Докажите, что центр синей окружности попадает на катет.

(автор Д.В. Фомин)

на сайте устной олимпиады появились условия и решения проходившей в воскресенье геометрической олимпиады

https://olympiads.mccme.ru/ustn/usl24ge.pdf

https://olympiads.mccme.ru/ustn/resh24ge.pdf

Лекция Дмитрия Швецова про геометрические шедевры М.А.Волчкевича.