пусть будет для задачи выше и алгебраическое решение
не будем пытаться считать в лоб, а подумаем, как всё это выглядит на алгебраическом языке
гипербола задается каким-то квадратичным условием Q=1 (напр., xy=1 или x²-y²=1 и т.п.), а пара асимптот задается уравнением Q=0
если мы ограничим Q на нашу прямую, то увидим обычный квадратный трехчлен… что значит, что прямая касается гиперболы? что в ограничении на прямую Q=1 имеет единственное решение, это соответствует вершине параболы
ну тут уж каждый знает, что решения квадратного уравнения Q=0 симметричны относительно абсциссы вершины
чтобы убедиться, что это рассуждение понятно — можно продумать случай, когда прямая не касается гиперболы, а пересекает ее… или аналог исходной задачи для парабол
не будем пытаться считать в лоб, а подумаем, как всё это выглядит на алгебраическом языке
гипербола задается каким-то квадратичным условием Q=1 (напр., xy=1 или x²-y²=1 и т.п.), а пара асимптот задается уравнением Q=0
если мы ограничим Q на нашу прямую, то увидим обычный квадратный трехчлен… что значит, что прямая касается гиперболы? что в ограничении на прямую Q=1 имеет единственное решение, это соответствует вершине параболы
ну тут уж каждый знает, что решения квадратного уравнения Q=0 симметричны относительно абсциссы вершины
чтобы убедиться, что это рассуждение понятно — можно продумать случай, когда прямая не касается гиперболы, а пересекает ее… или аналог исходной задачи для парабол
Forwarded from Геометрия от Волчкевича
Задачи на каникулы
Чем можно заняться на Новогодней неделе? Доесть праздничный салат, сходить в гости, покататься на коньках… Хотя в такой мороз последнее — это отчаянный поступок. Уж лучше сесть у горящего камина в качающееся кресло и открыть хорошую книгу. А еще лучше порешать хорошие геометрические задачи — это я и предлагаю вам сделать :)
Пять задач на этом новогоднем листке я выдал ученикам своего девятого класса как задание на зимние каникулы. Правда, оно для них необязательное. Там есть и сложные задачи, но главное — все они новые, с ответами и не гуглятся (извините за новомодное слово).
Как обычно, пишите в чат только ответы, а не решения :)
Хорошего вам проведения времени и раздумий!
Чем можно заняться на Новогодней неделе? Доесть праздничный салат, сходить в гости, покататься на коньках… Хотя в такой мороз последнее — это отчаянный поступок. Уж лучше сесть у горящего камина в качающееся кресло и открыть хорошую книгу. А еще лучше порешать хорошие геометрические задачи — это я и предлагаю вам сделать :)
Пять задач на этом новогоднем листке я выдал ученикам своего девятого класса как задание на зимние каникулы. Правда, оно для них необязательное. Там есть и сложные задачи, но главное — все они новые, с ответами и не гуглятся (извините за новомодное слово).
Как обычно, пишите в чат только ответы, а не решения :)
Хорошего вам проведения времени и раздумий!
Forwarded from Олимпиадная геометрия
Всем полуночный привет! Очень-очень важная новость для любителей геометрии, красивых геометрических задач и вообще всякой геометрической нетривиальщины.
Открылась регистрация на онлайн геометрическую олимпиаду SAGF-2024.
- Эта олимпиада из 8 задач, в которой может участвовать любой желающий (имеющий аккаунт на aopse), а может даже команда до 3 человек.
- Решения можно присылать на русском, английском или китайском языке
- Можно пользоваться геогеброй, ну и вообще чем пожелаете
- На решение каждой из двух частей отводится три дня
Будет сложно? Сложность соответствует задачам из шорт-листа
P1/P5 G3-G4
P2/P6 G5
P3/P7 G6-G8
P4/P8 G8+.
Мне выпала честь уже посмотреть на задачи и среди них есть просто супер-пупер геометрии!
Если вы хотите поучаствовать, переходите по ссылке и регистрируйтесь! Задачи прошлого года можно найти тут.
Открылась регистрация на онлайн геометрическую олимпиаду SAGF-2024.
- Эта олимпиада из 8 задач, в которой может участвовать любой желающий (имеющий аккаунт на aopse), а может даже команда до 3 человек.
- Решения можно присылать на русском, английском или китайском языке
- Можно пользоваться геогеброй, ну и вообще чем пожелаете
- На решение каждой из двух частей отводится три дня
Будет сложно? Сложность соответствует задачам из шорт-листа
P1/P5 G3-G4
P2/P6 G5
P3/P7 G6-G8
P4/P8 G8+.
Мне выпала честь уже посмотреть на задачи и среди них есть просто супер-пупер геометрии!
Если вы хотите поучаствовать, переходите по ссылке и регистрируйтесь! Задачи прошлого года можно найти тут.
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://mccme.ru/nir/seminar/
в четверг (11.01) продолжится семинар учителей математики:
А.Д.Блинков будет рассказывать про книжку «Площади без формул», которая скоро выйдет в серии «Школьные математические кружки»
как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие
в четверг (11.01) продолжится семинар учителей математики:
А.Д.Блинков будет рассказывать про книжку «Площади без формул», которая скоро выйдет в серии «Школьные математические кружки»
как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие
На синей прямой выбрана точка A, а на синей окружности точка B. Через них проводят всевозможные окружности — они пересекают исходные прямую и окружность в точках X и Y.
Доказать, что все получающиеся так прямые XY проходят через фиксированную точку.
// Если вас утомило возвышенное в канале — здесь понятное решение, не требующее ничего сверх школьной программы — попробуйте!
// А если возвышенное не утомило, тоэта точка называется, конечно, A+B (а задача взята из текста Заславского и Кожевникова про кубики в МатПросвещении-32).
Доказать, что все получающиеся так прямые XY проходят через фиксированную точку.
// Если вас утомило возвышенное в канале — здесь понятное решение, не требующее ничего сверх школьной программы — попробуйте!
// А если возвышенное не утомило, то
Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AD и дугой BD некоторой окружности. Построить какую-нибудь прямую, которая делит площадь этой фигуры пополам
// задача с сегодняшнего семинара учителей
// задача с сегодняшнего семинара учителей
Forwarded from Dima Shvetsov
Задача — повод напомнить о прекрасной книге Б.П. Гейдмана :
https://math.ru/lib/files/pdf/mp-seria/book.9.pdf
https://math.ru/lib/files/pdf/mp-seria/book.9.pdf
Forwarded from Быстрые задачки по математике (Alexey Sgibnev)
В правильный треугольник вписан круг и около него описан круг. Площадь вписанного круга равна 36. Найдите сумму площадей Q+S (на рисунке↓↓)
Anonymous Quiz
8%
24
6%
30
57%
36
9%
40
9%
48
11%
среди ответов выше нет верного
Forwarded from Быстрые задачки по математике (Alexey Sgibnev)
Все репостят новость про то, как AlphaGeomery решила 25 из 30 задач с международной олимпиады. Если вы еще не видели, то вот: https://deepmind.google/discover/blog/alphageometry-an-olympiad-level-ai-system-for-geometry/
Что думаете?
Что думаете?
Google DeepMind
AlphaGeometry: An Olympiad-level AI system for geometry
Our AI system surpasses the state-of-the-art approach for geometry problems, advancing AI reasoning in mathematics
наверное у всех, кто интересовался теоремой Понселе, возникало желание строить вписанно-описанные (неправильные) 5-угольники — но как это сделать?
https://www.geogebra.org/m/xrcdd7ya
вот модель от коллеги Нилова
https://www.geogebra.org/m/xrcdd7ya
вот модель от коллеги Нилова
GeoGebra
Poncelet_5gon
Forwarded from Математические этюды
Любую гладкую кривую можно увидеть, нарисовав не саму кривую, а множество касательных к ней. Понятие огибающей подробно описано в сюжете «Парабола: изонить», в котором в качестве огибающей семейства прямых возникает парабола.
Но построение касательных не такое простое дело. Продемонстрируем, как увидеть конические сечения — эллипс, гиперболу, параболу — ничего не считая и не рисуя, а просто складывая листок бумаги. Сюжет сегодняшнего Математического вторника: «Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги» https://etudes.ru/models/conic-sections-paper-folding/ . Для эллипса и гиперболы понадобится вырезать кружок из бумаги, для параболы – просто прямоугольный лист.
Похожие картинки можно уже было видеть в миниатюрах Эллипс как огибающая, Гипербола как огибающая, Парабола как огибающая. Но в них надо уметь строить перпендикуляр к отрезку, а в указанном сегодня способе складывания листочка эта операция «зашита» в сам способ складывания.
Но построение касательных не такое простое дело. Продемонстрируем, как увидеть конические сечения — эллипс, гиперболу, параболу — ничего не считая и не рисуя, а просто складывая листок бумаги. Сюжет сегодняшнего Математического вторника: «Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги» https://etudes.ru/models/conic-sections-paper-folding/ . Для эллипса и гиперболы понадобится вырезать кружок из бумаги, для параболы – просто прямоугольный лист.
Похожие картинки можно уже было видеть в миниатюрах Эллипс как огибающая, Гипербола как огибающая, Парабола как огибающая. Но в них надо уметь строить перпендикуляр к отрезку, а в указанном сегодня способе складывания листочка эта операция «зашита» в сам способ складывания.
Forwarded from Математические этюды