https://artofproblemsolving.com/community/c3381519_2023imo

задачи 1 дня международной математической олимпиады-2023

а) Доказать, что в любом треугольнике радиус описанной окружности хотя бы вдвое больше радиуса вписанной.

б) Сформулировать и доказать аналогичное неравенство для тетраэдров.

а) Окружность радиуса r лежит внутри окружности радиуса R, расстояние между центрами d. Доказать, что между ними можно расположить треугольник в точности при d²⩽R(R-2r).

б) Для тетраэдров в пространстве ответ на аналогичный вопрос d²⩽(R+r)(R-3r).

(Отсюда следует и предыдущая задача, но это не самый простой способ…)

// картинка — из https://arxiv.org/abs/1404.0525

Всем привет! Меня часто спрашивают, как научиться решать геометрические задачи? Какие есть материалы для самостоятельного изучения? Какие учебники вы посоветуете почитать? Я всякий раз отвечаю приблизительно одно и то же, но все же кажется полезным создать рубрику с рекомендациями, в которой я буду писать о полезных книгах и интересных геометрических статьях.

Одна из моих любимых книг по геометрии, с которой я познакомился будучи восьмиклассником, это книга Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер "Новые встречи с геометрией" (по английски, кстати, называется "Geometry Revisited"). Произнося фамилию первого автора многие пропускают первую букву "е"... возможно, эти многие что-то знают об истинном произношении этой фамилии... Это одна из немногих книг, находящихся у меня в непосредственной близости от рабочего стола, поэтому прикладываю фотографию моего собственного экземпляра.

По большому счету эта книга составлена из популярных статей по геометрии – на мой взгляд, лучший из возможных для учебника стилей. Правда, в этой книге вы не найдете обилия задач... Зато среди предложенных тем есть практически все классические теоремы и содержательное введение в различные преобразования (движения, преобразования подобия, инверсии, проективные и полярные преобразования).

Пожалуй, именно в таком стиле я бы написал учебник, если бы когда-нибудь собрался это сделать...

На обложке книги изображена иллюстрация к доказательству Нараньенгару теоремы Морлея. Известное мне доказательство указанные окружности не использует... А вы сможете придумать доказательство с этими окружностями? Какие геометрические соотношения появляются на картинке благодаря окружностям?

Никто не хочет попробовать свои силы? Совершенно нетривиальные уголки, и - что еще удивительно - обобщается здесь не то, что один на 15 градусов больше, а совсем другое соотношение между ними.

напишите, какие из задач олимпиады Шарыгина понравились?

если ничего не решали, то можно для разминки решить, например, такую задачу (8-6):

При каких n можно замостить плоскость равными фигурами, ограниченными n дугами окружностей?

завершился финал 19-й олимпиады по геометрии имени И.Ф.Шарыгина — вот его задачи

решения, списки победителей-призеров скоро появятся на странице олимпиады, https://geometry.ru/olimp/2023.php

Четыре окружности попарно касаются. Доказать, что их кривизны (обратные радиусы) удовлетворяют соотношению (±a±b±c±d)²=2(a²+b²+c²+d²).

Дальше — можно попробовать обобщить на n-мерное пространство (это тоже сделал Содди… хотя, на самом деле, было известно и в 19 веке).

>In 1936, the Nobel Prize-winning radiochemist Frederick Soddy noticed something odd as he built packings with Descartes’ relation. As the circles got smaller and curvatures bigger, he expected to get gnarly numbers with square roots or infinite decimals. Instead, all the curvatures were integers. This was a fairly straightforward consequence of Descartes’ equation, but nobody had noticed for hundreds of years. It inspired Soddy to publish a poem in the scientific journal Nature, which began:

>>For pairs of lips to kiss maybe
>>Involves no trigonometry.
>>’Tis not so when four circles kiss
>>Each one the other three.

А вы и дальше пытайтесь заслать статью в нейчур

Даны два равновеликих (т.е. имеющих одинаковую площадь) многоугольника. Всегда ли возможно разрезать (прямолинейными разрезами) один многоугольник на такие части, из которых затем составить второй?
Ответ в статье "Равновеликость и равносоставленность".

Теперь даны два равновеликих (имеющих одинаковый объём) многогранника. Всегда ли они равносоставленны? Этот вопрос гораздо сложнее вопроса о равносоставленности многоугольников. Ему посвящена статья"Инвариант Дена".

Я строил-строил и, наконец, построил!
https://youtu.be/TZ5xs9IjIHo

картинки по выходным: два доказательства неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

5 способов разделить отрезок на три равные части (красивые картинки от известного некоторым Vincent Pantaloni):

https://www.geogebra.org/m/xp7p9bzx

для разминки поутру

Косинус угла
Вот моя новая задача для любителей оригами и тригонометрии. Известно, что отношение сторон листа бумаги для принтера в идеале должно быть равно √2. Возьмем такой идеальный лист, согнем его пополам, а затем два его угла совместим с серединой противоположной стороны. Косинус отмеченного на фото угла α будет рациональным числом. Можете сказать, какое это число?