Сняла мультфильм про математику велосипедных следов на конкурс SoME2 – хочу поделиться!

https://youtu.be/l7bYY2U5ld8

видео с доказательством теоремы о семи окружностях при помощи гиперболической геометрии: https://youtu.be/m9v0h2ibYpo

( ранее на тему теоремы о семи окружностях: https://tttttt.me/geometrykanal/1920 )

Куб вращается вокруг диагонали (в гиперболоиде).

Вы располагаете пластинкой, имеющей форму правильного треугольника со стороной а и высотой h. Пользуясь только этой пластинкой (и карандашом), требуется:

а) провести через данную точку А параллель к данной прямой l;

б) построить середину данного отрезка AB;

в) провести через данную точку А перпендикуляр к данной прямой l;

г) построить отрезок, соединяющий две данные точки А и В, расстояние между которыми больше а.

источник: https://www.mathedu.ru/text/mp_1958_v3/p270/

Оказалось, что на «Математических этюдах» такая модель тоже есть: https://etudes.ru/models/cube-rotation/

на боковых сторонах произвольного треугольника построили по правильному — найти углы закрашенного треугольника с вершинами в серединах сторон (via А.Щетников)

в комментариях вспомнили разных родственников предыдущей задачи — например, такую теорему ван Обеля:

если построить на сторонах четырехугольника квадраты и соединить центры противоположных — получится два равных и перпендикулярных отрезка

в «Квантике» №8 за 2020 год была статья Егора Бакаева про квадраты

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2020-08.10-15.pdf

там можно найти много задач и решений — в частности, простое доказательство упоминавшейся вчера теоремы ван Обеля

Очередная прекрасная задачка от Катрионы Агг (Ширер). Найти площадь прямоугольника.

(в комментариях могут быть спойлеры)

(может показаться сложной, но уверяю, что задача берется. Никаких эзотерических знаний или приемов не нужно. Верьте в себя и не сдавайтесь)

https://youtu.be/86wriGm7i4g

Андрей Щетников доказывает теорему о вписанном угле

даже если знаете стандартное доказательство, мб заинтересует вторая половина — с движениями вместо разбора случаев

Доказать, что если окружности, вписанные в два треугольника, на которые разбивается некоторый четырехугольник одной из своих диагоналей, касаются, то будут касаться и окружности, вписанные в треугольники, на которые разбивается этот же четырехугольник второй диагональю.

(еще несложная задача — продолжаю читать 2-ю серию МатПросвещения)

Задача от Эрдеша (непростая):

доказать, что для точки внутри треугольника сумма расстояний до вершин хотя бы вдвое больше суммы расстояний до сторон

А вот тут обсуждается это неравенство и задача с IMO-1996 с очень похожими мотивами. А еще есть очень красивое усиление неравенства Эрдеша-Морделла — расстояния до вершин можно заменить можно заменить на расстояния до касательных к описанной окружности. И это неравенство доказывается вроде бы проще исходного. https://vk.com/@olympgeom-imo-1996-problem-5-reshenie

в 1839 году синтетические итальянские геометры (Винченсо Флаути) предложили аналитическим геометрам баттл: три задачки, которые они умели решать и думали, что аналитически их не решить.
Если я правильно понял условия:

1)для данного треугольника построить 3 окружности внутри него, чтобы каждая окружность касалась двух сторой и двух других окружностей (окружности Мальфатти).

3)то жес самое для тетраэдра и четырёх сфер.

2)даны три точки. Надо окружность данного радиуса вписать в треугольник, каждая из сторон которого проходит через одну из выбранных точек.

из первой части сказания о итальянских математиках, как они жили в свои неспокойные времена разъединённой-под-оккупацией-объединяющейся Италией 19 века.

Красная и зеленая окружности касаются внешним образом.
Радиус зелёной равен 1.
Четыре равных отрезка показаны на рисунке.

1) Найдите радиус красной окружности
2) Найдите длину x тоже

Источник: https://www.facebook.com/groups/mathpuz/permalink/2278935512282278/

И еще одна из того же источника :)


Шесть красных отрезков равны 1.

1. Найдите R (это просто)
2. Найдите угол между красными диаметрами (это уже вроде бы не так просто)

«В древности было принято представлять факты элементарной геометрии в виде чертежей, без текста. В таком же ключе написана очень популярная среди школьников книжка А.Акопяна «Геометрия в картинках» (…). Но некоторые чертежи можно интерпретировать по-разному, т.е. на одном и том же чертеже можно увидеть различные факты.»

вот такая была небольшая статья А.Д.Блинкова в Кванте — http://mi.mathnet.ru/kvant3724

8-угольник правильный. Какая часть площади закрашена?

(Poo-Sung Park @ twitter)

Задача от Петра Земскова




Пётр Александрович Земсков (учитель из Челябинска) ведёт в Youtube заслуженно популярный канал "Математика и фокусы". Недавно (на 1 сентября) он разбирал в нём такую вот геометрическую задачу

На сторонах единичного квадрата взяты произвольные точки (E,F,G), и построена пятиконечная звезда AFEDG. Оказалось, что площадь центрального (зеленого) пятиугольника равна 1/12. Найдите сумму площадей пяти красных треугольников.

1. Решите эту задачу.
2.* Исследуйте ее. Точно ли бывает у указанной площади значение 1/12? А какое максимальное значение она может принимать? Единственны ли те точки E,F,G, для которых достигается максимум? (если предполагать, что мы не меняем конфигурацию пятиугольника)

И еще одна задача, которую я придумал давным-давно, а сейчас вспомнил, потому что увидел у Земскова ее "родственника".

Дан треугольник ABC и точка D внутри него.
Докажите, что пять следующих условий (1) ∠DBC=30, (2) ∠ADB=150, (3) AC=AB, (4) AC=DC, (5) ∠DAB=∠DCB таковы, что из любых трех из них следуют остальные два.