Если синие дуги имеют равную градусную меру, то красные отрезки имеют равную длину.

P.S. на предыдущей картинке была ошибка, спасибо обратившим внимание!

Неплохой гайд по инверсии.

коллега П.Пушкарь задал вопрос, а я не смог сходу ответить — предлагаю решить как задачу

Есть три точки на плоскости, треугольник. Тогда единственным образом определяются радиусы шаров таких, что они касаются плоскости в выбранных точках и друг друга. Внутрь этих шаров и плоскости можно вписать ещё шар. Где он коснется плоскости?

Это должна быть какая-то замечательная точка треугольника — какая?

коллега Д.Прокопенко напоминает такое прикольное утверждение:

Если сфера, вписанная в треугольную призму, касается нижнего основания в некоторой точке P, то верхнего основания она будет касаться в изогонально сопряженной с ней точке.

Кай находится в центре заколдованного круга с радиусом 100 метров. Каждую секунду он делает шаг длиной 1 метр. Перед каждым шагом он объявляет направление, в котором хочет шагнуть. Снежная королева имеет право заставить его сменить направление на противоположное (когда Кай находится внутри круга). Сможет ли Кай действовать так, чтобы выбраться из круга к Герде?

Со Старым Новым годом! 🎄

Теорема Карно Штейнера.
Даны два треугольника ABC и A_1B_1C_1. Оказалось, что перпендикуляры из точек A_1,B_1,C_1 на прямые BC, AC, AB пересекаются в точке P. Докажите, что перпендикуляры из точек A, B, С на стороны B_1C_1, A_1C_1, A_1B_1 пересекаются в одной точке.

1. Дана бесконечно удаленная прямая и на ней некоторая проективная инволюция. Докажите, что после поворота на 90 градусов она останется проективной инволюцией.
2. Докажите прошлую задачу используя 1.