Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Доказать, что ломаная AOC делит его площадь пополам.

// В.Варваркин, Тургор 1980/1981

Можно придумать разные решения (попробуйте!) — и позже здесь будет статья Д.В.Прокопенко про разное вокруг.

#Геометрия #Листик

Наш новый листик посвящен свойствам разностного треугольника!

Еще одна задачка на скрытые коники с лаконичным условием была на одном из Южных турниров прошлых лет за авторством одного из создателей нашего канала — Ивана Кухарчука.

До решения при помощи коник догадаться очень непросто, однако оно буквально в одну строчку 😎
Ее можно решить также с помощью двойных отношений, но этот способ куда менее изящен. Делитесь своими решениями в комментариях 🐱

Задача. Вписанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 с центром в I касается стороны 𝐵𝐶 в точке 𝐾𝑎. Пусть L — проекция точки I на серединный перпендикуляр к отрезку 𝐴𝐾𝑎. Докажите, что LI — биссектриса угла BLC.

в продолжение задачи выше — статья Д.В.Прокопенко про вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями

Интересная аналогия

все знают, что сумма расстояний от точки эллипса до фокусов постоянна

оказывается, фокусы можно заменить на любые дважды касающиеся эллипса окружности — докажите, что сумма синих касательных не зависит от выбора точки эллипса (upd: между точками касания… или нужно добавить знаки)

отсюда, кстати, следует и предыдущая задача

Поздравляем всех с началом нового учебного года! Пусть будет интересно.

В канале стартует новая рубрика #начинающим
в ней примерно раз в неделю будут простые задачи для тех, кто только начал изучать геометрию или совсем забыл ее. Пойдем потихонечку, не торопясь обгонять семиклассников по программе.

Если для вас это слишком простые задачи, перешлите их младшим братьям, сёстрам или друзьям.

Начнем с задачи, в следующем посте. Она оформлена в виде опроса, но не в режиме викторины, то есть правильный ответ не будет виден сразу. Его мы опубликуем в комментариях через неделю перед публикацией новой задачи рубрики.

upd. Правильный ответ хорошо виден по статистике ответов. Решение в комментариях несколько раз написали. Спасибо поучаствовавшим.

Открываем рубрику #красота_спасет_мир 🥳

Здесь мы будем предлагать вам задачи с простым и неожиданным решением, не требующим глубоких знаний💡

Дан шестиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, в котором 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, 𝐸𝐹 = 𝐹𝐴, а углы 𝐴 и 𝐶 — прямые. Докажите, что прямые 𝐹𝐷 и 𝐵𝐸 перпендикулярны.

Путь из точки А в точку В

Пару месяцев назад редакция журнала Тинькофф—образование взяла у меня интервью. В нем я ответил на много вопросов: почему я стал учителем, зачем написал учебник, какие задачи интересны детям, что делаю в свободное от работы время, какие математические модели можно потрогать руками, нужна ли история науки в школе, работает ли сейчас социальный лифт в образовании.
Это интервью вышло пару дней назад. Вот ссылка на него:

https://j.tinkoff.ru/e-tg/maths-schoolbook/


Кстати, в комментариях к этому интервью развернулась целая дискуссия о пользе геометрии в школьном образовании.

Если равенство треугольников, как правило, можно установить по их трем соответственным элементам, то по таким трем элементам треугольник можно и восстановить, не так ли? Именно поэтому три признака равенства треугольников легко превращаются в три задачи на построение – но всегда ли у них будет одно решение?

Приглашаем вас в математическую лабораторию, где на динамических чертежах можно провести построение сразу для всех возможных значений данных – изменяйте эти значения, и вместе с ними будет меняться чертеж. Проведите полноценное исследование задачи на построение и выясните, в каких случаях решения не окажется.

Первый признак равенства
Второй признак равенства
Третий признак равенства

#Матконструктор
#Математический_конструктор

«В любом школьном учебнике геометрии вы найдёте три признака равенства треугольников. А верен ли четвёртый признак: по двум сторонам и углу, лежащему напротив одной из них? Не обязательно! Вот простой пример…»

— но примером эта небольшая статья А.Д.Блинкова про «четвертый признак равенства треугольников» не заканчивается, а только начинается

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2020-01.18-21.pdf

Почему-то раньше не видел такого факта... Все цветные фигуры являются квадратами

Дан треугольник, два угла которого равны 25° и 80°. Докажите, что в нём биссектриса какого-то угла и одна из трисектрис какого-то угла перпендикулярны друг другу.

Эту задачу не надо обсуждать в комментариях, потому что она из первого тура заочного конкурса журнала «Квантик». Лучше предложите ее знакомым ученикам 5–8 классов.
Подробнее о конкурсе и остальные задачи: https://tttttt.me/kvantik12/377

Листик про равносторонние треугольники для начинающих геометров

https://youtu.be/rr1fzjvqztY

в качестве картинок про выходным — новое видео про теорему Птолемея (с ее доказательством при помощи картинки)

ПОЛЕЗНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Для наших новых подписчиков делаю обзор материалов, которые я выкладывал в сентябре прошлого года:

- Презентация по теме «Первые учёные»
- Работа на повторение 7 класса
- Работа на повторение 8 класса
- Материалы к параграфу «Точка, прямая, плоскость»
- Подборка задач на повторение вписанных углов для 9 класса
- Листок по знакам и кванторам
- Работа по единицам измерения для 7 класса
- Варианты контрольных на параллелограммы и прямоугольники для 8 класса
- Контрольная для 7 класса

Нужно ли в будущем делать такие обзоры? Если да, поставьте 👍

Одна из наших любимых задач с подвохом 😏
Решается быстро, но точно ли верно? 😁

Задача. В выпуклом четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 биссектрисы углов 𝐵 и 𝐶 пересекаются в середине 𝑀 стороны 𝐴𝐷. Выразите угол 𝐴 через угол 𝐷.

недавно здесь обсуждался предельный случай теоремы ван Обеля

а вот заметка в Квантике про теорему Наполеона, теорему ван Обеля и обобщения:

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2023-11.24-25.pdf