Наш новогодний сериал подходит к сказочному финалу. Этот пост мы хотим закрепить, поэтому начинаем его с перечисления предыдущих эпизодов:

▶️Как железо закалялось под ИИ
▶️Первые шаги математики в ML
▶️О задачах Эрдёша и, скорее, провале
▶️О задачах Эрдёша и, скорее, успехе

Ну и на десерт ещё одно открытие!

В октябре математик Паата Иванишвили сделал пост о том, что GPT-5 Pro нашёл контрпример к нерешённой задаче из списка открытых проблем фонда Саймонса. Уже к концу месяца он опубликовал проверенный результат и ссылку на полный чат с GPT-5 Pro, приведший к решению проблемы.

🔸Fun fact 1: каждый из вас может повторить этот трюк, даже просто закинув скриншот с проблемой в чат, вот пример.

🔸Fun fact 2: математик указал нейронку в соавторах. Потом отметку убрали — не соответствовало политике портала.

Вот такой получился сериал про ИИ в математике. Не грустите, у него точно выйдет продолжение. Но всё же растянем удовольствие.

Оставляйте ⛄️ под постом, если вам понравился наш новогодний подарок. И, конечно, ждём комментариев от тех, кто досмотрел сериал до конца. Несомненно, тут есть над чем порассуждать!

#рекомендуем

Прерываем наше ИИ-вещание по очень важному поводу: сегодня день рождения Джона Конвея ❤️

Этот легендарный математик шутил, что за всю жизнь так ни дня и не проработал — он играл. И в эти игры с головой втягивались его коллеги и многочисленные ученики.

Перечислить всё, что сделал Конвей, — задача объёмная. И нам в редакции ещё точно есть что рассказать про него самого, про его идеи и про то, где они находят отражение.

А вот небольшая подборка постов, где мы уже начали приоткрывать занавес его работ:

▶️Три правила «Жизни»
▶️Рекомендация книги Конвея и Кнута о сюрреальных числах
▶️Головоломка Конвея: задача и решение

Поздравить с днём рождения легенду — 🎉

Смотрите, какую любопытную историю мы нашли в канале data.csv 👀

Это блог нашего коллеги, Алексея Смагина, аналитика, дата-журналиста и преподавателя визуализации данных из команды Исследований Яндекса. А рассказал он нам про будущее онлайн-безопасности!

Если коротко — привычное шифрование RSA держится на любопытной математической асимметрии: умножать большие числа легко, а раскладывать их обратно — долго и сложно.

Даже суперкомпьютеры на таком месте пасуют. А вот квантовые — теоретически справляются куда быстрее. Гифка выше, например, красиво иллюстрирует, что им намного проще проверить правильность решения, сравнив длины всех путей в лабиринте.

У Лёши в канале вы найдёте интересные ещё много таких примеров аналитики и вдохновляющей инфографики. Очень рекомендуем подписаться ❤️

#рекомендуем

2025 год понемногу подходит к концу... Но хорошо, что задачки у нас не заканчиваются!

Если предновогодняя суета вас ещё не сильно затянула, предлагаем чуть отвлечься и подумать о цифрах.

Найдите все целые решения уравнения на картинке выше 🔍

Подсказку давать не будем, она и так уже содержится в условии. А вот ваши ответы с нетерпением ждём в комментах под спойлерами.

#задача

Решаем задачу и провожаем 2025 год ❤️

Можно заметить, что оба числа должны быть кратны 3. Также числа должны иметь разную чётность, причём то, которое чётное, должно делиться сразу на 4.

После этого перебор уже элементарен и даёт нам с точностью до знаков и перестановки местами пары значений 0 и 45 или 27 и 36. Тем самым всего 12 решений.

Можно было решить и чуть иначе, если заметить, что 2025 = 45². А значит, кроме тривиальных решений, остаётся проверить пифагоровы тройки с точностью до знаков. Собственно, 27, 36 и 45 — это просто масштабированный египетский треугольник.

А теперь расскажем немного о числе 2025, перед тем как уйти в новый 2026-й:

👟
👟2️⃣
👟
Как мы уже знаем, 2025 — это полный квадрат числа 45, при этом 45 можно представить как (2+0!)² × 5. Заметим, что это первый квадрат после 1936. Но интереснее всего вот что: 2025 = (20 + 25)².

Дело в том, что 45 является числом Капрекара — числом, квадрат которого можно разбить на две части, сумма которых даёт исходное число. В следующий раз такое повторится только в 3025 году, то есть через тысячу лет.

👟
👟0️⃣
👟
Числа, равные сумме первых последовательных натуральных чисел, называют треугольными. Такие, как, например, 45 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9. А значит, 2025 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)² является квадратом треугольного числа.

Из предыдущего, согласно тождеству Никомаха, сразу следует, что 2025 является суммой кубов соответствующих чисел: 2025 = 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³.

👟
👟2️⃣
👟
2025 можно записать как сумму двух полных квадратов 2025 = 27² + 36² или даже как сумму трёх полных квадратов 2025 = 40² + 20² + 5².

Но можно пойти ещё дальше, задавшись вопросом: сколько имеется различных k, для которых 2025 можно записать как сумму k различных ненулевых квадратов.

Оказывается 17, причём k принимает все значения от 1 до 17. Более того, 2025 — первое число, которое имеет 17 различных значений k:

2025 = 45²
= 36² + 27²
= 35² + 28² + 4²
= 42² + 16² + 2² + 1²
= 36² + 20² + 18² + 2² + 1²
= 39² + 21² + 7² + 3² + 2² + 1²
= 43² + 11² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 39² + 20² + 7² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 42² + 11² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 30² + 29² + 12² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 40² + 11² + 10² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 38² + 14² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 30² + 22² + 16² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 30² + 20² + 14² + 12² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 25² + 23² + 14² + 13² + 11² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 23² + 19² + 17² + 14² + 12² + 11² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 23² + 16² + 15² + 14² + 13² + 12² + 11² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²

👟
👟5️⃣
👟
Если к каждой цифре числа 2025 прибавить единицу, получим число 3136. И оно тоже — полный квадрат! 3136 = 56².

Также 2025 представляется как сумма арифметической прогрессии, более точно — сумма первых 45 нечётных натуральных чисел: 2025 = 1+3+5+7+9+11+…+89.

👟
👟*️⃣
👟
В математике полнократным числом называют положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя. И 2025 — наш клиент, поскольку 2025 = 3⁴×5². Заметим, что в этой записи используются все цифры от 2 до 5.

Можно пойти ещё дальше и сделать 1×3⁴×5², чтобы получить числа от 1 до 5, или даже 1⁶×3⁴×5²×7⁰ для чисел от 0 до 7 (с нечётными возрастающими основаниями и чётными убывающими показателями степени в качестве бонуса!).

А ещё 2025 можно записать как произведение двух полных квадратов, причём двумя способами:
2025 = 3²×15² = 5²×9², причём 5²×9² = (2−0−2−5)² × (2+0+2+5)².

Ну и напоследок — 2025 является числом Харшад. Это числа, которые делятся на сумму своих цифр. Слово Harshad пришло из санскрита: harṣa означает радость, восторг, а da — давать. То есть буквально «дающий радость».

В то же время 2025 является 454-м апокалиптическим числом. Вот и делайте выводы…

А каким числом 2025 год оказался для вас?

❤️‍🔥 — Прекрасный, несмотря ни на что!
☃️ — Может, лучше уже посмотрим, что там с 2026 — есть какие-то приятные свойства?

#задача

Друзья, начинаем потихоньку входить в режим ❤️

Первая задача 2026 года будет максимально дружелюбной.

🔸Условие: Саша составил число 2026 из 68 кубиков, как на рисунке выше. После этого он покрасил всю поверхность конструкции краской.

🔸Вопрос: у скольких кубиков оказалось покрашено ровно четыре грани?

Не торопимся. Рассуждения и вопросы принимаются в комментариях… Ответ и разбор пришлём завтра.

#задача

Ответ на вчерашнюю задачу: 62

Получить этот ответ можно, конечно, и честным перебором, аккуратно пройдясь по всем кубикам и «руками» пересчитав покрашенные грани, но это — путь сильных и смелых. Математики же, по своей натуре, люди ленивые, из-за этого и придумывают всякие умные ухищрения — как бы что сделать попроще…

У кубика 6 граней, и если он состыкован с двумя другими кубиками, то свободных граней остаётся 4, если с одним — то 5, а если с тремя — то 3, и т. д. Тем самым нам достаточно посчитать только те кубики, которые состыкованы не с двумя другими. Таких кубиков 6. А значит, ответ: 68 − 6 = 62.

❤️ Все, кто решил, — молодцы! И в качестве награды ловите бонусный факт: 2026 — счастливое число. И это не просто фигура речи.

В математике счастливыми называют числа, у которых цикличная замена числа на сумму квадратов его цифр сходится к 1. Числа, для которых процесс не заканчивается единицей, считаются несчастливыми числами и ещё называются грустными числами.

Проверим число 2026 непосредственно:

2² + 0² + 2² + 6² = 4 + 0 + 4 + 36 = 44
4² + 4² = 16 + 16 = 32
3² + 2² = 9 + 4 = 13
1² + 3² = 1 + 9 = 10
1² + 0² = 1

Убедились? 2026 — счастливое! Всего, кстати, в нашем веке счастливых годов не так много: были 2003, 2008, 2019 и будут ещё 2030, 2036, 2039, 2062, 2063, 2080, 2091, 2093.

Так что желаем, чтобы каждый ваш день в этом счастливом 2026 году циклично и уверенно вёл вас к успехам.

🎉 — запустить последнюю хлопушку и начать уже работать...

#задача

Это труднопереводимое слово fallacy

Сегодня и в ближайшие дни будем рассказывать вам о fallacy. Возможно, математики о нём и не слышали, но могут часто замечать его у себя.

Fallacy можно перевести как «заблуждение», но по смыслу это было бы примерно то же самое, если бы слово mathematics переводилось просто как «работа с числами».

🔄Это рассуждение, которое выглядит правильным, ощущается убедительным, часто использует знакомые логические формы, но при этом ведёт к неверному выводу. Это ошибка, замаскированная под аргументацию, ложная по тем или иным обстоятельствам. Fallacy оказывается на пересечении логики, риторики и психологии🔄

Оно не обязательно совершается намеренно — чаще рефлекторно.

Классические fallacies:

▶️Circular reasoning
«круговое рассуждение»
или «порочный круг»

Вывод используется как предпосылка. Например:

Этот метод работает, потому что он даёт правильные результаты. Откуда мы знаем, что результаты правильные? Потому что их дал этот метод.

Иначе говоря, это логическая ошибка, при которой рассуждение начинается с того, чем планируется закончить. Логически здесь нарушается направление обоснования. В математике такое рассуждение мгновенно объявляется некорректным, но в повседневной речи круги маскируются под «очевидность». Хотя в данном случае даже математика не без греха: именно к этому типу относятся попытки доказательства пятого постулата Эвклида.

▶️Post hoc ergo propter hoc
Классическая путаница
корреляции и причинности.

Частный случай более широкой категории false cause.

С тех пор как число пиратов в мире сократилось, глобальное потепление усилилось.

Это классический пример корреляции без причинности: обе тенденции могут иметь место, но никак не быть связаны. Логика требует структуры «A ⇒ B». Fallacy возникает, когда временное следование подменяет причинную связь. В статистике это одна из самых устойчивых ловушек.

▶️Equivocation
«эквивокация» или
«подмена смысла слова»

Если упрощать, эквивокацией называют использование одного и того же слова с разным значением в одном рассуждении. На самом деле спектр значений этого понятия шире, но самый распространённый из них — тот, что в классической логике ещё называется quaternio terminorum («учетверение терминов»).

Математика описывает мир. Мир — это отсутствие войны. Значит, математика описывает отсутствие войны.

«Мир» как вселенная/реальность vs «мир» как противоположность войне. Формально структура аргумента корректна, но семантика «плывёт». В логике это пример того, как язык ломает строгие формы рассуждений.

▶️False dilemma
«ложная дилемма
или дихотомия»

Предлагается только два варианта, хотя пространство решений богаче.

Ты критикуешь капитализм, следовательно, ты коммунист.

Логически это ошибка редукции множества возможностей до бинарного выбора. В математике это выглядело бы как утверждение, что функция может принимать только 0 или 1 просто потому, что так удобнее спорить.

▶️Appeal to authority
«апелляция к авторитету»

Аргумент строится не от структуры доказательства, а от источника.

Это верно, потому что так сказал Гаусс.

В математике авторитет не играет роли для истинности утверждения. Теорема верна не потому, что её доказал Гаусс, а потому что доказательство корректно. И даже Гаусс мог ошибаться — хотя, кажется, крайне редко, как в случае с распределением простых чисел, хотя это уже отдельная история.

Ссылка на эксперта может быть разумной эвристикой в условиях неопределённости — мы не можем проверить всё сами. Fallacy возникает, когда авторитет подменяет логическое обоснование, а не дополняет его.

И всё же: при чём здесь математика?

Процесс математического мышления, особенно на этапе поиска решения, полон тех же ловушек. История науки знает немало «интуитивно очевидных» утверждений, которые оказывались ложными, и «доказательств», в которых ошибка пряталась годами.

*️⃣Ошибка возникает не в форме, а в месте её применения или в незаметном нарушении условий.

В этом смысле fallacy — это тени логики. Они появляются там, где форма сохранена, а условия применимости забыты.

В прошлый раз мы говорили о нескольких классических fallacy, а сегодня разберём ещё несколько — чуть более изощрённых и особенно запоминающихся.

⏩️Открывайте цитаты и читайте про каждую:

🔸Sunk cost
«ловушка невозвратных затрат»
❄️
Исследования Хэла Аркеса показывают: в ситуации невозвратных затрат люди чаще выбирают дорогой и невыгодный вариант, чем выгодный и дешёвый. Прошлые вложения влияют на решения сильнее, чем рациональная оценка будущей пользы.

Например, вам советуют сменить профессию, но вы отказываетесь, потому что уже потратили на неё годы, деньги и силы. Хотя рационально это не аргумент, именно прошлые вложения часто мешают принять выгодное решение.

🔸No true Scotsman
«ни один истинный шотландец»
❄️
Термин был выдвинут философом Энтони Флю в книге 1975 года «Размышление о размышлении: Искренне ли я хочу быть правым?».

В чём суть? Человек читает в газете о преступлении и говорит: «Ни один шотландец на такое не способен». Когда позже в той же газете появляется история о скандале с конкретным шотландцем из Абердина, он не признаёт ошибку, а заявляет: «Ну значит, он не настоящий шотландец». Факты меняются, а утверждение сохраняется за счёт подмены критериев.

В математическом контексте выглядело бы так:
— Ни один математик не допустит такой ошибки.
— Но вот профессор Иванов допустил.
— Значит, он не настоящий математик.

🔸Slippery slope
«скользкий склон»
❄️
Рассматривает утверждения в виде цепочек причинно-следственных связей, которые кажутся аргументированными и убедительными, но на деле — бездоказательными.

Если ИИ будет писать тексты, то люди перестанут думать. Потом перестанут читать, и культура исчезнет.

Каждый шаг выглядит правдоподобным, но неизбежность переходов не доказана: возможность не равна неизбежности.

🔸Texas sharpshooter
«ошибка меткого стрелка»
❄️
Название происходит из истории про техасца, который сначала стреляет по амбару, а потом, в месте с наибольшим числом пробоин, рисует мишень и объявляет себя метким стрелком.

Подобные вещи часто происходят в аналитике данных — то, что называют «подгонкой под результат» (data dredging): сначала анализируются данные, затем в них выбирается наиболее удачный паттерн, который объявляется закономерностью.

«Я нашёл закономерность в этих данных. Посмотрите, эти пять точек почти идеально ложатся на кривую!»

Выбор паттерна после анализа данных, а не до него — классика… но что не сделаешь, когда начальству нужен результат?

🔸Red herring
«отвлекающий манёвр»
или «уловка копчёной селёдки»
❄️
Распространённая ошибка в спорах и дискуссиях. Вместо ответа по существу вводится посторонняя тема, чтобы увести разговор в сторону.

— Ваше доказательство теоремы содержит ошибку в третьем шаге.
— Но посмотрите, какие красивые приложения у этого результата! И вообще, эта область очень важна для физики.

Замечание о корректности доказательства остаётся без ответа. Внимание переключается на что-то другое — пусть важное, но логически не связанное с исходным вопросом. Корректность доказательства никак не зависит от полезности результата.

Название происходит от старой практики сбивать охотничьих собак со следа запахом копчёной селёдки 🐟 (red herring).

🔸Motte-and-bailey
«мотт и бейли»
❄️

Относительно современный пример, придуманный философом Николасом Шейси в 2025 году.

Название пошло из Средневековья:

🔸motte — укреплённая башня на холме;
🔸bailey — открытый двор вокруг.

Суть: человек выдвигает спорное, смелое утверждение (bailey), но когда его критикуют, отступает к безопасному, очевидному утверждению (motte), а потом снова возвращается к исходному.

Bailey (смелое): «Интуиция важнее формальных доказательств в математике».

Критика: «Но без доказательств это не математика, а гадание».

Motte (защищённое): «Я просто говорю, что интуиция играет роль в процессе открытия, это же очевидно!»

[После критики снова]: «Вот видите, интуиция действительно важнее доказательств».

Так создаётся иллюзия победы — слабую позицию прикрывают сильной и ведут себя так, будто защитили первую.