Друзья, начинаем потихоньку входить в режим ❤️

Первая задача 2026 года будет максимально дружелюбной.

🔸Условие: Саша составил число 2026 из 68 кубиков, как на рисунке выше. После этого он покрасил всю поверхность конструкции краской.

🔸Вопрос: у скольких кубиков оказалось покрашено ровно четыре грани?

Не торопимся. Рассуждения и вопросы принимаются в комментариях… Ответ и разбор пришлём завтра.

#задача

Ответ на вчерашнюю задачу: 62

Получить этот ответ можно, конечно, и честным перебором, аккуратно пройдясь по всем кубикам и «руками» пересчитав покрашенные грани, но это — путь сильных и смелых. Математики же, по своей натуре, люди ленивые, из-за этого и придумывают всякие умные ухищрения — как бы что сделать попроще…

У кубика 6 граней, и если он состыкован с двумя другими кубиками, то свободных граней остаётся 4, если с одним — то 5, а если с тремя — то 3, и т. д. Тем самым нам достаточно посчитать только те кубики, которые состыкованы не с двумя другими. Таких кубиков 6. А значит, ответ: 68 − 6 = 62.

❤️ Все, кто решил, — молодцы! И в качестве награды ловите бонусный факт: 2026 — счастливое число. И это не просто фигура речи.

В математике счастливыми называют числа, у которых цикличная замена числа на сумму квадратов его цифр сходится к 1. Числа, для которых процесс не заканчивается единицей, считаются несчастливыми числами и ещё называются грустными числами.

Проверим число 2026 непосредственно:

2² + 0² + 2² + 6² = 4 + 0 + 4 + 36 = 44
4² + 4² = 16 + 16 = 32
3² + 2² = 9 + 4 = 13
1² + 3² = 1 + 9 = 10
1² + 0² = 1

Убедились? 2026 — счастливое! Всего, кстати, в нашем веке счастливых годов не так много: были 2003, 2008, 2019 и будут ещё 2030, 2036, 2039, 2062, 2063, 2080, 2091, 2093.

Так что желаем, чтобы каждый ваш день в этом счастливом 2026 году циклично и уверенно вёл вас к успехам.

🎉 — запустить последнюю хлопушку и начать уже работать...

#задача

Это труднопереводимое слово fallacy

Сегодня и в ближайшие дни будем рассказывать вам о fallacy. Возможно, математики о нём и не слышали, но могут часто замечать его у себя.

Fallacy можно перевести как «заблуждение», но по смыслу это было бы примерно то же самое, если бы слово mathematics переводилось просто как «работа с числами».

🔄Это рассуждение, которое выглядит правильным, ощущается убедительным, часто использует знакомые логические формы, но при этом ведёт к неверному выводу. Это ошибка, замаскированная под аргументацию, ложная по тем или иным обстоятельствам. Fallacy оказывается на пересечении логики, риторики и психологии🔄

Оно не обязательно совершается намеренно — чаще рефлекторно.

Классические fallacies:

▶️Circular reasoning
«круговое рассуждение»
или «порочный круг»

Вывод используется как предпосылка. Например:

Этот метод работает, потому что он даёт правильные результаты. Откуда мы знаем, что результаты правильные? Потому что их дал этот метод.

Иначе говоря, это логическая ошибка, при которой рассуждение начинается с того, чем планируется закончить. Логически здесь нарушается направление обоснования. В математике такое рассуждение мгновенно объявляется некорректным, но в повседневной речи круги маскируются под «очевидность». Хотя в данном случае даже математика не без греха: именно к этому типу относятся попытки доказательства пятого постулата Эвклида.

▶️Post hoc ergo propter hoc
Классическая путаница
корреляции и причинности.

Частный случай более широкой категории false cause.

С тех пор как число пиратов в мире сократилось, глобальное потепление усилилось.

Это классический пример корреляции без причинности: обе тенденции могут иметь место, но никак не быть связаны. Логика требует структуры «A ⇒ B». Fallacy возникает, когда временное следование подменяет причинную связь. В статистике это одна из самых устойчивых ловушек.

▶️Equivocation
«эквивокация» или
«подмена смысла слова»

Если упрощать, эквивокацией называют использование одного и того же слова с разным значением в одном рассуждении. На самом деле спектр значений этого понятия шире, но самый распространённый из них — тот, что в классической логике ещё называется quaternio terminorum («учетверение терминов»).

Математика описывает мир. Мир — это отсутствие войны. Значит, математика описывает отсутствие войны.

«Мир» как вселенная/реальность vs «мир» как противоположность войне. Формально структура аргумента корректна, но семантика «плывёт». В логике это пример того, как язык ломает строгие формы рассуждений.

▶️False dilemma
«ложная дилемма
или дихотомия»

Предлагается только два варианта, хотя пространство решений богаче.

Ты критикуешь капитализм, следовательно, ты коммунист.

Логически это ошибка редукции множества возможностей до бинарного выбора. В математике это выглядело бы как утверждение, что функция может принимать только 0 или 1 просто потому, что так удобнее спорить.

▶️Appeal to authority
«апелляция к авторитету»

Аргумент строится не от структуры доказательства, а от источника.

Это верно, потому что так сказал Гаусс.

В математике авторитет не играет роли для истинности утверждения. Теорема верна не потому, что её доказал Гаусс, а потому что доказательство корректно. И даже Гаусс мог ошибаться — хотя, кажется, крайне редко, как в случае с распределением простых чисел, хотя это уже отдельная история.

Ссылка на эксперта может быть разумной эвристикой в условиях неопределённости — мы не можем проверить всё сами. Fallacy возникает, когда авторитет подменяет логическое обоснование, а не дополняет его.

И всё же: при чём здесь математика?

Процесс математического мышления, особенно на этапе поиска решения, полон тех же ловушек. История науки знает немало «интуитивно очевидных» утверждений, которые оказывались ложными, и «доказательств», в которых ошибка пряталась годами.

*️⃣Ошибка возникает не в форме, а в месте её применения или в незаметном нарушении условий.

В этом смысле fallacy — это тени логики. Они появляются там, где форма сохранена, а условия применимости забыты.

В прошлый раз мы говорили о нескольких классических fallacy, а сегодня разберём ещё несколько — чуть более изощрённых и особенно запоминающихся.

⏩️Открывайте цитаты и читайте про каждую:

🔸Sunk cost
«ловушка невозвратных затрат»
❄️
Исследования Хэла Аркеса показывают: в ситуации невозвратных затрат люди чаще выбирают дорогой и невыгодный вариант, чем выгодный и дешёвый. Прошлые вложения влияют на решения сильнее, чем рациональная оценка будущей пользы.

Например, вам советуют сменить профессию, но вы отказываетесь, потому что уже потратили на неё годы, деньги и силы. Хотя рационально это не аргумент, именно прошлые вложения часто мешают принять выгодное решение.

🔸No true Scotsman
«ни один истинный шотландец»
❄️
Термин был выдвинут философом Энтони Флю в книге 1975 года «Размышление о размышлении: Искренне ли я хочу быть правым?».

В чём суть? Человек читает в газете о преступлении и говорит: «Ни один шотландец на такое не способен». Когда позже в той же газете появляется история о скандале с конкретным шотландцем из Абердина, он не признаёт ошибку, а заявляет: «Ну значит, он не настоящий шотландец». Факты меняются, а утверждение сохраняется за счёт подмены критериев.

В математическом контексте выглядело бы так:
— Ни один математик не допустит такой ошибки.
— Но вот профессор Иванов допустил.
— Значит, он не настоящий математик.

🔸Slippery slope
«скользкий склон»
❄️
Рассматривает утверждения в виде цепочек причинно-следственных связей, которые кажутся аргументированными и убедительными, но на деле — бездоказательными.

Если ИИ будет писать тексты, то люди перестанут думать. Потом перестанут читать, и культура исчезнет.

Каждый шаг выглядит правдоподобным, но неизбежность переходов не доказана: возможность не равна неизбежности.

🔸Texas sharpshooter
«ошибка меткого стрелка»
❄️
Название происходит из истории про техасца, который сначала стреляет по амбару, а потом, в месте с наибольшим числом пробоин, рисует мишень и объявляет себя метким стрелком.

Подобные вещи часто происходят в аналитике данных — то, что называют «подгонкой под результат» (data dredging): сначала анализируются данные, затем в них выбирается наиболее удачный паттерн, который объявляется закономерностью.

«Я нашёл закономерность в этих данных. Посмотрите, эти пять точек почти идеально ложатся на кривую!»

Выбор паттерна после анализа данных, а не до него — классика… но что не сделаешь, когда начальству нужен результат?

🔸Red herring
«отвлекающий манёвр»
или «уловка копчёной селёдки»
❄️
Распространённая ошибка в спорах и дискуссиях. Вместо ответа по существу вводится посторонняя тема, чтобы увести разговор в сторону.

— Ваше доказательство теоремы содержит ошибку в третьем шаге.
— Но посмотрите, какие красивые приложения у этого результата! И вообще, эта область очень важна для физики.

Замечание о корректности доказательства остаётся без ответа. Внимание переключается на что-то другое — пусть важное, но логически не связанное с исходным вопросом. Корректность доказательства никак не зависит от полезности результата.

Название происходит от старой практики сбивать охотничьих собак со следа запахом копчёной селёдки 🐟 (red herring).

🔸Motte-and-bailey
«мотт и бейли»
❄️

Относительно современный пример, придуманный философом Николасом Шейси в 2025 году.

Название пошло из Средневековья:

🔸motte — укреплённая башня на холме;
🔸bailey — открытый двор вокруг.

Суть: человек выдвигает спорное, смелое утверждение (bailey), но когда его критикуют, отступает к безопасному, очевидному утверждению (motte), а потом снова возвращается к исходному.

Bailey (смелое): «Интуиция важнее формальных доказательств в математике».

Критика: «Но без доказательств это не математика, а гадание».

Motte (защищённое): «Я просто говорю, что интуиция играет роль в процессе открытия, это же очевидно!»

[После критики снова]: «Вот видите, интуиция действительно важнее доказательств».

Так создаётся иллюзия победы — слабую позицию прикрывают сильной и ведут себя так, будто защитили первую.

Соскучились по задачам? Тогда смотрите на картинку 🔍

Эта конструкция называется мобиль — как детские мобили, которые подвешивают над кроватками.

📃 Здесь «|» — невесомые подвесы, но балки (обозначенные крестиками) имеют массу. Буквы (A, B, C, D, E, F) обозначают разные веса (массы).

❓ Какой вес должен быть оптимально подвешен в месте, помеченном «#»? Под «оптимально» подразумевается, каким набором из имеющихся у нас грузов нужно заменить «#», чтобы не нарушалось равновесие системы и при этом использовалось как можно меньшее количество самих грузов.

Пишите решение в комментариях, а завтра мы опубликуем верное.

#задача

А вот и решение вчерашней задачи!

1️⃣ В первой части решения будем анализировать только левую часть мобиля. Начнем с простого — самого нижнего подвеса, из равновесия которого нетрудно заключить, что F = 2D.

Заметим, что у нас есть одна большая горизонтальная балка сверху (вес которой, разумеется, никак не может повлиять на решение), а также несколько одинаковых между собой балок поменьше. Будем для краткости обозначать их вес просто X. Тогда из нижней части левой половины можем заключить, что B + F = X+ 2D + F. Упрощая это выражение, получим B = X+ 2D, а учитывая то, что 2D = F, получаем B = X + F.

Далее, искомая # = 2X + 2F + 2D + B = 2(X+F) + 2D + B = 2B + 2D + B = 3B + 2D.

Теперь финальное соотношение для всей левой части:

B + 2E = 3X + # + B + 2F + 2D.

Упрощаем:

2E = 3X + 3F + # = 3(X+F) + # = 3B + 3B + F = 6B + F = 6B + 2D

E = 3B + D

Тогда # = 3B + 2D = E + D.

Здесь можно было бы и закончить решение, так как нам удалось корректно заменить # всего двумя грузами! Меньшим количеством — то есть одним — в этой задаче, конечно, не обойтись.

В то же время, специально для наших читателей, подробно проанализируем вторую (правую) половину мобиля.

2️⃣ Сперва заметим, что C = A + 3D. Далее:

3A + D + 2F = X + A + 3D + C => 2A + 2F = X + 2D + C

▶️Подставим C: 2A + 2F = X + 2D + A + 3D

Упрощая, получаем: A + 2F = X + 5D

▶️Подставим F: A + 4D = X + 5D откуда A = X + D => C = A + 3D = X + 4D.

И финальное соотношение на всю правую часть:

A + 4C = 2X + 4A + 4D + 2F + C => 3C = 2X + 3A + 4D + 2F

Подставим C: 3A + 9D = 2X + 3A + 4D + 2F.
Упрощаем: 5D = 2X + 2F.
Подставим F: 5D = 2X + 4D => D = 2X.

Таким образом, мы получили следующие соотношения:

D = 2X
A = X + D = 3X
F = 2D = 4X
B = X + F = X + 2D = 5X
C = X + 4D = 9X
E = 3B + D = 15X + 2X = 17X

Нам удалось выразить все веса грузов через вес балки. Найденный нами в первой части решения вес # = E + D = 19X. Из расположения в порядке возрастания веса можно увидеть, что оптимальная замена его имеющимися весами будет именно такой, какую мы и нашли выше ⚡️

#задача

«Алису в Стране чудес», конечно, мог написать только математик…

📚 Когда читаешь книгу, редко задумываешься, кем был её автор за пределами литературы. А зря! Льюис Кэрролл, например, был не просто писателем, а человеком, который всю жизнь занимался математикой.

🐛
Что мы о нём знаем?
🐛

🔸Настоящее имя писателя — Чарлз Лютвидж Доджсон. Он окончил Оксфорд с отличием по математике и в 1856 году стал лектором, проработав в этой должности 25 лет — до 1881 года.

🔸Особое место в его научных интересах занимала евклидова геометрия — строгая система аксиом и доказательств, которую он считал образцом научного мышления.

🔸За свою жизнь он издал около десяти математических книг, в том числе две по формальной логике. В 1890-е годы Доджсон публикует знаменитый текст «Что Черепаха сказала Ахиллесу» — его до сих пор обсуждают специалисты по логике, — а затем выпускает учебник «Символическая логика».

Интересно, что современники считали Доджсона консерватором. Он отстаивал классическую геометрию Евклида и с осторожностью относился к реформам, которые, по его мнению, разрушали строгость доказательства.

Но именно любовь к форме, порядку и логике сделала его тексты — и научные, и художественные — такими точными и запоминающимися.

🔄Почему мы вообще об этом вспомнили? Потому что завтра — день рождения Льюиса Кэрролла🔄

Будем говорить о его логических задачах и о том, где в «Алисе в Стране чудес» прячется математика. Накидайте ❤️, если любите эту запутанную историю!

#история

В честь дня рождения Льюиса Кэрролла — сегодня ему 194 года! — давайте посмотрим на его сказочные тексты глазами математика

🔄В книгах о приключениях Алисы Кэрролл постоянно вплетает в текст математические и логические шутки, аллюзии и пародии. В «Алисе в Стране чудес» и особенно в «Алисе по ту сторону зеркала» он обыгрывает и высмеивает математику своего времени🔄

И вот целых пять примеров:

❄️
1️⃣ Арифметика и системы счисления
❄️
В знаменитой сцене, где Алиса уменьшается, она пытается умножать и получает странные результаты: «4×5 = 12, 4×6 = 13…». В десятичной системе это выглядит ошибкой, но Кэрролл сознательно смещает основание счёта.

Если считать не в десятичной системе, а, например, с основанием 18 или 21, такие равенства становятся корректными: 4×5 = 20(10) = 12(18), 4×6 = 24(10) = 13(21).

❄️
2️⃣ Геометрия и пропорции
❄️
Как вы помните, многие персонажи меняют форму: Кролик растёт, Алиса то уменьшается, то вытягивается, и любой математик бы спросил, сохраняют ли персонажи форму? Когда Гусеница произносит фразу «keep your temper», учёный XIX века слышит в ней не совет «держать себя в руках», а призыв «сохранять пропорции» — temper как средняя мера.

В евклидовой геометрии фигура после гомотетии остаётся подобной самой себе, если сохраняются соотношения сторон. Но если пропорции нарушаются, форма ломается, и объект перестаёт быть самим собой. Тут Кэрролл иронизирует над идеями алгебраической геометрии и символической алгебры.

❄️
3️⃣ Принцип непрерывности
❄️
Сцена с младенцем Герцогини, который внезапно превращается в поросёнка, отсылает к принципу непрерывных превращений, связанному с идеями Понселе. Согласно этому принципу, бесконечно малые изменения сохраняют некоторые свойства объекта.

Кэрролл доводит идею до гротеска: при превращении может получиться либо ребёнок, либо свинья — никакого «промежуточного существа» не существует. Автор насмешливо подчёркивает абсурдность механического переноса математического принципа в физическую реальность.

❄️
4️⃣ Шахматы и бинарная логика
❄️
В книге «По ту сторону зеркала» вся история разворачивается как партия в шахматы, подчёркивая строгую, почти формальную структуру мира. Для викторианцев шахматы считались «игрой для математиков», и Кэрролл активно использует этот предрассудок.

В зеркальном мире всё переворачивается: ходы работают наоборот, выводы инвертируются, логика ломается. Диалоги героев при этом отсылают к идеям алгебры Буля и двоичного мышления — к спорам о «0» и «1», лжи и истине. Кэрролл превращает серьёзные логические концепции в игру слов и парадоксов.

❄️
5️⃣ «Запутанная история» (1885)
❄️
Хотя это отдельная книга, её невозможно не упомянуть. В ней Кэрролл пишет пять «узлов» — коротких историй, внутри которых он прячет математические задачи. Читателю предлагают распутывать эти «узелки»: решать уравнения, задачи на сочетания и вероятность. Ответы автор выносит в конец книги.

Вот так! Произведения Кэрролла оказываются насыщены скрытой математикой. И он сознательно отражает развитие алгебры и геометрии через сатиру и сказочные образы.

Как мы писали, он был консервативным геометром, но как писатель он с иронией показывал новые абстракции как нечто странное и нелепое.

Вдохновили вас на то, чтобы перечитать сказки про Алису? Ставьте 🕊, если да!

#история

Завершаем празднование дня рождения Льюиса Кэрролла ❤️

Спасибо за вашу активность. Рады видеть такое количество реакций на постах и ваши комменты. Не останавливайтесь!

Оставляем решения вчерашних головоломок. Сохраняйте ответы и загадывайте друзьям длинными снежными вечерами...

💡
1️⃣ Логическая задача
💡
Из (1): все младенцы нелогичны.
Из (3): всех нелогичных людей презирают.

Следовательно, всех младенцев презирают.

Условие (2) говорит, что ни один человек, умеющий управляться с крокодилом, не может быть презираем.

В контрапозиции это означает: если кого-то презирают, значит, он не умеет управляться с крокодилом.

Поскольку всех младенцев презирают, ни один младенец не может управляться с крокодилом.

▶️Итак, вывод Кэрролла таков: младенцы не могут управляться с крокодилами.

💡
2️⃣ Арифметическая задача
💡
Пусть расстояние подъёма (и спуска) равно d милям, а L — длина ровного участка (туда и обратно).

Время подъёма: d / 3
время спуска: d / 6
время по ровной местности: L / 4 в каждую сторону

Общее время:
d / 3 + d / 6 + 2·(L / 4) = 6 часов (с 3 до 9 вечера)

Упрощаем: d / 3 + d / 6 = d / 2, значит:
d / 2 + L / 2 = 6, откуда d + L = 12

Общее расстояние равно 2d + 2L. Но так как d + L = 12, получаем 2d + 2L = 24 мили — независимо от того, как именно делятся эти 12 миль между подъёмом и ровной дорогой. Кэрролл показывает, что всего они прошли 24 мили.

Чтобы найти время подъёма на вершину: рыцари вышли в 3:00, общее время — 6 часов. Как объясняет Кэрролл, подъём должен был занять примерно 3½ часа после выхода, то есть около 6:30 вечера. Если бы все 12 миль были ровными, путь занял бы чуть больше 3 часов; если бы почти весь путь был в гору — чуть меньше 4 часов. В пределах получаса это даёт около половины седьмого.

▶️Ответ Кэрролла: 24 мили и 6:30 вечера.

💡
3️⃣ Парадокс вероятностей
💡
Изначально в мешке была либо белая W, либо чёрная B фишка — с равными вероятностями. После добавления белой фишки возможны два случая:

WW (если исходная была белой) или BW (если исходная была чёрной), каждый с вероятностью 1/2.

Мы вытаскиваем белую фишку. Перебор равновероятных случаев (как подробно делает Кэрролл) показывает, что остаются три равновероятных сценария, в которых вытянута белая фишка. В двух из этих трёх случаев оставшаяся фишка — белая.

▶️Следовательно, вероятность того, что оставшаяся фишка белая, равна 2/3.

*️⃣Сам Кэрролл отмечал, что интуитивный «короткий» ответ 1/2 вводит в заблуждение, и приводил правильный «длинный» расчёт.

И надеемся, что не слишком утомили вас сказками. Пусть на первый взгляд они выглядят детскими, но при внимательном чтении в них открывается множество глубоких идей. Впрочем, как и бывает со многими трудами на стыке математики и других областей.

Если было интересно, вот ссылочки на другие наши серии:
▶️про геймдев
▶️про искусство
▶️про дизайн

#задача