12 октября этого года исследователь OpenAI Себастьен Бубек опубликовал пост, в котором заявил, что GPT-5 Pro «решил» проблему Эрдёша № 339.

*️⃣Эрдёш — это математик, чью научную плодовитость нередко сравнивают с Эйлером. Он оставил после себя огромное количество открытых проблем. Сегодня они собраны на специальном сайте, отслеживающем текущий статус каждой из них, и задача № 339 на момент публикации Бубека числилась нерешённой.

▶️На самом деле новость оказалась кликбейтом: GPT-5 просто обнаружил, что эта задача уже была решена ранее. Точнее, её решение напрямую следует из одного из утверждений статьи 2003 года.

Поэтому многим не понравилось, как Бубек сформулировал своё сообщение. Создалось впечатление, что результат авторов статьи приписывается ИИ. Вероятно, на этом история могла бы и закончиться, но…

…буквально через несколько дней Бубек заявил, что GPT-5 решил ещё около десяти задач Эрдёша, включая задачу № 1043.

И вот тут-то и началось самое интересное. Пост вскоре удалили, разгорелся скандал, а Бубеку пришлось публично извиняться. Ситуацию, кстати, откомментировал даже Демис Хассабис — известный исследователь ИИ, нобелевский лауреат и по совместительству CEO DeepMind. Он сухо написал: «Как неловко».

▶️Причина скандала заключалась в следующем. Рассматривая задачу № 1043, GPT-5 обнаружил, что она была решена ещё в 1961 году Кристианом Поммеренке. Решение было «спрятано» где-то глубоко в статье, да ещё и на немецком языке.

Иными словами, «новое решение» оказалось уже известным доказательством, которое ИИ сумел извлечь из научной литературы и правильно интерпретировать. Это напрочь расходилось с анонсом результата.

❗️И всё же, несмотря на это, уже 6 задач Эрдёша изменили свой статус на «решённые» благодаря анализу ИИ.

Интересное обсуждение этих событий можно найти в треде Теренса Тао, а также в этой ветке на реддите, куда в комментарии, в частности, пришёл сам создатель базы проблем Эрдёша.

Ну как вам этот эпизод? Голосуйте в реакциях:

🦄 — Я — оптимист! Эта история показывает сильную сторону LLM. Они умеют эффективно находить, связывать и перерабатывать математические знания.
🗿— Я — скептик… Все открытия ИИ — это частично забытые или плохо индексируемые находки в рамках существующей научной литературы.

Если вам интересно, у нас есть свой ответ. Но сохраним интригу до завтра. У этой истории есть продолжение…

#история

1 декабря, то есть буквально в этом месяце, с помощью ИИ была решена ещё одна проблема Эрдёша 🤯

Она оставалась нерешённой на протяжении 30 лет. А решила её система Aristotle. Чуть подробнее о ней:

Это ИИ-система от стартапа Harmonic. Она не работает сама по себе и фигурирует лишь на одном из этапов многоступенчатого пайплайна.

▶️Одним из ключевых инструментов также является Lean — это язык программирования и система для формальной верификации математических доказательств, в которой доказательства записываются как программы и автоматически проверяются на логическую корректность. Это позволяет получать строгие, машинно-проверяемые доказательства теорем.

▶️Ещё важную роль играет проект DeepMind Formal Conjectures, который занимается систематическим переводом математических задач из естественного языка в формальные объекты, пригодные для работы в системах вроде Lean. По сути, это корпус формализованных гипотез и заготовок для будущих доказательств, с единым представлением задач, с которым могут напрямую работать ИИ-агенты.

Вот как примерно выглядят весь «конвейер» формализации, доказательства и последующей верификации результата:

1️⃣ берутся задачи из каталога Эрдёша

2️⃣ DeepMind Formal Conjectures связывает их с Lean-совместимыми формальными утверждениями и заготовками для дальнейшей формализации

3️⃣ языковые модели (вроде ChatGPT) помогают автоматизировать доработку дальнейшей формализации, генерируя дополняющие куски Lean-кода с целью привести задачу к итоговому машиночитаемому варианту

4️⃣ Aristotle работает в связке со всеми предыдущими инструментами, генерируя формальные доказательства на основе полученных формализаций; корректность каждого шага механически проверяется в среде Lean

Так вот, Aristotle полностью решил одну из версий задачи Эрдёша №124, поставленной в середине 1990-х. Сделал он это примерно за 6 часов, а формальную проверку доказательства Lean выполнил всего за минуту.

Отметим, что была решена «слабая» версия, поэтому в базе задача всё ещё числится нерешённой. Хоть эффективное доказательство и оказалось неожиданно простым, нельзя отрицать, что обнаружил его именно ИИ.

Здесь подмигиваем оптимистам, оставившим 🦄 под вчерашней публикацией.

Не проходит и суток, как один из создателей Aristotle сообщает о решении проблемы №481. Новость «взрывает» реддит. В комменты приходит автор доказательства и делится деталями работы.

🔄Оказалось, что на самом деле работа по активному привлечению Aristotle началась ещё в ноябре. Например, тогда вышло опровержение второй части проблемы №367, которое, как вы можете догадаться, проверил именно ИИ🔄

Кстати, произошло это всё с подачи математика Бориса Алексеева. Подробный рассказ из первых уст был опубликован 5 декабря.

А уже 8 декабря в блоге Теренса Тао выходит обстоятельный лонгрид о решении ещё одной проблемы — №1026. В нём можно проследить, как решение становится синтезом человеческой работы и ИИ.

Согласитесь, звучит впечатляюще! Но волнения в математическом сообществе присутствуют, что вполне понятно. Трудно представить, насколько иной станет математика в эпоху vibe proving.

И что же всё это значит❓

Можно предположить, что роль математика в будущем сместится в сторону архитектора доказательств. Человек выбирает определения, задаёт направления исследования и нажимает «пуск». Уже сейчас в соцсетях можно наблюдать, как любители экспериментируют с этой ролью и получают любопытные результаты.

Однако у этого романтизированного взгляда есть обратная сторона. В системах формализации иногда получаются доказательства, которые могут быть практически неинтерпретируемы для человека.

Хорошо ли, когда столь мощные системы получают результаты, которые мы не в состоянии понять? Решать вам!

#история

Наш новогодний сериал подходит к сказочному финалу. Этот пост мы хотим закрепить, поэтому начинаем его с перечисления предыдущих эпизодов:

▶️Как железо закалялось под ИИ
▶️Первые шаги математики в ML
▶️О задачах Эрдёша и, скорее, провале
▶️О задачах Эрдёша и, скорее, успехе

Ну и на десерт ещё одно открытие!

В октябре математик Паата Иванишвили сделал пост о том, что GPT-5 Pro нашёл контрпример к нерешённой задаче из списка открытых проблем фонда Саймонса. Уже к концу месяца он опубликовал проверенный результат и ссылку на полный чат с GPT-5 Pro, приведший к решению проблемы.

🔸Fun fact 1: каждый из вас может повторить этот трюк, даже просто закинув скриншот с проблемой в чат, вот пример.

🔸Fun fact 2: математик указал нейронку в соавторах. Потом отметку убрали — не соответствовало политике портала.

Вот такой получился сериал про ИИ в математике. Не грустите, у него точно выйдет продолжение. Но всё же растянем удовольствие.

Оставляйте ⛄️ под постом, если вам понравился наш новогодний подарок. И, конечно, ждём комментариев от тех, кто досмотрел сериал до конца. Несомненно, тут есть над чем порассуждать!

#рекомендуем

Прерываем наше ИИ-вещание по очень важному поводу: сегодня день рождения Джона Конвея ❤️

Этот легендарный математик шутил, что за всю жизнь так ни дня и не проработал — он играл. И в эти игры с головой втягивались его коллеги и многочисленные ученики.

Перечислить всё, что сделал Конвей, — задача объёмная. И нам в редакции ещё точно есть что рассказать про него самого, про его идеи и про то, где они находят отражение.

А вот небольшая подборка постов, где мы уже начали приоткрывать занавес его работ:

▶️Три правила «Жизни»
▶️Рекомендация книги Конвея и Кнута о сюрреальных числах
▶️Головоломка Конвея: задача и решение

Поздравить с днём рождения легенду — 🎉

Смотрите, какую любопытную историю мы нашли в канале data.csv 👀

Это блог нашего коллеги, Алексея Смагина, аналитика, дата-журналиста и преподавателя визуализации данных из команды Исследований Яндекса. А рассказал он нам про будущее онлайн-безопасности!

Если коротко — привычное шифрование RSA держится на любопытной математической асимметрии: умножать большие числа легко, а раскладывать их обратно — долго и сложно.

Даже суперкомпьютеры на таком месте пасуют. А вот квантовые — теоретически справляются куда быстрее. Гифка выше, например, красиво иллюстрирует, что им намного проще проверить правильность решения, сравнив длины всех путей в лабиринте.

У Лёши в канале вы найдёте интересные ещё много таких примеров аналитики и вдохновляющей инфографики. Очень рекомендуем подписаться ❤️

#рекомендуем

2025 год понемногу подходит к концу... Но хорошо, что задачки у нас не заканчиваются!

Если предновогодняя суета вас ещё не сильно затянула, предлагаем чуть отвлечься и подумать о цифрах.

Найдите все целые решения уравнения на картинке выше 🔍

Подсказку давать не будем, она и так уже содержится в условии. А вот ваши ответы с нетерпением ждём в комментах под спойлерами.

#задача

Решаем задачу и провожаем 2025 год ❤️

Можно заметить, что оба числа должны быть кратны 3. Также числа должны иметь разную чётность, причём то, которое чётное, должно делиться сразу на 4.

После этого перебор уже элементарен и даёт нам с точностью до знаков и перестановки местами пары значений 0 и 45 или 27 и 36. Тем самым всего 12 решений.

Можно было решить и чуть иначе, если заметить, что 2025 = 45². А значит, кроме тривиальных решений, остаётся проверить пифагоровы тройки с точностью до знаков. Собственно, 27, 36 и 45 — это просто масштабированный египетский треугольник.

А теперь расскажем немного о числе 2025, перед тем как уйти в новый 2026-й:

👟
👟2️⃣
👟
Как мы уже знаем, 2025 — это полный квадрат числа 45, при этом 45 можно представить как (2+0!)² × 5. Заметим, что это первый квадрат после 1936. Но интереснее всего вот что: 2025 = (20 + 25)².

Дело в том, что 45 является числом Капрекара — числом, квадрат которого можно разбить на две части, сумма которых даёт исходное число. В следующий раз такое повторится только в 3025 году, то есть через тысячу лет.

👟
👟0️⃣
👟
Числа, равные сумме первых последовательных натуральных чисел, называют треугольными. Такие, как, например, 45 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9. А значит, 2025 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)² является квадратом треугольного числа.

Из предыдущего, согласно тождеству Никомаха, сразу следует, что 2025 является суммой кубов соответствующих чисел: 2025 = 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³.

👟
👟2️⃣
👟
2025 можно записать как сумму двух полных квадратов 2025 = 27² + 36² или даже как сумму трёх полных квадратов 2025 = 40² + 20² + 5².

Но можно пойти ещё дальше, задавшись вопросом: сколько имеется различных k, для которых 2025 можно записать как сумму k различных ненулевых квадратов.

Оказывается 17, причём k принимает все значения от 1 до 17. Более того, 2025 — первое число, которое имеет 17 различных значений k:

2025 = 45²
= 36² + 27²
= 35² + 28² + 4²
= 42² + 16² + 2² + 1²
= 36² + 20² + 18² + 2² + 1²
= 39² + 21² + 7² + 3² + 2² + 1²
= 43² + 11² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 39² + 20² + 7² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 42² + 11² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 30² + 29² + 12² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 40² + 11² + 10² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 38² + 14² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 30² + 22² + 16² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 30² + 20² + 14² + 12² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 25² + 23² + 14² + 13² + 11² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 23² + 19² + 17² + 14² + 12² + 11² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²
= 23² + 16² + 15² + 14² + 13² + 12² + 11² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1²

👟
👟5️⃣
👟
Если к каждой цифре числа 2025 прибавить единицу, получим число 3136. И оно тоже — полный квадрат! 3136 = 56².

Также 2025 представляется как сумма арифметической прогрессии, более точно — сумма первых 45 нечётных натуральных чисел: 2025 = 1+3+5+7+9+11+…+89.

👟
👟*️⃣
👟
В математике полнократным числом называют положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя. И 2025 — наш клиент, поскольку 2025 = 3⁴×5². Заметим, что в этой записи используются все цифры от 2 до 5.

Можно пойти ещё дальше и сделать 1×3⁴×5², чтобы получить числа от 1 до 5, или даже 1⁶×3⁴×5²×7⁰ для чисел от 0 до 7 (с нечётными возрастающими основаниями и чётными убывающими показателями степени в качестве бонуса!).

А ещё 2025 можно записать как произведение двух полных квадратов, причём двумя способами:
2025 = 3²×15² = 5²×9², причём 5²×9² = (2−0−2−5)² × (2+0+2+5)².

Ну и напоследок — 2025 является числом Харшад. Это числа, которые делятся на сумму своих цифр. Слово Harshad пришло из санскрита: harṣa означает радость, восторг, а da — давать. То есть буквально «дающий радость».

В то же время 2025 является 454-м апокалиптическим числом. Вот и делайте выводы…

А каким числом 2025 год оказался для вас?

❤️‍🔥 — Прекрасный, несмотря ни на что!
☃️ — Может, лучше уже посмотрим, что там с 2026 — есть какие-то приятные свойства?

#задача

Друзья, начинаем потихоньку входить в режим ❤️

Первая задача 2026 года будет максимально дружелюбной.

🔸Условие: Саша составил число 2026 из 68 кубиков, как на рисунке выше. После этого он покрасил всю поверхность конструкции краской.

🔸Вопрос: у скольких кубиков оказалось покрашено ровно четыре грани?

Не торопимся. Рассуждения и вопросы принимаются в комментариях… Ответ и разбор пришлём завтра.

#задача

Ответ на вчерашнюю задачу: 62

Получить этот ответ можно, конечно, и честным перебором, аккуратно пройдясь по всем кубикам и «руками» пересчитав покрашенные грани, но это — путь сильных и смелых. Математики же, по своей натуре, люди ленивые, из-за этого и придумывают всякие умные ухищрения — как бы что сделать попроще…

У кубика 6 граней, и если он состыкован с двумя другими кубиками, то свободных граней остаётся 4, если с одним — то 5, а если с тремя — то 3, и т. д. Тем самым нам достаточно посчитать только те кубики, которые состыкованы не с двумя другими. Таких кубиков 6. А значит, ответ: 68 − 6 = 62.

❤️ Все, кто решил, — молодцы! И в качестве награды ловите бонусный факт: 2026 — счастливое число. И это не просто фигура речи.

В математике счастливыми называют числа, у которых цикличная замена числа на сумму квадратов его цифр сходится к 1. Числа, для которых процесс не заканчивается единицей, считаются несчастливыми числами и ещё называются грустными числами.

Проверим число 2026 непосредственно:

2² + 0² + 2² + 6² = 4 + 0 + 4 + 36 = 44
4² + 4² = 16 + 16 = 32
3² + 2² = 9 + 4 = 13
1² + 3² = 1 + 9 = 10
1² + 0² = 1

Убедились? 2026 — счастливое! Всего, кстати, в нашем веке счастливых годов не так много: были 2003, 2008, 2019 и будут ещё 2030, 2036, 2039, 2062, 2063, 2080, 2091, 2093.

Так что желаем, чтобы каждый ваш день в этом счастливом 2026 году циклично и уверенно вёл вас к успехам.

🎉 — запустить последнюю хлопушку и начать уже работать...

#задача