Ненадолго прервём историческое вещание и поговорим о фракталах.

🔄Фрактал — это самоподобная фигура🔄

Если приблизить её кусочек, он окажется похож на всю фигуру целиком. В идеальной математической вселенной фракталы могут быть бесконечно подробными. В реальности, конечно, всё ограничено: пикселями, атомами или… терпением художника.

У фракталов есть одно особенно занятное свойство — нецелая размерность. Познакомимся с ним на примере небольшой задачи с треугольником Серпинского:

🔸Условие: представим, что нам каким-то чудом удалось сделать треугольник Серпинского из железной пластинки. Пусть его сторона равна 1, а масса равна x.

🔸Вопрос: чему будет равна масса такого же треугольника Серпинского со стороной 2?

⠀

*️⃣

Ответ:

3x

⠀
Почему не 2x, не 4x и не 8x?

Посмотрите на иллюстрацию к посту: большой треугольник Серпинского со стороной 2 собирается из трёх одинаковых маленьких треугольников со стороной 1. Значит, если каждый маленький весит x, то большой весит 3x.

Для обычных фигур это не характерно: если увеличить длину отрезка в 2 раза, его масса вырастет в 2 раза. Если увеличить сторону квадрата в 2 раза, площадь и масса вырастут в 4 раза. Если увеличить ребро куба в 2 раза, объём и масса вырастут в 8 раз.

То есть масса растёт как 2ᵈ, где d — размерность фигуры:

1D: 2¹ = 2
2D: 2² = 4
3D: 2³ = 8

А у треугольника Серпинского получилось 2ᵈ = 3.
Значит, d = log₂3 ≈ 1,585.

Это и есть нецелая размерность.

Об этом и других свойствах фракталов будут подробно рассказывать наши друзья на фестивале «Фрактальная Одиссея» 23 мая в Москве. Там можно будет узнать много интересного о фракталах, самоподобии и симметрии в науке и искусстве.

Коллеги также собрали «Галерею самоподобных форм» — выставку из девяти фрактальных фигур, расположенных в порядке их открытия, от множества Кантора до папоротника Барнсли.

Уверены, что событие будет очень эффектным и содержательным. Приходите ❤️

#рекомендуем

Завершаем средневековую серию постов красивой задачей из Арифметики Тревизо:

🔸Условие (оригинальное, прямо из книги): у купца есть 46 марок и 7 унций серебра, сплавленного в соотношении 7 унций и 1/4 на марку. Он хочет отчеканить его так, чтобы оно содержало 3 унции и 1/2 чистого серебра на марку.

🔸Вопрос: определите количество серебра в смеси и сколько латуни он должен добавить.

⠀
*️⃣Подсказка
⠀
Марка — это мера веса драгоценного металла, распространённая в средневековой Европе. Интересно, что слово «марка» тоже связано с идеей «меры» или «стандарта». От весовой марки произошла, например, немецкая марка.

В задачах из Арифметики Тревизо обычно речь идёт либо о весе серебра, либо о сплаве целиком. В данном случае 46 марок и 7 унций — это общий вес имеющегося сплава, содержащего примесь, из расчёта 7 ¼ унции чистого серебра на марку.

Под примесью неблагородного металла в драгоценном сплаве, скорее всего, по умолчанию подразумевается медь в значении лигатуры, но это в условии не уточняется. В решении всплывает слово «медь», хотя на тот момент этим словом часто могли обобщённо называть любой неблагородный металл, который добавляли к серебру или золоту для прочности или удешевления.

Стоит учитывать, что ответы в подобных задачах раскладывали в соответствующей весовой системе мер:

1 марка = 8 унций,
1 унция = 4 кварты,
1 кварта = 36 карат.

Верим в вас и желаем удачи, дорогие будущие купцы. Ждём ваши ответы в коментах под спойлером.

#задача

Описали ещё две важные исторические темы, которые затрагивает вчерашняя задача. Всё-таки надеемся, что найдутся смельчаки, которые попробуют решить её 👀

⠀
Правило трёх
⠀
Это простая пропорция, в которой даны три величины и требуется найти четвёртую. Сегодня такая задача может показаться тривиальной, но до появления формальных обозначений её решение представляло значительные трудности.

Правило трёх очень древнее и восходит к задачам в папирусе Ахмеса и китайском трактате «Математика в девяти книгах». Оно встречается у легендарного индийского математика Брахмагупты под названием trairāśika и формулируется так:

⏩️️В правиле трёх «аргумент», «результат» и «требуемое» — это названия членов. Первый и последний члены должны быть однородны. Требуемое, умноженное на результат и делённое на аргумент, даёт искомое⏪️️

Когда правило появилось в Европе, индийское название было переведено буквально, но восточные термины не сохранились. В Тревизской арифметике оно называется La regula de le tre cose — «правило трёх вещей». Лука Пачоли в своей знаменитой «Сумме арифметики» использовал как итальянское, так и латинское название: la regola del 3 и regula trium rerum. Немецкие авторы переняли итальянское название.

Существовали и другие названия, отражающие происхождение и значение правила: «правило купцов» и «золотое правило». Из Южной Европы правило распространилось во Францию и Англию. Там о нём говорили:

⏩️️Правило трёх обычно называют золотым правилом, и действительно, его можно так назвать: как золото превосходит все другие металлы, так и это правило превосходит все прочие в арифметике⏪️️

Его полезность и универсальность вызывали восхищение у математиков раннего Возрождения. Клавий утверждал, что его невозможно перехвалить. Ван дер Шуэре посвятил ему пятую часть своей книги, а Кардиналь — около 40%. Пожалуй, лучше всего отношение к нему выразил Бейкер:

⏩️️Правило трёх — главное, самое полезное и самое превосходное из всех правил арифметики. Все остальные правила нуждаются в нём, и оно превосходит их все⏪️️

При этом правило излагалось без математического обоснования: практикующих счётчиков интересовали не теоретические объяснения, а скорость и точность вычислений. Это была просто процедура, которую нужно запомнить и применять.

⠀

Аллегация

⠀
Эта тема впервые появляется в арифметических книгах XV века в связи с металлургией. Само слово происходит от латинских

ad

(«к») и

ligare

(«связывать») и буквально означает «смешивать». Слово

alloy

(«сплав») имеет тот же корень.

По мере того как металлургия оформлялась как наука, вопросы количественного описания смесей переходили из трактатов алхимиков в книги счётных мастеров.

При отсутствии централизованного контроля за чеканкой стандарты сильно различались. Знание состава сплавов драгоценных металлов было жизненно важно для торговли, поскольку стоимость денег определялась не номиналом, а содержанием драгоценного металла.

На протяжении XVI века главы об аллегации в арифметических книгах были особенно предназначены для немецких мастеров монетных дворов или итальянских ювелиров. Позднее область применения расширилась и стала включать задачи о смесях вообще. Например,

Роберт Рекорд

замечает:

⏩️

️Это имеет большое применение в составлении лекарств, а также в смешении металлов, и некоторое применение — в смешении вин; но я хотел бы, чтобы последнее применялось реже, чем это происходит ныне

⏪️

️

К 1568 году, например, у Бейкера уже можно найти около 48 страниц, посвящённых различным применениям аллегации.

#история

⏩️Езжай в Москву, учись на мехмате — из тебя выйдет великий математик⏪️

Так сказал учитель математики своему ученику Израилю Гельфанду после девятого класса. Тот послушался и приехал в МГУ… где его развернули у дверей: без аттестата о среднем образовании принимать некуда.

Возвращаться он не стал — устроился вахтёром в Ленинскую библиотеку, параллельно посещая вечерние лекции по математике.

Не прошло и года, как там его однажды заметил Андрей Колмогоров.

— Мальчик, зачем ты держишь эту книгу? Ты же ничего в ней не понимаешь, — усомнился академик.
— Вы не правы, — ответил Гельфанд.

Колмогоров дал ему «на слабо» три задачи и, уходя, услышал: «Товарищ профессор… я их решил». Все три — и последняя, самая сложная, была решена блестящим способом.

Профессор не поверил и дал ещё три. Изучив решения, сказал:
— Простите мои сомнения. Третья задача считалась неразрешимой. Никто не мог подсказать вам её решение. Пойдёмте к ректору.

Через несколько минут ректор МГУ услышал от Колмогорова:
«Это не мальчик, а гениальный математик. Прошу зачислить его в мою аспирантуру».

Минуя и 10-й класс, и студенческую скамью, Израиль Гельфанд стал одним из крупнейших математиков XX века.

Его влияние трудно измерить только теоремами. Куда важнее — его метод мышления. Гельфанд любил рассматривать один и тот же объект с разных сторон, переводить задачу из одной области в другую. Для него математика — про понимание структур и связей. Решение задачи — лишь побочный эффект.

В 1960-е годы Гельфанд запустил знаменитый заочный математический кружок. Вместо обычной проверки ученики получали развёрнутые письма с обсуждением их идей.

Про семинар в МГУ под его руководством, проработавший почти полвека, ходили легенды. Это был «спектакль одного актёра». Докладчика могли остановить на первой же строчке: «Объясните мне это на простом примере; с трудным примером я и сам справлюсь».

Одним из его любимых отрывков было стихотворение Пастернака про «неслыханную простоту». Именно к этой простоте он стремился во всех своих работах. Среди них:

▶️Теория представлений — Гельфанд создал теорию для некомпактных групп, которая сегодня является основным языком квантовой механики.

▶️Интегральная геометрия — его работы позволяют машинам МРТ и КТ превращать данные в 3D-изображения. Лауреаты Нобелевской премии по томографии благодарят Гельфанда в своих речах.

▶️C*-алгебры — совместно с Наймарком он ввёл понятие общих C*-алгебр. Позже он иронизировал, что мог бы объяснить самому фон Нейману, почему их подход важнее для топологии.

▶️Базисы Гельфанда — Цетлина — метод «хорошей» реализации представлений классических групп, ставший ядром современной комбинаторики и физики.

А вот что он сделал за пределами математики:

🔸В конце 1950-х Гельфанд собрал знаменитый биологический семинар. Вместе с врачами он разработал методику формализации мышления клиницистов для диагностики заболеваний.

🔸Он работал до последних дней — его последние статьи вышли, когда ему было 94 года. Как точно заметила Надежда Мандельштам: «Не нужно быть математиком, чтобы понять, что Гельфанд — гений».

Завершаем эту вдохновляющую историю индийской притчей.

Шесть слепых хотели узнать, каков слон. Каждый из них ощупал какую-то часть его тела и утверждал, что знает, какой слон. И хотя каждый из них был частично прав, никто не понял, каков слон.

Фамилия Гельфанд в переводе с идиша означает «слон». Объясняя метафору, дополним: наш герой оставался универсалом в век, когда математика разбивалась на специализации. Он внёс значительный вклад в функциональный анализ, алгебру, топологию, математическую физику, теорию вероятностей.

Накидайте 🏆, если знакомы с его работами. И читайте наши предыдущие посты про гениев математики:

• учитель Гельфанда — Андрей Колмогоров
• девушка, опередившая школьную программу
• школьницы, которые нашли новый взгляд на теорему Пифагора

#история