Продолжение истории о «Тревизской арифметике» 🎬

Книга, изданная анонимно в 1478 году в итальянском городе Тревизо, не имела официального названия, а её автор и по сей день остаётся неизвестным.

Анонимность таких книг была нормой для практических руководств. Но есть и другой ракурс: Венеции всегда были присущи стремление к самоотстранению и отсутствие тяги к личной славе.

Учебник состоит из 123 ненумерованных страниц и вводит «новую математику», продвигая использование индо-арабской системы счисления и письменных алгоритмов вычислений, восходящих к Liber Abaci Фибоначчи, которая и познакомила Европу с индо-арабскими цифрами и новыми методами вычислений.

Вот что нам ещё известно об этой книге:

⠀
🔍 Внутри — уроки и задачи
⠀
В основном они связаны с торговлей, переводом валюты и расчётом инвестиций. Также там есть практические задачи и приложения для различных ремёсел, включая сельское хозяйство, портняжное дело и строительство.

Многие задачи решаются с применением так называемого правила трёх (аналогичного нашим пропорциям), а также более частного случая — аллигаций, применимых к сплавам, смесям и растворам. Ещё одна любопытная тема — вычисление даты новолуния.

Кстати, некоторые исследователи высказывают предположение, что Джон Непер вдохновлялся именно «Тревизской арифметикой» при создании своих знаменитых палочек, или, как их ещё называют, «костей Непера».

⠀
✏️ Типографские особенности
⠀
Несмотря на то что визуально тексты выглядят достаточно просто, их создание в те времена было чрезвычайно сложным процессом. Интересной особенностью является частая замена цифры «1» буквой «i» — вероятно, из-за нехватки литер с цифрами. Хотя тогда читатели были привычны к римским цифрам, в книге используется арабская система счисления.

Привычные нам символы арифметических операций (−, ×, ÷, +) отсутствуют в средневековой математике, поскольку они появились позже: знак равенства был введён лишь в 1557 году, а знак умножения — аж в 1631-м. Вместо них используются слова: DE — вычитание, FIA — умножение, IN — деление, ET — сложение.

В книге есть понятие дроби, но не в современном виде с десятичной записью. Читая этот учебник, понимаешь, насколько «проще» стала математика за 500 лет.

⠀
🤯 И самое главное — адресат
⠀
«Тревизская арифметика» была написана на разговорном венецианском диалекте, без латыни, для самостоятельного изучения — и предназначалась не учёным, а купцам, бухгалтерам и торговцам, которым арифметика была нужна прямо сейчас, в повседневной работе: для перевода валют между городами, расчёта прибыли от грузов, разделения долей в торговых предприятиях, учёта долгов и процентов.

Эта книга разрушила монополию на математические знания: впервые они принадлежали не привилегированному меньшинству, а всем, кто умел читать на родном языке.

Несмотря на благие намерения автора, учебник, по-видимому, не стал особенно популярным: было выпущено лишь одно издание тиражом 5️⃣0️⃣0️⃣ экземпляров, из которых до наших дней дошли только два.

Один из них использовал историк математики Фрэнк Дж. Свец. Он включил его в свою книгу «Капитализм и арифметика: новая математика XV века». Любопытно, что эта копия содержит предполагаемый автограф её первого владельца и, по-видимому, ученика — Марко Белларами. Прикладываем пруф ниже ↓

200 из 340 страниц книги посвящены подробнейшему разбору каждого из приёмов и комментариям о «новой арифметике» и деловой практике раннего Возрождения.

🔄Богатые исторические детали создают убедительную картину того, как торговый капитализм Венецианской республики раннего Возрождения повлиял на развитие математики — и как математика, в свою очередь, способствовала подъёму капитализма🔄

Если вам интересно порешать задачки из легендарного учебника, ставьте ⚡️ — мы перевели парочку с венецианского специально для вас.

#история

Ненадолго прервём историческое вещание и поговорим о фракталах.

🔄Фрактал — это самоподобная фигура🔄

Если приблизить её кусочек, он окажется похож на всю фигуру целиком. В идеальной математической вселенной фракталы могут быть бесконечно подробными. В реальности, конечно, всё ограничено: пикселями, атомами или… терпением художника.

У фракталов есть одно особенно занятное свойство — нецелая размерность. Познакомимся с ним на примере небольшой задачи с треугольником Серпинского:

🔸Условие: представим, что нам каким-то чудом удалось сделать треугольник Серпинского из железной пластинки. Пусть его сторона равна 1, а масса равна x.

🔸Вопрос: чему будет равна масса такого же треугольника Серпинского со стороной 2?

⠀

*️⃣

Ответ:

3x

⠀
Почему не 2x, не 4x и не 8x?

Посмотрите на иллюстрацию к посту: большой треугольник Серпинского со стороной 2 собирается из трёх одинаковых маленьких треугольников со стороной 1. Значит, если каждый маленький весит x, то большой весит 3x.

Для обычных фигур это не характерно: если увеличить длину отрезка в 2 раза, его масса вырастет в 2 раза. Если увеличить сторону квадрата в 2 раза, площадь и масса вырастут в 4 раза. Если увеличить ребро куба в 2 раза, объём и масса вырастут в 8 раз.

То есть масса растёт как 2ᵈ, где d — размерность фигуры:

1D: 2¹ = 2
2D: 2² = 4
3D: 2³ = 8

А у треугольника Серпинского получилось 2ᵈ = 3.
Значит, d = log₂3 ≈ 1,585.

Это и есть нецелая размерность.

Об этом и других свойствах фракталов будут подробно рассказывать наши друзья на фестивале «Фрактальная Одиссея» 23 мая в Москве. Там можно будет узнать много интересного о фракталах, самоподобии и симметрии в науке и искусстве.

Коллеги также собрали «Галерею самоподобных форм» — выставку из девяти фрактальных фигур, расположенных в порядке их открытия, от множества Кантора до папоротника Барнсли.

Уверены, что событие будет очень эффектным и содержательным. Приходите ❤️

#рекомендуем

Завершаем средневековую серию постов красивой задачей из Арифметики Тревизо:

🔸Условие (оригинальное, прямо из книги): у купца есть 46 марок и 7 унций серебра, сплавленного в соотношении 7 унций и 1/4 на марку. Он хочет отчеканить его так, чтобы оно содержало 3 унции и 1/2 чистого серебра на марку.

🔸Вопрос: определите количество серебра в смеси и сколько латуни он должен добавить.

⠀
*️⃣Подсказка
⠀
Марка — это мера веса драгоценного металла, распространённая в средневековой Европе. Интересно, что слово «марка» тоже связано с идеей «меры» или «стандарта». От весовой марки произошла, например, немецкая марка.

В задачах из Арифметики Тревизо обычно речь идёт либо о весе серебра, либо о сплаве целиком. В данном случае 46 марок и 7 унций — это общий вес имеющегося сплава, содержащего примесь, из расчёта 7 ¼ унции чистого серебра на марку.

Под примесью неблагородного металла в драгоценном сплаве, скорее всего, по умолчанию подразумевается медь в значении лигатуры, но это в условии не уточняется. В решении всплывает слово «медь», хотя на тот момент этим словом часто могли обобщённо называть любой неблагородный металл, который добавляли к серебру или золоту для прочности или удешевления.

Стоит учитывать, что ответы в подобных задачах раскладывали в соответствующей весовой системе мер:

1 марка = 8 унций,
1 унция = 4 кварты,
1 кварта = 36 карат.

Верим в вас и желаем удачи, дорогие будущие купцы. Ждём ваши ответы в коментах под спойлером.

#задача

Описали ещё две важные исторические темы, которые затрагивает вчерашняя задача. Всё-таки надеемся, что найдутся смельчаки, которые попробуют решить её 👀

⠀
Правило трёх
⠀
Это простая пропорция, в которой даны три величины и требуется найти четвёртую. Сегодня такая задача может показаться тривиальной, но до появления формальных обозначений её решение представляло значительные трудности.

Правило трёх очень древнее и восходит к задачам в папирусе Ахмеса и китайском трактате «Математика в девяти книгах». Оно встречается у легендарного индийского математика Брахмагупты под названием trairāśika и формулируется так:

⏩️️В правиле трёх «аргумент», «результат» и «требуемое» — это названия членов. Первый и последний члены должны быть однородны. Требуемое, умноженное на результат и делённое на аргумент, даёт искомое⏪️️

Когда правило появилось в Европе, индийское название было переведено буквально, но восточные термины не сохранились. В Тревизской арифметике оно называется La regula de le tre cose — «правило трёх вещей». Лука Пачоли в своей знаменитой «Сумме арифметики» использовал как итальянское, так и латинское название: la regola del 3 и regula trium rerum. Немецкие авторы переняли итальянское название.

Существовали и другие названия, отражающие происхождение и значение правила: «правило купцов» и «золотое правило». Из Южной Европы правило распространилось во Францию и Англию. Там о нём говорили:

⏩️️Правило трёх обычно называют золотым правилом, и действительно, его можно так назвать: как золото превосходит все другие металлы, так и это правило превосходит все прочие в арифметике⏪️️

Его полезность и универсальность вызывали восхищение у математиков раннего Возрождения. Клавий утверждал, что его невозможно перехвалить. Ван дер Шуэре посвятил ему пятую часть своей книги, а Кардиналь — около 40%. Пожалуй, лучше всего отношение к нему выразил Бейкер:

⏩️️Правило трёх — главное, самое полезное и самое превосходное из всех правил арифметики. Все остальные правила нуждаются в нём, и оно превосходит их все⏪️️

При этом правило излагалось без математического обоснования: практикующих счётчиков интересовали не теоретические объяснения, а скорость и точность вычислений. Это была просто процедура, которую нужно запомнить и применять.

⠀

Аллегация

⠀
Эта тема впервые появляется в арифметических книгах XV века в связи с металлургией. Само слово происходит от латинских

ad

(«к») и

ligare

(«связывать») и буквально означает «смешивать». Слово

alloy

(«сплав») имеет тот же корень.

По мере того как металлургия оформлялась как наука, вопросы количественного описания смесей переходили из трактатов алхимиков в книги счётных мастеров.

При отсутствии централизованного контроля за чеканкой стандарты сильно различались. Знание состава сплавов драгоценных металлов было жизненно важно для торговли, поскольку стоимость денег определялась не номиналом, а содержанием драгоценного металла.

На протяжении XVI века главы об аллегации в арифметических книгах были особенно предназначены для немецких мастеров монетных дворов или итальянских ювелиров. Позднее область применения расширилась и стала включать задачи о смесях вообще. Например,

Роберт Рекорд

замечает:

⏩️

️Это имеет большое применение в составлении лекарств, а также в смешении металлов, и некоторое применение — в смешении вин; но я хотел бы, чтобы последнее применялось реже, чем это происходит ныне

⏪️

️

К 1568 году, например, у Бейкера уже можно найти около 48 страниц, посвящённых различным применениям аллегации.

#история