Почему-то мы испытываем особый трепет перед задачами про Землю.

Взять даже ту, про точки на планете. Хоть она и сводилась к простой вероятности, описывать её решение было приятно — мысленное путешествие и всё такое...

В сегодняшней задаче будет меньше мечтаний и больше вычислений:

🔸Условие: с высоты последнего этажа 500-метрового небоскрёба, стоящего на берегу моря, вы наблюдаете за лодками, яхтами и большими кораблями, курсирующими в заливе. С такой высоты уже становится немного заметна кривизна Земли.

🔸Вопрос: какой высоты должна быть мачта с парусами у парусного судна, которое находится на расстоянии примерно 100 километров от основания небоскрёба по глади моря, чтобы вы смогли увидеть хотя бы самый верхний её кончик?

🔸Подсказка: радиус Земли — 6380 км.

Ищите высоту и голосуйте в опросе ниже за правильный вариант ответа. Завтра выложим решение.

#задача

Вчерашняя задача сводится к расчёту касательной к окружности (Земле), соединяющей две точки над поверхностью:

▶️вершину небоскрёба (h₁)
▶️вершину мачты (h₂)

Луч зрения касается поверхности Земли в некоторой промежуточной точке.
⠀

⠀
1️⃣Используем формулу дальности прямой видимости
⠀
Её можно вывести из теоремы Пифагора, пренебрегая квадратом высоты здания по сравнению с квадратом радиуса Земли:

d = √(2Rh₁) + √(2Rh₂)

где:
d — суммарная дальность видимости (км)
R — радиус Земли (км)
h₁, h₂ — высоты наблюдателя и объекта (км)

Из-за малости высот по сравнению с радиусом Земли расстояние по дуге окружности можно считать равным расстоянию по касательной от вершины небоскрёба до вершины мачты парусника.

⠀

2️⃣

Выразим h₂ и подставим числовые значения

⠀
h₂ = (d − √(2R h₁))² / (2R)

Вычислим дальность видимости с небоскрёба:
√(2Rh₁) = √(2⋅6380⋅0,5) = √6380 ≈ 79,87 км

Найдём разность:
d − √(2Rh₁) = 100 − 79,87 = 20,13 км

Возведём в квадрат:
(20,13)² ≈ 405,2169

Вычислим h₂:
h₂ = 405,2169 / (2⋅6380) ≈ 0,03176 км =

31,76 м

⠀

3️⃣

Проверим согласованность расчётов

⠀
При h₂ = 31,76 м и h₁ = 500 м расстояние действительно равно 100 км:

d = √(2⋅6380⋅0,5) + √(2⋅6380⋅0,03176) ≈ 79,87 + 20,13 = 100 км

Надеемся, понятно объяснили. Если получили правильный ответ, оставляйте сердечко методисту Нелли из Яндекс Лицея за задачку. Если что-то осталось неясно, приходите в комментарии разбираться ❤️

#задача

Задача дня (решается в один шаг) ⬆️

🔸Условие: в прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вписана окружность.

🔸Вопрос: какова площадь этой окружности?

Подсказок давать не будем. Тех, кто сразу догадался, о чём тут речь, просим скрывать ответы в комментариях под спойлером.

#задача

Несём решение вчерашней задачи...

Первым делом напомним, что прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 — это знаменитый египетский треугольник, гипотенуза которого равна 5 (и да, это можно легко проверить с помощью теоремы Пифагора).

1️⃣Найдём радиус вписанной окружности r.

Как известно, для любого треугольника S = p⋅r, где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.

Площадь S = ½ ⋅ 3 ⋅ 4 = 6 см². Полупериметр p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см. Таким образом, r = 6 / 6 = 1 см.

2️⃣ Площадь круга равна π⋅r² = π⋅1² = π см².

На самом деле этот факт широко известен и действительно достоин удивления. Посудите сами: сторонами треугольника является пифагорова тройка 3-4-5 — целые числа. Площадь треугольника, полупериметр и даже сам радиус вписанной окружности — тоже целые числа. А площадь круга в итоге выражает число π в чистом виде.

Можно сказать, что это просто совпадение, но тем не менее самый известный целочисленный треугольник содержит вписанную окружность, площадь которой в точности равна π.

Нас такие совпадения завораживают! Если вас тоже, то возвращайтесь к нашим недавним постам про π. Нам кажется, что они собрали незаслуженно мало реакций➗🔄

▶️про π в искусстве
▶️про нормальность и иррациональность π

#задача

Слышали когда-нибудь о «генетической памяти» мёда?

Эти ребята точно да. Убедились сами — убедили нас (или нет?) ⬇️

Рубрика «разоблачение мифов», или минутка псевдонаучных фактов 👀

Да, это мы про вчерашнее видео!

Герои проводят эксперимент чтобы убедиться, что мёд образует узор пчелиных сот в воде якобы из-за памяти. Мол, так можно проверить мёд — действительно ли он от пчёл и натуральный.

На самом деле мёд, конечно же, ничего не помнит. Он просто вязкий — густой и липкий. Когда у вас есть тяжёлая вязкая жидкость, такая как мёд, под более лёгкой, как вода, и вы двигаете их туда-сюда, на границе между ними возникают крошечные гребни и впадины — там, где жидкости скользят друг относительно друга.

▶️Но почему появляются именно шестиугольники?

Если толкать воду в одном направлении, получатся полосы — как волны на пляже. Если в двух направлениях — получатся квадраты. Но если двигать жидкость хаотично во все стороны, то узор с наибольшей симметрией и наименьшей энергией — это шестиугольник.

Мёд вязкий — он течёт медленно. Поэтому слой мёда, соприкасающийся с тарелкой, движется с той же скоростью, что и сама тарелка. Но слой чуть выше движется немного медленнее, а самый верхний слой реагирует на движение ещё медленнее.

Кроме того, у мёда заметное поверхностное натяжение — он «любит» прилипать к самому себе и собираться в капли. Поэтому, когда масса мёда начинает двигаться в каком-то направлении, а потом останавливается, происходит своего рода «столкновение потоков», и образуются небольшие бугорки. Чем выше поверхностное натяжение, тем более выражены эти «пики».

▶️А как же круги? Ведь у них минимальная энергия!
Круги нельзя уложить вплотную без зазоров. А шестиугольники — это, по сути, максимально близкая к кругам форма, которая среди всех фигур, которыми можно без зазоров замостить плоскость, даёт наименьший периметр при заданной площади — то есть минимальную длину границ между ячейками, а значит, и минимальную поверхностную энергию всей системы.

Когда две жидкости соприкасаются, их молекулы на границе находятся в менее выгодном энергетическом состоянии, чем молекулы внутри. Система стремится минимизировать площадь этой границы.

Такое замощение пространства регулярно встречается в природе в силу своих оптимизационных преимуществ. По этой же причине пчёлы строят соты шестиугольными — это оптимальная форма с точки зрения расхода воска.

Из этого совпадения и возник миф. Никакой «памяти формы» на самом деле нет. Но есть более интересная идея: одни и те же математические структуры возникают в совершенно разных системах, потому что они оптимальны.

Рассказать об этом подробнее?

🍓 — да, жду продолжения
🙊 — не согласен с постом! Мёд если есть... то его сразу нет!

#как_устроено

Физика, экономика, компьютерная графика и ML уходят корнями в линейную алгебру — фундаментальный раздел математики, без которого обрабатывать многомерные данные было бы невозможно.

Освоить линейную природу математических объектов теперь можно самостоятельно. Яндекс Лицей запустил бесплатный курс!

⏩️Линейная алгебра: шаг за шагом⏪️

Курс разбит на четыре левела: от линейных уравнений и векторов до матричных преобразований. Это база для ML, компьютерной графики и рекомендаций.

▶️Курс самостоятельный, но вопросы можно задавать методистам через LMS.

▶️Начать можно в любой момент. Дедлайнов нет, но есть опция отслеживания прогресса.

▶️Левелы открываются по очереди. В конце вы получаете сертификат.

Регистрируйтесь по ссылке и делитесь опытом в комментах, если уже проходили курсы от наших коллег из Лицея. Как вам?

#рекомендуем

Сегодня большой день не только для российской космонавтики. Математикам всего мира тоже есть что отмечать…

День рождения Андрея Николаевича Колмогорова 🔥

Поздравляем с обоими праздниками и дарим подарок — небольшую историю про учёного, изменившего наше представление о теории вероятностей.

В начале XX века она выглядела странной областью: её уже вовсю использовали в физике и статистике, но концептуально она оставалась шаткой. Что такое вероятность: аналог частоты или классификатор степени уверенности? Дискуссии разделили математиков на два лагеря: ярых сторонников понятия и его активных противников.

Ответ, который сегодня кажется очевидным, появился в 1933 году, когда Колмогоров опубликовал книгу «Основные понятия теории вероятностей». В ней он полностью отвязал вероятность от интуиции и построил её как раздел теории меры.

На протяжении 20 лет Колмогоров почти каждые два года совершал крупные открытия. Одно из них даже связано с именем Альберта Эйнштейна.

В 1905 году Эйнштейн написал четыре работы, заложившие основы всей физики XX века. Среди них была работа про броуновское движение — случайный процесс. Андрей Николаевич одним из первых дал ясное описание того, что такое «случайный процесс».

Суть идеи проста и глубока. Есть пространство элементарных исходов Ω, есть так называемая σ-алгебра событий, и есть мера P, обладающая тремя свойствами, с которых началась современная теория вероятностей:

🔸неотрицательность
🔸нормировка: P(Ω) = 1
🔸σ-аддитивность

Но сегодня мы поговорим о чуть менее известной стороне Колмогорова — его интересе к гуманитарным наукам. Открывайте цитаты:
⠀

⠀
▶️Увлечение историей России
⠀
Уже в 17-18 лет наш герой провёл исследование земельных отношений в Новгородской земле. Результаты долгое время не публиковали — по словам одного из критиков, «в исторической науке каждый вывод должен быть обоснован несколькими доказательствами».

Тогда Колмогоров решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства. Так история навсегда потеряла гениального исследователя, а математика приобрела его. Кстати, рукопись его исследования издали в 1994 году.

⠀

▶️

Анализ русской поэзии

⠀
Можно ли описать поэзию количественно, формализовать ритм, структуру, вариативность? В своё время Марков подступился с подобными вопросами к «Евгению Онегину». Его последователем можно смело назвать Колмогорова.

В 1960 году он начал читать на мехмате МГУ спецсеминар и выступать с лекциями на эту тему в Доме литераторов и Политехническом музее. Параллельно публиковались несколько больших статей, которые задумывались как части

книги

по

стиховедческому анализу

. Но Колмогоров так и не успел её выпустить.

Кстати, именно Колмогоров дал формальное описание падежа, которое вошло в стандарты лингвистики. Приводить его, в силу сложности, не решимся…

⠀

▶️

Школа и учебники

⠀
Если бы Колмогоров сделал только аксиоматику вероятности, его имя уже было бы в истории. Но он сделал гораздо больше — он создал школу. Причём в двух смыслах.

Во-первых, научную, из которой вышли десятки выдающихся математиков. Его семинар стал средой, где формировался стиль мышления: строгость, ясность, уважение к структуре.

Во-вторых, буквальную. Он открыл сеть физмат-интернатов при МГУ и других ведущих университетах СССР. Сегодня эти школы называются СУНЦ.

Колмогоров также участвовал в реформе школьного математического образования. Он был одним из авторов учебников и программ, которые пытались приблизить школьную математику к современной. Это была попытка научить школьников не только считать, но и понимать предмет.

Таким был Колмогоров со своим стремлением к предельной строгости и, казалось бы, неожиданным интересом к творческим наукам.

Отметить день рождения Колмогорова и День космонавтики заодно — 🏆

#история

Математики всех стран, объединяйтесь!

Открыт новый набор в ШАД ⚡️

В этом году легендарная школа запускает сразу несколько направлений:

🔸Разработка машинного обучения
🔸Data Science
🔸Инфраструктура больших данных
🔸Анализ данных и ИИ в прикладных науках
🔸ИИ в естественно-научных исследованиях

Поступить на каждое из этих направлений можно через подходящий трек:

▶️

классический — для студентов старших курсов, выпускников технических вузов и СПО

▶️

альтернативный — для разработчиков и аналитиков с высшим образованием и опытом работы от 3 лет, а также выпускников аспирантуры

▶️

ИИ в естественно-научных исследованиях — для студентов последних курсов, магистрантов, аспирантов и исследователей

Поступление непростое, но оно точно того стоит! Набор открыт до до 3 мая включительно.

⠀⠀⏩️ ПОДАТЬ ЗАЯВКУ ⏪️

Все подробности и новости ищите на сайте и в канале «Все в ШАД».

#рекомендуем

Как обозначалась идея до изобретения лампочки 🤯

Можем лишь предположить, что до XX века у людей не было особой потребности в таком символизме. Зато у нас есть — ведь сегодня к нам пришла отличная идея: почему бы не решить задачу про лампочки?

🔸Условие: в комнате 100 лампочек, пронумерованных от 1 до 100, все выключены. Заходят 100 человек. Первый включает все лампочки. Второй переключает каждую вторую (2, 4, 6...). Третий переключает каждую третью (3, 6, 9...), и так далее.

🔸Вопрос: сколько лампочек останется включёнными после того, как выйдет сотый человек?

Голосуйте за правильный ответ в опросе ниже и пишите в комментариях свои рассуждения.

#задача

Сразу начнём с ответа:

⏩️ 10 лампочек ⏪️

Решение вчерашней задачи основано на простой, но важной мысли: каждая лампочка переключается столько раз, сколько у её номера делителей.

Например, лампочка под номером 6 переключается при проходах 1-го, 2-го, 3-го и 6-го человека, то есть всего 4 раза. Так как это число чётное, в итоге (после выхода 100-го человека) лампочка будет выключена.

А лампочка под номером 9 — при 1-м, 3-м и 9-м, то есть 3 раза. Число нечётное, значит, в итоге лампочка останется включённой.

Тем самым ключевое наблюдение: если у числа чётное число делителей, лампочка выключится, а если нечётное — останется включённой.

Обычно делители числа разбиваются на пары: если d — делитель числа n, то n/d — тоже делитель.

Например, вот 3 пары для всех 6 делителей числа 12: (1, 12), (2, 6), (3, 4). Понятно, что если все делители разбились на пары, значит, их число чётное.

Но когда же у числа нечётное число делителей❓

Есть только одно исключение из общего правила — это полные квадраты.

Рассмотрим, например, число 36. Его пары делителей — это (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6). Но, как мы видим, последняя пара на самом деле состоит из одного и того же числа. Всё дело в том, что если число n — полный квадрат, то для делителя d = √n значение n/d также равно √n.

Таким образом, он не образует пару с другим числом, а остаётся «одиночкой». Так и получается, что у полных квадратов, и только у них, нечётное количество делителей.

Следовательно, включёнными останутся именно те лампочки, номера которых являются полными квадратами, а это 10 лампочек с номерами 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

*️⃣Отдельное спасибо говорим нашему подписчику @kevlarius. Он предложил решение с помощью программирования. Получилось очень наглядно: звездочка — горящая лампочка, точка — выключенная, на исходном шаге — все звездочки, а на финальном — только 10 штук.

class Lamp:
    def __init__(self, state=False):
        self.state = state

    def switch_state(self):
        self.state = not self.state


if __name__ == '__main__':
    lamps = [Lamp() for _ in range(100)]
    step = 1
    for p in range(100):
        index = (step - 1)
        while index < len(lamps):
            lamps[index].switch_state()
            index = index + step
        step += 1
        lamps_str = "".join(("*" if lamp.state else ".") for lamp in lamps)
        print(f"{p + 1:3}:   {lamps_str}")

#задача

Такая загадочная...

⠀⠀⠀🔸ТОЧКА ФЕЙНМАНА🔸

Так называют последовательность из шести девяток, начинающуюся с 762-го знака после запятой в десятичной записи числа 𝜋.

Она названа в честь американского физика Ричарда Фейнмана, который в шутку заявил, что хотел бы запомнить цифры числа 𝜋 до этой позиции, чтобы заканчивать рассказ словами: «девять, девять, девять, девять, девять, девять и так далее», как бы предполагая, что значение 𝜋 рационально.

Особенность этой последовательности из шести девяток в том, что она появляется настолько рано. Для случайно выбранной последовательности цифр вероятность встретить шесть девяток подряд где-то среди первых 762 цифр равна приблизительно 0,08%.

⠀
⠀Случайно ли это❓
⠀
Это может быть математическим совпадением, но бывают ситуации, когда существует полноценное объяснение.

Следующая последовательность из шести одинаковых цифр подряд появляется лишь гораздо позже, хотя всё равно «слишком рано» с точки зрения вероятности — на позиции 193 034.

Примечательно, что это снова серия девяток. На позиции 222 299 можно найти шесть восьмёрок. Ноль повторяется шесть раз на позиции 1 699 927. Последовательность «12345678» встречается уже на позиции 186 557 266. Последовательность цифр «141592», которая находится сразу после запятой, повторяется на позиции 821 582. Последовательность «123456789» можно встретить только на позиции 523 551 502.

▶️Точкой Фейнмана также называют первое появление последовательности из четырёх или пяти одинаковых цифр. Например, для цифры 7 — это позиция 1589 в числе 𝜋, где семёрка впервые повторяется четыре раза подряд.

▶️Точка Фейнмана для основания натуральных логарифмов числа e встречается на значительно более удалённой позиции (384 340), при этом последовательность включает сразу восемь идущих подряд девяток.

▶️Первая нулевая цифра в 𝜋 появляется только на 32-й позиции, то есть гораздо позже, чем можно было бы ожидать.

Эти свойства числа 𝜋 облегчили задачу так называемым «поэтам 𝜋», которые придумывают мнемонические тексты для запоминания цифр: в таких текстах каждое слово содержит столько букв, сколько соответствует соответствующей цифре. Ноль, разумеется, по определению обрывал бы такую последовательность. Один из стихов звучит так:

🔄May I have a large container of coffee? Cream and sugar?🔄

Любители чисел также ищут в 𝜋 так называемые «самоссылочные позиции», в которых последовательность цифр совпадает с номером позиции.

А теперь наше любимое 👀

В 𝜋 любят искать телефонные номера или другие личные числа. Теоретически там можно найти любую последовательность — включая, если закодировать числами, любой текст: и этот пост, и Библию на всех языках, и музыкальное произведение, переведённое в цифровой формат.

Но найти такие последовательности кажется маловероятным.
И вот почему...
⠀
Библия, содержащая примерно 10⁷ символов в числовом коде, вряд ли встречается среди первых «нескольких» цифр 𝜋. Чтобы её обнаружить, нужно было бы иметь около 10^(10⁷) цифр, тогда как на практике вычислено лишь немного больше 10¹⁰ знаков.

По теоретическим причинам вычислить 𝜋 до такого количества знаков практически невозможно. Человеческая ДНК содержит примерно 3,6 миллиарда «цифр» информации, а Вселенная — около 10⁷⁹ элементарных частиц.

Даже если превратить всю Вселенную в суперкомпьютер, она смогла бы хранить лишь около 10⁷⁶ десятичных знаков — что намного меньше, чем упомянутые 10^(10⁷) цифр, необходимые для поиска Библии.

Тем не менее возможно, что отдельные позиции по эту сторону этого предела всё же можно вычислить.

Пробовали отыскать свою дату рождения в числе 𝜋, признавайтесь?

🗿 — искал, но нашёл только адрес
👀 — а натальная карта там тоже есть?

#как_устроено