Откуда берутся гендерные стереотипы?

Иногда — из неправильных статистических выводов. Мы уже затрагивали тему обманчивости статистики. Но нашли ещё несколько интересных кейсов:

▶️Исторический пример:

В 1970-х выяснилось, что в аспирантуру Беркли принимают 44% мужчин и лишь 35% женщин. На первый взгляд это выглядит как гендерная несправедливость.

Но при разборе по факультетам оказалось, что женщины просто чаще подавали документы на более конкурентные направления.

▶️Явление встречается и в медицине:

Допустим, препарат A показывает лучшую общую эффективность, чем B. Но если разделить пациентов по полу, выясняется обратное: B работает лучше и для мужчин, и для женщин.

Причина — в составе групп: в первой было больше женщин, которые в среднем лучше реагируют на лечение.

▶️Или вот ещё простой пример с котиками:

Представьте график, где по одной оси количество проблем, по другой — уровень счастья. Чем меньше проблем, тем выше счастье — это верно и для выборки людей, и для выборки котов по отдельности.

Но если объединить их в одну выборку, получается обратное: будто больше проблем приносят больше счастья. Но тут всё просто: люди и коты — разные группы, и их нельзя смешивать.

Это классический парадокс Симпсона — статистический феномен, при котором агрегированные данные могут лгать, даже если все числа верны.

#как_устроено

На английском, конечно, эта шутка звучала бы понятнее. Зато как идеально вписывается в наши реалии 👀

#меммат

Почему-то мы испытываем особый трепет перед задачами про Землю.

Взять даже ту, про точки на планете. Хоть она и сводилась к простой вероятности, описывать её решение было приятно — мысленное путешествие и всё такое...

В сегодняшней задаче будет меньше мечтаний и больше вычислений:

🔸Условие: с высоты последнего этажа 500-метрового небоскрёба, стоящего на берегу моря, вы наблюдаете за лодками, яхтами и большими кораблями, курсирующими в заливе. С такой высоты уже становится немного заметна кривизна Земли.

🔸Вопрос: какой высоты должна быть мачта с парусами у парусного судна, которое находится на расстоянии примерно 100 километров от основания небоскрёба по глади моря, чтобы вы смогли увидеть хотя бы самый верхний её кончик?

🔸Подсказка: радиус Земли — 6380 км.

Ищите высоту и голосуйте в опросе ниже за правильный вариант ответа. Завтра выложим решение.

#задача

Вчерашняя задача сводится к расчёту касательной к окружности (Земле), соединяющей две точки над поверхностью:

▶️вершину небоскрёба (h₁)
▶️вершину мачты (h₂)

Луч зрения касается поверхности Земли в некоторой промежуточной точке.
⠀

⠀
1️⃣Используем формулу дальности прямой видимости
⠀
Её можно вывести из теоремы Пифагора, пренебрегая квадратом высоты здания по сравнению с квадратом радиуса Земли:

d = √(2Rh₁) + √(2Rh₂)

где:
d — суммарная дальность видимости (км)
R — радиус Земли (км)
h₁, h₂ — высоты наблюдателя и объекта (км)

Из-за малости высот по сравнению с радиусом Земли расстояние по дуге окружности можно считать равным расстоянию по касательной от вершины небоскрёба до вершины мачты парусника.

⠀

2️⃣

Выразим h₂ и подставим числовые значения

⠀
h₂ = (d − √(2R h₁))² / (2R)

Вычислим дальность видимости с небоскрёба:
√(2Rh₁) = √(2⋅6380⋅0,5) = √6380 ≈ 79,87 км

Найдём разность:
d − √(2Rh₁) = 100 − 79,87 = 20,13 км

Возведём в квадрат:
(20,13)² ≈ 405,2169

Вычислим h₂:
h₂ = 405,2169 / (2⋅6380) ≈ 0,03176 км =

31,76 м

⠀

3️⃣

Проверим согласованность расчётов

⠀
При h₂ = 31,76 м и h₁ = 500 м расстояние действительно равно 100 км:

d = √(2⋅6380⋅0,5) + √(2⋅6380⋅0,03176) ≈ 79,87 + 20,13 = 100 км

Надеемся, понятно объяснили. Если получили правильный ответ, оставляйте сердечко методисту Нелли из Яндекс Лицея за задачку. Если что-то осталось неясно, приходите в комментарии разбираться ❤️

#задача

Задача дня (решается в один шаг) ⬆️

🔸Условие: в прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вписана окружность.

🔸Вопрос: какова площадь этой окружности?

Подсказок давать не будем. Тех, кто сразу догадался, о чём тут речь, просим скрывать ответы в комментариях под спойлером.

#задача

Несём решение вчерашней задачи...

Первым делом напомним, что прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 — это знаменитый египетский треугольник, гипотенуза которого равна 5 (и да, это можно легко проверить с помощью теоремы Пифагора).

1️⃣Найдём радиус вписанной окружности r.

Как известно, для любого треугольника S = p⋅r, где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.

Площадь S = ½ ⋅ 3 ⋅ 4 = 6 см². Полупериметр p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см. Таким образом, r = 6 / 6 = 1 см.

2️⃣ Площадь круга равна π⋅r² = π⋅1² = π см².

На самом деле этот факт широко известен и действительно достоин удивления. Посудите сами: сторонами треугольника является пифагорова тройка 3-4-5 — целые числа. Площадь треугольника, полупериметр и даже сам радиус вписанной окружности — тоже целые числа. А площадь круга в итоге выражает число π в чистом виде.

Можно сказать, что это просто совпадение, но тем не менее самый известный целочисленный треугольник содержит вписанную окружность, площадь которой в точности равна π.

Нас такие совпадения завораживают! Если вас тоже, то возвращайтесь к нашим недавним постам про π. Нам кажется, что они собрали незаслуженно мало реакций➗🔄

▶️про π в искусстве
▶️про нормальность и иррациональность π

#задача

Слышали когда-нибудь о «генетической памяти» мёда?

Эти ребята точно да. Убедились сами — убедили нас (или нет?) ⬇️

Рубрика «разоблачение мифов», или минутка псевдонаучных фактов 👀

Да, это мы про вчерашнее видео!

Герои проводят эксперимент чтобы убедиться, что мёд образует узор пчелиных сот в воде якобы из-за памяти. Мол, так можно проверить мёд — действительно ли он от пчёл и натуральный.

На самом деле мёд, конечно же, ничего не помнит. Он просто вязкий — густой и липкий. Когда у вас есть тяжёлая вязкая жидкость, такая как мёд, под более лёгкой, как вода, и вы двигаете их туда-сюда, на границе между ними возникают крошечные гребни и впадины — там, где жидкости скользят друг относительно друга.

▶️Но почему появляются именно шестиугольники?

Если толкать воду в одном направлении, получатся полосы — как волны на пляже. Если в двух направлениях — получатся квадраты. Но если двигать жидкость хаотично во все стороны, то узор с наибольшей симметрией и наименьшей энергией — это шестиугольник.

Мёд вязкий — он течёт медленно. Поэтому слой мёда, соприкасающийся с тарелкой, движется с той же скоростью, что и сама тарелка. Но слой чуть выше движется немного медленнее, а самый верхний слой реагирует на движение ещё медленнее.

Кроме того, у мёда заметное поверхностное натяжение — он «любит» прилипать к самому себе и собираться в капли. Поэтому, когда масса мёда начинает двигаться в каком-то направлении, а потом останавливается, происходит своего рода «столкновение потоков», и образуются небольшие бугорки. Чем выше поверхностное натяжение, тем более выражены эти «пики».

▶️А как же круги? Ведь у них минимальная энергия!
Круги нельзя уложить вплотную без зазоров. А шестиугольники — это, по сути, максимально близкая к кругам форма, которая среди всех фигур, которыми можно без зазоров замостить плоскость, даёт наименьший периметр при заданной площади — то есть минимальную длину границ между ячейками, а значит, и минимальную поверхностную энергию всей системы.

Когда две жидкости соприкасаются, их молекулы на границе находятся в менее выгодном энергетическом состоянии, чем молекулы внутри. Система стремится минимизировать площадь этой границы.

Такое замощение пространства регулярно встречается в природе в силу своих оптимизационных преимуществ. По этой же причине пчёлы строят соты шестиугольными — это оптимальная форма с точки зрения расхода воска.

Из этого совпадения и возник миф. Никакой «памяти формы» на самом деле нет. Но есть более интересная идея: одни и те же математические структуры возникают в совершенно разных системах, потому что они оптимальны.

Рассказать об этом подробнее?

🍓 — да, жду продолжения
🙊 — не согласен с постом! Мёд если есть... то его сразу нет!

#как_устроено

Физика, экономика, компьютерная графика и ML уходят корнями в линейную алгебру — фундаментальный раздел математики, без которого обрабатывать многомерные данные было бы невозможно.

Освоить линейную природу математических объектов теперь можно самостоятельно. Яндекс Лицей запустил бесплатный курс!

⏩️Линейная алгебра: шаг за шагом⏪️

Курс разбит на четыре левела: от линейных уравнений и векторов до матричных преобразований. Это база для ML, компьютерной графики и рекомендаций.

▶️Курс самостоятельный, но вопросы можно задавать методистам через LMS.

▶️Начать можно в любой момент. Дедлайнов нет, но есть опция отслеживания прогресса.

▶️Левелы открываются по очереди. В конце вы получаете сертификат.

Регистрируйтесь по ссылке и делитесь опытом в комментах, если уже проходили курсы от наших коллег из Лицея. Как вам?

#рекомендуем

Сегодня большой день не только для российской космонавтики. Математикам всего мира тоже есть что отмечать…

День рождения Андрея Николаевича Колмогорова 🔥

Поздравляем с обоими праздниками и дарим подарок — небольшую историю про учёного, изменившего наше представление о теории вероятностей.

В начале XX века она выглядела странной областью: её уже вовсю использовали в физике и статистике, но концептуально она оставалась шаткой. Что такое вероятность: аналог частоты или классификатор степени уверенности? Дискуссии разделили математиков на два лагеря: ярых сторонников понятия и его активных противников.

Ответ, который сегодня кажется очевидным, появился в 1933 году, когда Колмогоров опубликовал книгу «Основные понятия теории вероятностей». В ней он полностью отвязал вероятность от интуиции и построил её как раздел теории меры.

На протяжении 20 лет Колмогоров почти каждые два года совершал крупные открытия. Одно из них даже связано с именем Альберта Эйнштейна.

В 1905 году Эйнштейн написал четыре работы, заложившие основы всей физики XX века. Среди них была работа про броуновское движение — случайный процесс. Андрей Николаевич одним из первых дал ясное описание того, что такое «случайный процесс».

Суть идеи проста и глубока. Есть пространство элементарных исходов Ω, есть так называемая σ-алгебра событий, и есть мера P, обладающая тремя свойствами, с которых началась современная теория вероятностей:

🔸неотрицательность
🔸нормировка: P(Ω) = 1
🔸σ-аддитивность

Но сегодня мы поговорим о чуть менее известной стороне Колмогорова — его интересе к гуманитарным наукам. Открывайте цитаты:
⠀

⠀
▶️Увлечение историей России
⠀
Уже в 17-18 лет наш герой провёл исследование земельных отношений в Новгородской земле. Результаты долгое время не публиковали — по словам одного из критиков, «в исторической науке каждый вывод должен быть обоснован несколькими доказательствами».

Тогда Колмогоров решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства. Так история навсегда потеряла гениального исследователя, а математика приобрела его. Кстати, рукопись его исследования издали в 1994 году.

⠀

▶️

Анализ русской поэзии

⠀
Можно ли описать поэзию количественно, формализовать ритм, структуру, вариативность? В своё время Марков подступился с подобными вопросами к «Евгению Онегину». Его последователем можно смело назвать Колмогорова.

В 1960 году он начал читать на мехмате МГУ спецсеминар и выступать с лекциями на эту тему в Доме литераторов и Политехническом музее. Параллельно публиковались несколько больших статей, которые задумывались как части

книги

по

стиховедческому анализу

. Но Колмогоров так и не успел её выпустить.

Кстати, именно Колмогоров дал формальное описание падежа, которое вошло в стандарты лингвистики. Приводить его, в силу сложности, не решимся…

⠀

▶️

Школа и учебники

⠀
Если бы Колмогоров сделал только аксиоматику вероятности, его имя уже было бы в истории. Но он сделал гораздо больше — он создал школу. Причём в двух смыслах.

Во-первых, научную, из которой вышли десятки выдающихся математиков. Его семинар стал средой, где формировался стиль мышления: строгость, ясность, уважение к структуре.

Во-вторых, буквальную. Он открыл сеть физмат-интернатов при МГУ и других ведущих университетах СССР. Сегодня эти школы называются СУНЦ.

Колмогоров также участвовал в реформе школьного математического образования. Он был одним из авторов учебников и программ, которые пытались приблизить школьную математику к современной. Это была попытка научить школьников не только считать, но и понимать предмет.

Таким был Колмогоров со своим стремлением к предельной строгости и, казалось бы, неожиданным интересом к творческим наукам.

Отметить день рождения Колмогорова и День космонавтики заодно — 🏆

#история

Математики всех стран, объединяйтесь!

Открыт новый набор в ШАД ⚡️

В этом году легендарная школа запускает сразу несколько направлений:

🔸Разработка машинного обучения
🔸Data Science
🔸Инфраструктура больших данных
🔸Анализ данных и ИИ в прикладных науках
🔸ИИ в естественно-научных исследованиях

Поступить на каждое из этих направлений можно через подходящий трек:

▶️

классический — для студентов старших курсов, выпускников технических вузов и СПО

▶️

альтернативный — для разработчиков и аналитиков с высшим образованием и опытом работы от 3 лет, а также выпускников аспирантуры

▶️

ИИ в естественно-научных исследованиях — для студентов последних курсов, магистрантов, аспирантов и исследователей

Поступление непростое, но оно точно того стоит! Набор открыт до до 3 мая включительно.

⠀⠀⏩️ ПОДАТЬ ЗАЯВКУ ⏪️

Все подробности и новости ищите на сайте и в канале «Все в ШАД».

#рекомендуем

Как обозначалась идея до изобретения лампочки 🤯

Можем лишь предположить, что до XX века у людей не было особой потребности в таком символизме. Зато у нас есть — ведь сегодня к нам пришла отличная идея: почему бы не решить задачу про лампочки?

🔸Условие: в комнате 100 лампочек, пронумерованных от 1 до 100, все выключены. Заходят 100 человек. Первый включает все лампочки. Второй переключает каждую вторую (2, 4, 6...). Третий переключает каждую третью (3, 6, 9...), и так далее.

🔸Вопрос: сколько лампочек останется включёнными после того, как выйдет сотый человек?

Голосуйте за правильный ответ в опросе ниже и пишите в комментариях свои рассуждения.

#задача

Сразу начнём с ответа:

⏩️ 10 лампочек ⏪️

Решение вчерашней задачи основано на простой, но важной мысли: каждая лампочка переключается столько раз, сколько у её номера делителей.

Например, лампочка под номером 6 переключается при проходах 1-го, 2-го, 3-го и 6-го человека, то есть всего 4 раза. Так как это число чётное, в итоге (после выхода 100-го человека) лампочка будет выключена.

А лампочка под номером 9 — при 1-м, 3-м и 9-м, то есть 3 раза. Число нечётное, значит, в итоге лампочка останется включённой.

Тем самым ключевое наблюдение: если у числа чётное число делителей, лампочка выключится, а если нечётное — останется включённой.

Обычно делители числа разбиваются на пары: если d — делитель числа n, то n/d — тоже делитель.

Например, вот 3 пары для всех 6 делителей числа 12: (1, 12), (2, 6), (3, 4). Понятно, что если все делители разбились на пары, значит, их число чётное.

Но когда же у числа нечётное число делителей❓

Есть только одно исключение из общего правила — это полные квадраты.

Рассмотрим, например, число 36. Его пары делителей — это (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6). Но, как мы видим, последняя пара на самом деле состоит из одного и того же числа. Всё дело в том, что если число n — полный квадрат, то для делителя d = √n значение n/d также равно √n.

Таким образом, он не образует пару с другим числом, а остаётся «одиночкой». Так и получается, что у полных квадратов, и только у них, нечётное количество делителей.

Следовательно, включёнными останутся именно те лампочки, номера которых являются полными квадратами, а это 10 лампочек с номерами 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

*️⃣Отдельное спасибо говорим нашему подписчику @kevlarius. Он предложил решение с помощью программирования. Получилось очень наглядно: звездочка — горящая лампочка, точка — выключенная, на исходном шаге — все звездочки, а на финальном — только 10 штук.

class Lamp:
    def __init__(self, state=False):
        self.state = state

    def switch_state(self):
        self.state = not self.state


if __name__ == '__main__':
    lamps = [Lamp() for _ in range(100)]
    step = 1
    for p in range(100):
        index = (step - 1)
        while index < len(lamps):
            lamps[index].switch_state()
            index = index + step
        step += 1
        lamps_str = "".join(("*" if lamp.state else ".") for lamp in lamps)
        print(f"{p + 1:3}:   {lamps_str}")

#задача