🔸Условие: кораблик высотой 2, составленный из четырёх одинаковых равнобедренных треугольников, плывёт по морю, представленному частью графиков функций y = sin(x) и y = cos(x).

🔸Вопрос: какова площадь кораблика?

▶️Мы знаем, что графики косинуса и синуса отличаются сдвигом на π/2, тем самым своих максимумов они также достигают с разницей в π/2. Поэтому длина нижней части кораблика равна π/2​.

▶️Так как высота кораблика равна 2, высота каждого из треугольников равна 1. Тогда площадь одного треугольника равна: ½ × 1 × (π/2) = π/4

▶️Следовательно, площадь всего кораблика составляет: 4 × π/4 = π

В 1970-х выяснилось, что в аспирантуру Беркли принимают 44% мужчин и лишь 35% женщин. На первый взгляд это выглядит как гендерная несправедливость.

Но при разборе по факультетам оказалось, что женщины просто чаще подавали документы на более конкурентные направления.

Допустим, препарат A показывает лучшую общую эффективность, чем B. Но если разделить пациентов по полу, выясняется обратное: B работает лучше и для мужчин, и для женщин.

Причина — в составе групп: в первой было больше женщин, которые в среднем лучше реагируют на лечение.

Представьте график, где по одной оси количество проблем, по другой — уровень счастья. Чем меньше проблем, тем выше счастье — это верно и для выборки людей, и для выборки котов по отдельности.

Но если объединить их в одну выборку, получается обратное: будто больше проблем приносят больше счастья. Но тут всё просто: люди и коты — разные группы, и их нельзя смешивать.

🔸Условие: с высоты последнего этажа 500-метрового небоскрёба, стоящего на берегу моря, вы наблюдаете за лодками, яхтами и большими кораблями, курсирующими в заливе. С такой высоты уже становится немного заметна кривизна Земли.

🔸Вопрос: какой высоты должна быть мачта с парусами у парусного судна, которое находится на расстоянии примерно 100 километров от основания небоскрёба по глади моря, чтобы вы смогли увидеть хотя бы самый верхний её кончик?

🔸Подсказка: радиус Земли — 6380 км.

⠀
1️⃣Используем формулу дальности прямой видимости
⠀
Её можно вывести из теоремы Пифагора, пренебрегая квадратом высоты здания по сравнению с квадратом радиуса Земли:

d = √(2Rh₁) + √(2Rh₂)

где:
d — суммарная дальность видимости (км)
R — радиус Земли (км)
h₁, h₂ — высоты наблюдателя и объекта (км)

Из-за малости высот по сравнению с радиусом Земли расстояние по дуге окружности можно считать равным расстоянию по касательной от вершины небоскрёба до вершины мачты парусника.

⠀

2️⃣

Выразим h₂ и подставим числовые значения

⠀
h₂ = (d − √(2R h₁))² / (2R)

Вычислим дальность видимости с небоскрёба:
√(2Rh₁) = √(2⋅6380⋅0,5) = √6380 ≈ 79,87 км

Найдём разность:
d − √(2Rh₁) = 100 − 79,87 = 20,13 км

Возведём в квадрат:
(20,13)² ≈ 405,2169

Вычислим h₂:
h₂ = 405,2169 / (2⋅6380) ≈ 0,03176 км =

31,76 м

⠀

3️⃣

Проверим согласованность расчётов

⠀
При h₂ = 31,76 м и h₁ = 500 м расстояние действительно равно 100 км:

d = √(2⋅6380⋅0,5) + √(2⋅6380⋅0,03176) ≈ 79,87 + 20,13 = 100 км

🔸Условие: в прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вписана окружность.

🔸Вопрос: какова площадь этой окружности?

1️⃣Найдём радиус вписанной окружности r.

Как известно, для любого треугольника S = p⋅r, где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.

Площадь S = ½ ⋅ 3 ⋅ 4 = 6 см². Полупериметр p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см. Таким образом, r = 6 / 6 = 1 см.

2️⃣ Площадь круга равна π⋅r² = π⋅1² = π см².

Мёд вязкий — он течёт медленно. Поэтому слой мёда, соприкасающийся с тарелкой, движется с той же скоростью, что и сама тарелка. Но слой чуть выше движется немного медленнее, а самый верхний слой реагирует на движение ещё медленнее.

▶️А как же круги? Ведь у них минимальная энергия!
Круги нельзя уложить вплотную без зазоров. А шестиугольники — это, по сути, максимально близкая к кругам форма, которая среди всех фигур, которыми можно без зазоров замостить плоскость, даёт наименьший периметр при заданной площади — то есть минимальную длину границ между ячейками, а значит, и минимальную поверхностную энергию всей системы.

Когда две жидкости соприкасаются, их молекулы на границе находятся в менее выгодном энергетическом состоянии, чем молекулы внутри. Система стремится минимизировать площадь этой границы.