📝 Бесконечно повторяющиеся радикалы Рамануджана

Рассмотренная выше формула с бесконечно повторяющимися радикалами являются частным случаем более общей формулы:

📝 Подробнее

Источник, где эта формула выводится более строго: A. Herschfeld, On Infinite Radicals, American Mathematical Monthly 42 (1935), no. 7, 420–421.
#math #математика #наука #алгебра #science

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

👩‍💻 Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского. На основе треугольника Серпинского могут быть изготовлены многодиапазонные фрактальные антенны. Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают при эволюции многих конечных автоматов, подобных игре Жизнь.

В 2024 году Международная команда исследователей сообщила об открытии белка цитратсинтазы в цианобактерии Synechococcus elongatus, который самоорганизуется в треугольник Серпинского, это первый известный молекулярный фрактал.

Середины сторон равностороннего треугольника T₀ соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество T₁ , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество T₂, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность T₀ ⊃ T₁ ⊃ T₂ ⊃... ⊃Tₙ .

Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского. #gif #геометрия #математика #симметрия #geometry #maths #фракталы

Пытались ли вы запрограммировать отрисовку какого-нибудь фрактала? Напишите в комментариях, а лучше покажите что у вас получилось.

🐉 Кривая дракона

👩‍💻 Множество Мандельброта

🌿 Фракталы: Порядок в хаосе [2008] В поисках скрытого измерения [Fractals. Hunting the Hidden Dimension]

🌀 10 фракталов, которые стоит увидеть

🔺 Так выглядит фрактал

👩‍💻 Треугольник Серпинского

📕 Фрактальная геометрия природы [2002] Бенуа Мандельброта

🌿 Папоротник Барнсли

📘 Фракталы повсюду Второе издание [2000] Майкл Ф. Барнсли

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

😖 Harmonograph Pendulum Aka Inventions At G.W.R. Exhibition [1937]

Как гармонограф повлиял на физику? В этой заметке поговорим о приборе, который находится на стыке искусства, эксперимента и глубокой теории — о гармонографе (Harmonograph). В конце XIX века это устройство было не просто научной игрушкой, а наглядной лабораторией сложения колебаний. Два или три маятника, соединенные с пишущим элементом, рождали на бумаге те самые фигуры Лиссажу и сложные спирали, которые мы сегодня видим в учебниках. Гармонограф напоминает нам, что за самыми красивыми узорами часто скрывается элегантная математика. Он был первым шагом от простого гармонического осциллятора к пониманию сложного, динамического мира.

📚 Подбор книг по теории колебаний, волнам, резонансам [около 90 книг]

Почему это было важно для теории колебаний?

1. Визуализация суперпозиции: До широкого распространения компьютеров гармонограф позволял увидеть результат сложения гармоник. Ученые могли изучать биения, резонанс и влияние малых возмущений в реальном времени.
2. Экспериментальная проверка: Сложные траектории, предсказанные уравнениями, получали физическое воплощение. Это помогало оттачивать саму математическую модель.
3. Мост к нелинейности: Усложненные гармонографы с нелинейной связью между маятниками давали узоры, намекающие на хаотическое поведение — тему, которая будет взорвана лишь век спустя.

Малоизвестные факты из теории колебаний:

▪️ Парадокс Даниэля Бернулли: В 18 веке он теоретически предсказал, что форму колебания струны можно представить как бесконечную сумму синусоид (ряд Фурье). Современники сочли это абсурдом — как конечное движение можно описать бесконечным рядом? Понадобились десятилетия, чтобы эта идея стала краеугольным камнем.

▪️ Стохастический резонанс: Иногда добавление шума в колебательную систему не разрушает, а усиливает полезный сигнал. Это не интуитивное явление наблюдается и в климатических моделях, и в работе нейронов.

▪️ Колебания в статике: Теория колебаний описывает не только маятники. Распространение трещин в материале, вспышки популяций в экологии и даже циклы экономики формально подчиняются тем же дифференциальным уравнениям.

📝 Какую математику нужно освоить, чтобы покорить теорию колебаний? Если вы студент и хотите глубоко понять эту область, вот ваш план:

▫️ 1. Математический анализ: Дифференциальное и интегральное исчисление — это язык, на котором говорит природа. Особенно важно понять производные и первообразные.
▫️ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ): Базовый курс по ОДУ — ключ к решению уравнений движения маятника, груза на пружине и т.д. Фокус на линейные ОДУ с постоянными коэффициентами.
▫️ 3. Линейная алгебра: Понятия собственных значений и собственных векторов критически важны для анализа систем связанных осцилляторов (например, два маятника, соединенные пружиной).
▫️ 4. Комплексные числа: Они невероятно упрощают решение уравнений колебаний, превращая тригонометрию в элегантную экспоненту (формула Эйлера).
▫️ 5. Фурье-анализ: Для понимания разложения сложных колебаний на простые гармоники — следующий уровень мастерства.

Теория колебаний — раздел математики, в котором рассматривающая всевозможные колебания, абстрагируясь от их физической природы. Для этого используется аппарат дифференциальных уравнений.
А вы когда-нибудь видели настоящий гармонограф в работе? Или может, пробовали симулировать его в Python/Mathematica? Делитесь в комментариях. Фото и видео приветствуются. #физика #наука #science #physics #колебания #волны #опыты #эксперименты #теория_колебаний #математика

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🖥 Практика языка C (МФТИ, 2023-2024). Допсеминар: системы сборки (make, cmake).

00:00 Зависимости и хедера
08:22 Build.sh
11:48 Makefiles и декларативная модель
19:51 Ленивые и переменные
30:52 Автоматические переменные
36:15 Первая версия makefile
41:33 Функции и wildcards
47:40 Вторая версия makefile и зависимости от хедеров
56:36 Третья итерация: почти идеальный makefile
01:06:26 Знакомство с cmake
01:19:35 Бонус. Немного больше про cmake.
01:30:40 Окончательные уроки.
автор: tilir

🔨 Поговорим о двух столпах сборки C-проектов: Make и CMake. Их часто противопоставляют, но на самом деле они решают разные задачи в цепочке превращения кода в бинарник.

▪️Make (или make и Makefile) — Это менеджер задач, который исполняет команды, описанные в Makefile. Его логика проста: цели, зависимости и команды.

app: main.o utils.o
    gcc main.o utils.o -o app

main.o: main.c
    gcc -c main.c

utils.o: utils.c
    gcc -c utils.c

clean:
    rm -f *.o app

Запускаем make — и он по цепочке зависимостей собирает всё, что изменилось.
Плюс: Полный контроль, переносимость (если использовать общие команды).
Минус: Писать Makefile для большого кроссплатформенного проекта — боль и рутина.

▪️ CMake (и CMakeLists.txt) — это мета-сборщик или система генерации скриптов сборки. CMake не компилирует сам, а генерирует нативные файлы для других систем: Makefile для Linux/macOS, .sln для Visual Studio, проект для Xcode и т.д.

cmake_minimum_required(VERSION 3.10)
project(MyApp)
add_executable(app main.c utils.c)

Запускаем так:

mkdir build && cd build
cmake ..
make

Плюс: Кроссплатформенность, управление зависимостями (find_package), относительная простота для сложных проектов.
Минус: Свой язык и абстракция, которая иногда «утекает».

▫️ Make — низкоуровневый инструмент, который говорит компилятору как и когда делать свою работу.
▫️ CMake — высокоуровневый инструмент, который говорит разным системам сборки (включая Make), как они должны работать с вашим проектом.
▫️ CMake использует Make? Да! Чаще всего CMake генерирует Makefile, а затем вы вызываете make, который уже управляет компилятором.
▫️ Для маленьких, учебных или специфичных проектов — Makefile может быть быстрее и понятнее. Для средних/крупных или кроссплатформенных — CMake почти стандарт индустрии.

❓А что вы предпочитаете в своих проектах и почему? Может, у вас есть любимый лайфхак для Makefile или неочевидный трюк с CMake? Или вы вообще используете что-то третье (Meson, Bazel, простой скрипт)? Делитесь опытом!
#cpp #cmake #программирование #cplusplus #it #C

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib