Кубические кривые
и элементарная геометрия (А.Заславский, П.Кожевников; МатПросвещение, сер. 3, вып. 32)

тут неоднократно спрашивали, где можно прочитать про использование сложения точек на кубиках и т.п. в планиметрии — ну так вот

остальные материалы выпуска, кстати, тоже доступны — см. https://mccme.ru/free-books/matpros/pdf/mp-32.pdf

Всем привет! Сегодня у одного нашего очень хорошего подписчика Вадима Калашникова день рождения. Я бы хотел его поздравить такой вот замечательной задачей.

Дан равносторонний шестиугольник ABCDEF. Докажите, что прямая, соединяющая ортоцентры треугольников ACE и BDF, параллельна прямой, соединяющей их центры описанных окружностей.

H — ортоцентр треугольника ABC, M — середина EF. Докажите, что красные отрезки равны

Теорема Клера-Блисса

Через середины сторон треугольника проведены три синие параллельные прямые. Докажите, что прямые, симметричные сторонам относительно соответствующих синих прямых, пересекаются в одной точке. Найдите геометрическое место точек пересечения.

Ничего не значащий спойлер:

If we call the Minkowski perpendicular bisector of a segment with slope a the line through its midpoint with slope 1/a (the two lines are orthogonal in the Minkowski metric), the Klehr-Bliss theorem says that the Minkowski perpendicular bisectors of the three sides of a triangle are concurrent. The proof follows the usual proof: any point on the Minkowski perpendicular bisector of a segment is Minkowski equidistant from the two ends.

https://geometry.ru/olimp/2025/2025_zaoch_rus.pdf
https://geometry.ru/olimp/2025/2025_zaoch_eng.pdf

начинается заочный тур XXI олимпиады им. И.Ф.Шарыгина

как обычно: 24 задачи по классической геометрии для разных классов, в основном непростые, русская и англ. версии

Через центр O описанной окружности треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB, BC и CA в точках F, D и E соответственно. Докажите, что окружности, построенные на AD, BE и CF как на диаметрах пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на описанной окружности треугольника ABC, а вторая на окружности девяти точек.

Симпатичная задача

Даны два треугольника с общим углом. Точки H — их ортоцентры, точки N — их центры окружностей девяти точек. Доказать, что три прямых пересекаются в одной точке.

Добрая задача про квадрат. Ну и как обычно, в таких случаях разумно задаваться вопросом про обобщения))

Извините, опять про параболу подумалось...

На картинке параллелограмм и парабола. Доказать, что три точки на синем пунктире лежат на одной прямой, а красный пунктир параллелен оси параболы.

Простое упражнение про стандартную конструкцию

Эта замечательная задача давно стала классикой — выдал ее на занятии на этой неделе. Весной этой задаче исполнится 30 лет.

Ее автор Сергей Маркелов, замечательный человек, которого сегодня увы не стало.

Кажется, что некоторое представление о Сергее и его вкусах в математике можно получить по такой замечательной лекции:
https://www.mathnet.ru/present50

Про параболическую точку Фейербаха не очень понимаю я кое-что...

Само утверждение такое: если парабола вписана в треугольник, то парабола с тем же направлением оси, проходящая через середины сторон, касается первой.

Доказать это можно по-разному. Можно, во-первых, применить какие-то общие соображения, видимо. Во-вторых, можно, видимо, переписать доказательство со счетом углов в общем виде, пригодном для углов в параболе. Ну и, наконец, можно просто посчитать.

Так вот если посчитать... то окажется, что точка касания имеет ту же абсциссу, что и центр масс треугольника (считаем, что параболы вертикальны) . И вот это мне не понятно... Есть ли у этого какая-то интерпретация, в частности, для окружностей?

У геометрической олимпиады им. Ясинского появился свой красивый сайт

https://yasinskyi-geometry-olympiad.com/en/home-eng/

Как показывают ответы выше, вопрос не такой уж и интуитивно понятный. На самом деле, если пытаться не просто угадать, а доказать соответствующий факт, то задача становится еще запутаннее.

Я знаю общий ответ в n-мерном пространстве и доказательство, в котором первый шаг... это преобразование Фурье характеристической функции куба. Правда, не выглядит тривиально?

Тем не менее, если ответ получен, то вместе с ним получается и ответ на такой вопрос.

Вопрос. Предположим в R^n даны два выпуклых центрально-симметриченых тела K и L с центром симметрии в начале координат. Оказалось, что любое центральное (n-1)-мерное сечение K имеет площадь меньше, чем сечение L той же гиперплоскостью. Верно ли, что тогда объем K меньше объема L?

Ответ оказывается отрицательным и контрпримером в размерностях больше 10 (не помню точно) служат куб и шар. А все потому, что можно явно указать сечение наибольшей площади у куба и посчитать ее.

Естественным продолжением служит такой вопрос.

Вопрос. Предположим в R^n даны два выпуклых центрально-симметриченых тела K и L с центром симметрии в начале координат. Оказалось, что любое центральное (n-1)-мерное сечение K имеет площадь как минимум в C раз меньше, чем сечение L той же гиперплоскостью. Верно ли, что существует такая универсальная константа C (не зависящая от размерности), которая гарантирует, что объем K меньше объема L?

Этот вопрос оставался открытым около 40 лет. И позавчера опубликовали препринт, подтверждающий, что это утверждение верно!

Что интересно, у этой гипотезы (теперь уже теоремы) есть множество абсолютно разнородных и нетривиальных переформулировок. Помню я даже как-то делал доклад в лаборатории Ч и рассказывал про это.

Вот, например, simplex conjecture (не помню, эквивалентна ли, но в одну сторону следствие точно есть).

Simplex conjecture. Обозначим через m(K) среднее значение объемов симплексов, лежащих внутри K. Тогда среди всех выпуклых тел единичного объема максимум m достигается на симплексе. (Минимум, кстати, достигается на шаре и это известно.)

Про сечения единичного куба (то, что их площадь не превосходит sqrt(2)) можно прочитать маленькую заметку вот тут. Если вы знаете более простое решение, то обязательно напишите мне!))