Довольно добрая задача 10.6.

Дан параллелограмм, красные отрезки равны, синие отрезки равны. Доказать, что есть пунктирная окружность.

Пока тут все были увлечены финалом, я рассказывал про задачу Мальфатти, точнее про точку Адзимы-Мальфатти. Придумал задачу, но что-то пока не очень решил...

Добрая задача с питерской олимпиады про равнобедренный треугольник.

1 и 2 день, решения

Выскажу еще свое непрошенное мнение по поводу геометрических задач на финале ВсОШ.

Во-первых, мне все задачи понравились. Я не увидел каких-то слишком уж вычурных или противоестественных конструкций. Может лишь геометрическое неравенство из 10-го класса мне не слишком зашло. Но, возможно, на это повлияла более симпатичная формулировка из 9-го класса.

Во-вторых, конечно, трудно не повторять какие-то уже знакомые сюжеты (это касается шестых задач). Всё-таки все геометрические задачи не упомнишь. Я, например, помню только те, которые часто выдаю. Вчера вот прислали в комментариях задачу с Сириус-курсов — я ее не помнил. Во всех же предложенных конструкциях были сделаны интересные наблюдения и в целом задачи симпатичные. А стандартность решения для задач с номерами 2 или 6 вполне себе, на мой взгляд, допустима.

В-третьих, я рад, что линейность разности степеней точки оказалась полезной в одной из задач. Я весь этот учебный год и прошлый пропагандировал эту идею среди тех, кого учил, и считаю, что это очень богатое направление. Задач, которые с помощью этой идеи решаются, будет еще много.

В-четвертых, я рад, что в официальных решениях перестали стесняться того, что задача может решаться, например, счетом в комплексных числах (увидел намеки на это в двух задачах). Возможно, когда-нибудь не будут и при составлении столько внимания уделять "отсутствию счетных решений".

Задача с Московской олимпиады, 2009.

Буквами H обозначены ортоцентры соответствующих треугольников.

Добрая задача с первого тура питерской олимпиады 9-го класса 2010 года.

ABCD — параллелограмм, M — середина AF, N — середина CE. Доказать, что если B, M и E на одной прямой, то и B, N, F тоже на одной прямой.

Есть, конечно, и очень короткое, но не очень доброе решение...

Первая теорема Сонда.

Два подобных треугольника ABC и A'B'C' таковы, что их соответственные стороны перпендикулярны, а точки пересечения соответственных сторон лежат на одной прямой (перспектриса). Тогда перспектриса делит пополам отрезок между ортоцентрами треугольников.

В одном модном сообществе в запрещенной в РФ сети, упоминают нашу добрую традицию. И задача совсем добрая: доказать, что alpha=beta, если DB не равно DC.

Добрый факт

Очень крутая задача с очень крутым решением. JBMO Shortlist 2022 G6. Proposed by Nikola Velov, Macedonia.

Что-то очень классическое...
Romanian TST 2004

Сравнительно добрая задача. Ортоцентр треугольника спроецировали на касательную к описанной окружности. Докажите, что красные отрезки равны.

Ездил на Всероссийскую олимпиаду. Там дети массово повадились решать геометрию с помощью ТДИ. Я раньше думал, когда изредка встречал в работах эту аббревиатуру, что школьник мне так снисходительно говорит "ты дебил идиот". А это теорема Дезарга об инволюции. Я несколько раз узнавал, в чём она состоит, и сразу забывал, а сейчас решил, наконец, разобраться.

Интересно, что хотя Жерар Дезарг жил в XVII веке, теорема стала популярной только сейчас: когда я был школьником, никто ничего не слышал про такое.

Теорема Дезарга об инволюции говорит следующее.

Пусть L - некоторое двумерное пространство в трёхмерном пространстве квадратных трёхчленов. Для точки x на прямой есть один трёхчлен из L, обнуляющийся в x. Второй корень этого трёхчлена назовем f(x). Тогда f(x) - инволюция прямой, а теорема в том, что она проективная (= дробно-линейная) .

Доказательство: в L есть линейная функция, не умаляя общности, это функция x, тогда произведение корней у всех ребят из L одинаковое по теореме Виета, поэтому f(x)=const/x.

В геометрии это обычно применяют в таком разрезе. Пусть есть 4 точки на плоскости и прямая p. Рассмотрим пучок коник, проходящих через эти 4 точки. Множество их уравнений это двумерное пространство многочленов от двух букв степени (не выше) 2. Сужая на p, получаем то самое пространство L многочленов уже от одной буквы. То есть инволюция, переставляющая точки пересечения коник этого пучка с p, проективная.

В качестве коник обычно выступают пары прямых (их есть три штуки: уже выходит нетривиальное утверждение) и (опционально) окружность.

Полезно также проективно двойственное утверждение: если дана точка P и рассматриваются коники, касающиеся 4 данных прямых, то есть проективная инволюция, меняющая местами касательные из P к таким коникам. Например, пусть ABCD - описанный четырёхугольник, тогда есть инволюция, меняющая местами пары прямых PA, PC; PB, PD; касательные из P к его вписанной окружности.

Немного новый для меня взгляд на ТДИ 🖕👆👆

У нас на канале ТДИ обсуждалась в видео про теорему о бабочке. Если вы знаете про двойные отношения и инверсию, то поймете и ТДИ, и как она используется для доказательства теоремы о бабочке.

https://youtu.be/NIx_QnGemtc?si=x7ismx-1UAwC0akm&t=3964

Задача с питерской олимпиады 2010 про вписанную окружность.

Доказать, что пунктирные прямые перпендикулярны.

Добрая задача про ортоцентр.

Предлагалась в 2019 году на сложном Турнире городов в старших классах
В 2020 — на турнире Савина.
В 1991 году была опубликована в задачнике Прасолова.

По мотивам симпатичной задачи от Миши Сидоренко придумалась такая чуть более загадочная модификация.

Красные отрезки равны, синие равны, доказать, что можно вписать окружность.