Разминка номер 9 с комбинаторной геометрией!

1. Пузатостью прямоугольника назовем отношение его меньшей стороны к большей. Докажите, что если разрезать квадрат на прямоугольники, то сумма их пузатостей будет не меньше 1.

2. (ТурГор, осенний тур, основной вариант, 8-9 класс, задача 6, Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф.)

Правильный шестиугольник разрезан на N равновеликих параллелограммов. Доказать, что N делится на 3.

3. (ВсОШ-2003, Регион, 9.8, Кожевников П.А.)
Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.

Всем привет! Традиционные ответы на вопросы. Задать вопрос можно тут.

44. Как вы относитесь к Савватееву? (я разбил вопрос на два см. ниже)

Почему-то мне часто задают этот вопрос. Но мне кажется, что не вполне этично давать на него ответ таким публичным способом.

45. Какие популяризаторы математики вам нравятся? (вопрос разбит на два, см. выше)

Это очень хороший вопрос, спасибо!
Мне посчастливилось на математическом конгрессе в Рио познакомиться с двумя очень крутыми популяризаторами.
Первый это Tadashi Tokieda. Это очень крутой японский популяризатор математики. Что мне нравится в его подходе — он показывает какие-то простые окружающие нас физические процессы и явления и строит мостик к математическим задачам и теориям. Делает он это очень классно. Мне бы хотелось когда-нибудь овладеть таким талантом.

Второй это Николай Андреев. Коля на конгрессе демонстрировал очень много всяких замечательных математических моделей. Ну и, наверное, Математические этюды это один из первых и лучших проектов по популяризации математики в России, не требующий особо рекламы.

Это два популяризатора, работающие в реальном мире, но, есть, конечно, и много, работающих онлайн.

Все знают про Гранта Сандерсона и его проект 3blue1brown, который сделал очень много для того, чтобы показать, что математика увлекательна и не меньше для того, чтобы остальные тоже могли “показывать”. Вообще каналов на Youtube очень много… Наверное, выделил бы еще Numberphile.

В России я бы, конечно, отметил WildMathing, который делает очень хорошие ролики и даже недавно получил приз на российском конкурсе популяризаторов науки (поздравляю!) за ролик про золотое сечение.

Если говорить не про видео-контент и не про живое взаимодействие с аудиторией, то мне нравится канал Непрерывное математическое образование, мне кажется, что его ведет в большей степени Гриша Мерзон, который незаметно делает вообще тоже очень много для популяризации математики. В частности, Гриша у меня устойчиво ассоциируется не только с Непрерывным математическим образованием, но и с журналом Квантик, в редакцию которого входит. Наверное, к состоявшимся популяризаторам математики надо отнести всех редакторов этого замечательного журнала во главе с Сергеем Дориченко. Да и старшего брата, журнал Квант, не стоит забывать. Это тоже очень классный журнал, я, будучи школьником, даже был на него подписан.

Из “взрослых” каналов, которые сложно, конечно, отнести к популяризации математики, я бы выделил Математические байки Вити Клепцына. Математические каналы ведут много кто, но тут прям много-много интересного.

Думаю, будет здорово, если в комментариях вы поделитесь тем, что нравится вам.

📚 Олимпиада Эйлера

Олимпиада Эйлера предназначена для российских восьмиклассников и призвана восполнить отсутствующие для них региональный и заключительный этапы Всероссийской олимпиады по математике.

Соревнование проводится в три этапа: дистанционный, региональный и заключительный. Уровень трудности этих этапов соответствует одноименным этапам Всеросса.

Дистанционный этап проходит в три тура. Можно участвовать в любом количестве туров, ведь учитываться будет лучший результат. Успешное выступление на дистанционном этапе позволяет пройти на региональный, по такому же принципу попадают на закл.

👇🏻Расписание дистанционных туров:

12 ноября — первый дистанционный тур
26 ноября — второй дистанционный тур
10 декабря — третий дистанционный тур

Так как Эйлер, по сути, является аналогом Всеросса, то и подготовка к нему соответствующая: рекомендуем обратить внимание на задачи прошлых лет как самой олимпиады, так и Всероссийской. Стоит учесть, что на олимпиаде Эйлера не бывает задач на окружности, потому бессмысленно при подготовке решать геометрии с ВсОШ. А вот теория чисел и комбинаторика тематически существенно пересекаются.

Стоит обратить внимание, что региональный тур олимпиады Эйлера проходит одновременно с региональным этапом ВсОШ, и некоторые задачи олимпиад пересекаются. Традиционно некоторые сильные восьмиклассники (а иногда ученики и более младших классов) пишут вместо региона Эйлера регион ВсОШ, чтобы пройти на финал обеих олимпиад. Финалы олимпиад проводятся в разное время, давая возможность сильным восьмиклассникам попробовать себя в обоих состязаниях.

Также мы подготовили для Вас полезные сборники в одном месте. В файле Вы найдете: задачники по геометрии и алгебре, материалы сборов ВСОШ.

Желаем продуктивного бота!

Подписаться на канал

#28 (ММО 2023, 11.9)

В треугольнике ABC высоты BE и CF пересекаются в точке H, точка M — середина стороны BC, а X — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники BMF и CME.
Доказать, что точки X, M и H лежат на одной прямой

Эта задача ☝️, кстати, хороша, чтобы попробовать придумывать обобщения

Marden's theorem states that if complex numbers a, b, c forming a triangle on the complex plane are roots of some cubic polynomial P(x), then roots p, q of its derivate P'(x) are exactly the foci of the unique ellipse inscribed in the triangle and touching its sides at the midpoints of edges.

Here is a short proof which came out of a discussion with Daniel Zhu (though I'd thought everyone knew roughly this proof). Without loss of generality we assume that P is monic.

1)Note that (p-a)(q-a)=P'(a)/3 and (c-a)(b-a)=P'(a) which implies that p and q are isogonally conjugate in the angle BAC. Similarly, for the other two angles of the triangle. This means that P and Q are isogonally conjugate in ABC and hence there is an ellipse E with foci P, Q inscribed in ABC (P, Q are inside the triangle by the Gauss-Lucas theorem).

2)Note that (a+b+c)/3=(p+q)/2 is the unique root of P''(x), so the center of this ellipse is the barycenter of the triangle. Hence, considering an affine transformation which maps ellipse E to a circle, we obtain a new triangle in which the incribed circle has center coinsiding with the barycenter, so this triangle will be an equilateral triangle. Inscribed circle of the equilateral triangle touches its sides at midpoints so the same is true for the original ellipse.

картинки по выходным: теорема Наполеона и ее родствениики из свежего Квантика, https://kvantik.com/issue/pdf/2023-11_sample.pdf

Все разминки со ссылками на видеоразборы можно найти в файле

Разминка №10!

1. (СПбМО-2000, Город, 7.4, Бахарев Ф.Л.)
ABCD — выпуклый четыpехугольник, в котоpом ∠CAD+∠BCA =180° и AB=BC+AD. Докажите, что ∠BAC+∠ACD = ∠CDA.

2. На диагоналях AC и BD трапеции ABCD отмечены соответственно такие точки E и F, что ∠BED=∠CFA. Докажите, что точки A, E, F и D лежат на одной окружности.

3. Дана полуокружность. Докажите, что выделенный четырехугольник является параллелограммом.

#29 (Обобщение #28)

Доказать, что красные точки лежат на одной прямой

USEMO 2023, Problem 3.

У Феди есть девайс, который позволяет по четырем точкам A, B, C и P построить точку изогонально сопряженную P относительно треугольника ABC (если такая существует). Сможет ли Федя с помощью этого девайса построить середину отрезка?

Виктор Васильевич пишет про задачу с часто неверным решением...

Помню, как мы мучались, записывая эту задачу для дистанционки. До сих пор не уверен, что правильно записали.

А вы знаете правильное решение?

UPD. Напомнили, что мы этот кусок так и не выпустили на курсах как раз из-за косяка в доказательстве)

Чего-то задачу про изогональное сопряжение никто пока не решил, а ведь ответ там да

Всем привет! Традиционные ответы на вопросы. Задать вопрос можно тут.

46. Добрый день. Можете ли вы посоветовать как увеличить продуктивность / избавиться от выгорания
Не знаю, почему вы считаете, что этот вопрос уместно задавать мне… Я дисциплинирую себя несколькими вещами.
Во-первых, я не зацикливаюсь на одном виде деятельности. Нельзя 100 процентов времени делать одно и то же и не выгорать.
Во-вторых, были моменты, когда я вел таймшиты — внимательно смотрел на что и сколько я трачу времени в день/в неделю и т.д. Иногда это помогает перераспределить время более грамотно. Сейчас я уже так делаю редко — только когда вижу, что продуктивность упала.
В-третьих, надо давать себе отдыхать. Для меня лучший отдых это смена деятельности. Например, можно чему-то поучиться вместо работы, а можно поделать видосик для канала вместо подготовки к лекции. Хорошо расслабляют спорт, поход в музей, на концерт…
В целом, я сейчас всегда составляю себе план на неделю, что я должен сделать. (обычно я успеваю не больше ⅔), но все равно это помогает планировать.

47. Будет ли стрим с разбором Геометрических задач УТЮМА?
Нет не будет)

Точку Торричелли треугольника соединили с вершинами. В трех получившихся треугольниках провели прямые Эйлера. Доказать, что они проходят через одну точку.

// задачку рассказал Р.К.Гордин сегодня

Возможно кого-то заинтересует. Началась регистрация на Discord Geometry Olympiad 2023

Всем привет! Сегодня мы поговорим с вами о задача, которая известна как "лемма о бензоколонках" (или Raney's lemma). Лемму эту опубликовал George Raney в 1960 году в журнале Transactions of the American Mathematical Society.

В России это утверждение больше известно благодаря публикации в задачнике журнала "Квант" в 1971 году под номером М82. Автором задачи указан читатель С. Охитин из Оренбурга.

Формулировка задачи такая

На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.

Ее несложно переформулировать с следующем более математическом виде (упражнение)

Даны числа x_1, x_2, ..., x_n с нулевой суммой. Тогда существует циклическая перестановка, для которой все частичные суммы неотрицательны. То есть существует такое k, что x_k⩾0б x_k+x_{k+1}⩾0, x_k+x_{k+1}+x_{k+2}⩾0,... x_k+x_{k+1}+...x_{k-1}⩾0.

Одно из наиболее классических и простых доказательств этого утверждение проводится при помощи индукции. Если машина одна, то в ней достаточно бензина на полный круг. Пусть у нас есть n машин, то можно найти 2 соседние, такие, что из первой можно доехать до второй по часовой стрелке. Уберем вторую и отдадим весь ее бензин первой. По предположению индукции, среди оставшихся n-1 существует одна, из которой можно проехать полный круг по часовой стрелке — она же подойдет и для n в исходной конфигурации.

Однако совсем недавно благодаря каналу Феди П я узнал прекрасное доказательство (которое он в свою очередь узнал от Таи Коротченко) с выпукло-геометрическими мотивами.

Рассмотрим n векторов, полученных из (1,-1,0,0,..,0) циклическими перестановками. Они все лежат в (n-1)-мерной гиперплоскости (сумма координат равна нулю) и являются вершинами симплекса, содержащего начало координат (центр его масс). Луч из начала координат в точку (x_1,...,x_n) пересекает некоторую грань этого симплекса. Сделаем циклическую перестановку так, чтобы эта грань не содержала вершину (-1,0,0,...,0,1). Но все точки (y_1,...,y_n) в этой грани имеют неотрицательные частичные суммы координат, поскольку этим свойством обладают все вершины этой грани, а значит и все выпуклые комбинации.

Всем привет! Сегодня в разминке номер 11 предлагаю вам пять задач с прошедшего не так давно Baltic Way. Напомню, что это командное соревнование уровня юниорского, в котором предлагается 20 задач (по 5 на каждую тему) поэтому задачи не слишком сложные и не требующие сверхсложных знаний. Отлично подходят для разминки.

1. Пусть точка J — центр вневписанной окружности треугольника ABC со стороны BC. Точка K симметрична точке J относительно BC. Точки E и F находятся на прямых BJ и CJ таковы, что ∠EAB = ∠CAF = 90°. Докажите, что ∠FKE + ∠FJE = 180°.

2. Пусть ABC — остроугольный треугольник, в котором AB > AC. Внутренняя биссектриса угла BAC пересекает BC в точке D. Пусть O — центр описанной окружности ABC, и пусть AO пересекает BC в точке E. Пусть J — инцентр треугольника AED. Покажите, что если ∠ADO = 45°, то OJ = JD.

3. Пусть ABC — остроугольный треугольник с AB < AC и инцентром I. Пусть D — проекция I на BC. Пусть H — ортоцентр ABC, и предположим, что ∠IDH = ∠CBA – ∠ACB. Докажите, что AH = 2ID.

4. Пусть ABC — треугольник с точкой пересечения медиан G. Пусть D, E, F — центры описанных окружностей треугольников BCG, CAG, ABG. Пусть X — точка пересечения перпендикуляров из E на AB и из F на AC. Докажите, что DX делит EF пополам.

5. Пусть ω₁ и ω₂ — две окружности без общих точек, причем ни одна из них не находится внутри другой. Пусть M, N лежат на ω₁, ω₂ так, что касательные в точках M к ω₁ и N к ω₂ пересекаются в точке P, причем PM = PN. Окружности ω₁, ω₂ пересекают MN в точках A, B. Прямые PA, PB пересекают ω₁, ω₂ в точках C, D. Покажите, что ∠BCN = ∠ADM.

Всем привет!

Сегодняшняя задача является модификацией геометрической задачи, предложенной на Муниципальном этапе ВсОШ по математике несколько лет назад.

На картинке изображена конструкция из двух квадратов. Известны длины двух отрезков. Необходимо найти длину стороны большого квадрата.

#мтзадача