Дано чотирикутник ABCD, в який вписано коло з центром I. Дотичні в точках А та С до описаного кола трикутника AIC перетинаються в точці Х, а дотичні в точках B та D до описаного кола трикутника BID перетинаються в точці Y.
Доведіть, що точки I, X та Y лежать на одній прямій.

Задача с израильского TST.

Хорошо известно, что биссектрисы внутренних углов вписанного четырехугольника ограничивают вписанный четырехугольник. Биссектрисы внешних углов — тоже ограничивают вписанный четырехугольник. Докажите, что центр описанной окружности исходного четырехугольника является серединой отрезка, соединяющего центры описанных окружностей четырехугольников, ограниченных биссектрисами.

Кстати, для треугольника вам такое утверждение, наверное, хорошо известно)

Задача с какого-то корейского мероприятия... Кажется решается с помощью той леммы, которая была пару постов назад

Когда-то уже постил эту задачу, но она мне очень нравится, и она подходит тем, кто только начинает свой путь в геометрии, так что не жаль и повторить...

Зеленый четырехугольник — параллелограмм, нижняя вершина — середина стороны треугольника. Доказать, что верхняя лежит на биссектрисе.

Подсмотрено в фейсбуке. Доказать, что OA=OB

Автор Thanos Kalogerakis

Одна из моих любимых задач со всероссийских олимпиад в этом году заиграла для меня новыми красками.

На сторонах треугольника построены квадраты. Надо доказать, что красная точка лежит на симедиане треугольника.

Так вот, оказывается, это ни что иное, как точка Болтая.