📝 Метод Якоби: решение СЛАУ методом итерации

Для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) большой размерности, а также систем, имеющих разреженные матрицы, применение точных методов (например, метод Гаусса) не является целесообразным, так как...

👨🏻‍💻Читать статью полностью 📝

#программирование #математика #python #разбор_задач #численные_методы

💡 Репетитор IT men // @mentor_it

📝 Решаем № 13 из ЕГЭ по математике: тригонометрия страшна?

Классика ЕГЭ-шной тригонометрии:
а) Решить уравнение: sin(8πx) + 1 = cos(4πx) + √2⋅cos(4πx - π/4)
б) Найти корни, принадлежащие промежутку: [2-√7; √7 - 2]

📝 Читать разбор задачи

#математика #алгебра #геометрия #разбор_задач #тригонометрия #огэ #егэ

💡 Репетитор IT men // @mentor_it

🤔 Как решать технические задачи — заметка для школьников и студентов. Для успешного решения задач по физике (в целом, любых задач) Вам понадобятся:

▪️ 1. Уверенные знания в математике на уровне физ-мат лицея (это минимум). Объяснение на словах — это прекрасно, но если в вашем решении нет математики, то ваше решение ничего не стоит. И точка.

▪️ 2. Базовые знания по дифференциальному и интегральному исчислению, а также умение применять начальные условия (НУ) и граничные условия (ГУ).

▪️ 3. Понимание ограничений и сути процесса ( у вас не должны получаться отрицательная масса или отрицательное время, дробное количество, околосветовые скорости макроскопических объектов )

▪️ 4. Хорошее воображение, 3D-видение эксперимента у себя в голове, а также возможность представить как выглядит график функции, описываемой в определенном законе (например: закон радиоактивного распада).

▪️ 5. Умение разбивать большую задачу на малые подзадачи (например: определить амплитуду колебаний изображения математического маятника — у вас две задачи: механическая и оптическая — решайте их отдельно, потом сшивайте).

▪️ 6. Чувствуйте абстракции. Вы никогда не решите задачу, если попытаетесь учесть всё. Пример: определите траекторию полёта камня, брошенного под углом к горизонту с учётом... эффекта Магнуса, динамического сопротивления ветра, фазы Луны, функции плотности воздуха, динамики вихрей потоков воздуха, распада вещества, из которого состоит камень, термодинамического расширения камня. Сложно? Вот поэтому чувствуйте абстракции.

▪️ 7. Программирование. Да... внезапно. Для физики полезно знать какой-нибудь язык программирования. Попробуйте решенную задачу замоделировать и закодить в виде графической анимации. Так ваши решения станут куда более интересными и наглядными. А меняя входные параметры, вы станете лучше понимать поведение физических систем.

▪️ 8. Постоянная практика. Чтобы научиться решать задачи, нужно решать задачи. Здесь работает правило: «Глаза страшатся, а руки делают». Не бойтесь ошибаться. Не бойтесь начать писать хоть что-то. Мысли и идеи приходят во время действия. Начните делать, а не бесконечно планировать и фантазировать как вы решаете сложные задачи.

▪️ 9. Уловите связь между дискретным и непрерывным. Постарайтесь понять как работать с пределами. Если вы решаете задачу по физике на черновике, то вы часто пользуетесь интегрированием непрерывных, гладких и удобных функций. Но если перед вами стоит задача запрограммировать интеграл, то вы переходите от непрерывного интегрирования к предельной сумме.

▪️ 10. Базовые знания численных методов — это большой друг для начинающего физика или математика. Любая серьезная работа, вроде бакалаврского диплома или магистерской диссертации у физиков связана с численными методами и программированием. Начинайте изучать их со школы.

▪️ 11. Школьные знания — капля в море. Никогда не ждите того, когда вам расскажут это в школе. Набирайтесь самостоятельности и используйте множественные источники информации. Послушали преподавателя, позанимались с репетитором, почитали одну книгу, вторую книгу, подумали сами. Не ждите идеального объяснения в одном месте.

▪️ 12. Используйте интернет с пользой. Здесь всегда есть люди, готовые вам помочь и дать хорошую подсказку. Вам только нужно научиться задавать правильные вопросы. И обязательно показывать свои наработки.

💡 Репетитор IT men // @mentor_it

Подборка статей по математике от IT men

🟩 Задача про квадрат: сможете решить?

👥 Математическая задача про возраст поставила в тупик физ-мат чат

👀 5 школьных задач по математике, которые не решают взрослые

📐 Сможете решить эту задачу по геометрии?

⏳ Шашки: как 3 «дамки» могут загнать 1 «дамку» соперника за 15 ходов?

📝 Бесконечно повторяющиеся радикалы Рамануджана

📝 Как найти сумму комплексного ряда Σ = j⁰+ j¹+ j²+ j³+...+j²⁰²⁴

🥺 Найти объем: простая геометрическая задача, в которой ошибается 50% людей

📝 Сложная ДУ задача: нелинейность VS линейность при вариации С → ∞

#️⃣ 15 топологических головоломок из проволоки на расщепление

🏍 Неожиданная задача из репетиторского чата

➰ Как найти координаты центра масс однородной плоской кривой L ?

❓ Функциональный анализ VS математический анализ: задача, которая связывает

⭕️ Задача по геометрии за 9 класс: сможете решить?

😰 Ученик выбрал неудачный способ решения? Заставить дорешать!

🫠 Что будет, если начать решать задачу, не подумав?

👽 60% людей не могут решить эту логическую задачу

👶🏻 Задача по геометрии за 7 класс: сможете решить?

🚤 Сложение скоростей и движение катера по[против] течению реки

🔎 Геометрическая задача: сможете решить?

🫡 Решение экзамена по математике за 1942 год

🫨 Как решить дифференциальное уравнение y" + y' = x и проверить частное решение?

🥸 Эту задачу по математике решают менее 25% людей

💀 Эту задачу из ОГЭ по математике никто не решил из класса

🐸 Последняя (25) задача ОГЭ по математика: реально ли решить?

🎲 Задачи по теории вероятностей из ЕГЭ станут сложнее? Разбор 5 новых сложных задач

❇️ Геометрическая задача про площадь: сможете найти?

💅 Задача по математике для женщин: какая площадь у восьмерки?

🙇‍♀️ Японская задача по математике: дети решают, взрослые - нет

📝 Что такое логарифмы и зачем они нужны? Разбор интересной задачи

📝 Олимпиадное неравенство и интересное решение

📝 Математическая задачка из вступительных испытаний в МАИ

🍾 Игрушка для любителей математики или что такое «бутылка Клейна» ?

🪨 Сможете решить эту задачу по математике для 5 класса ?

💥 12 интересных математических задач с неравенствами

🧩 Неочевидная математика банковской системы

🎯 Сможете решить эту олимпиадную задачку по математике?

🎖 7 сложных задач по математике на тему прогрессий

🔍 Параметрическая касательная к окружности (задача за 9 класс)

🔑 Теория чисел в математике 8 класса (последняя задача из ВПР)

💸 Написал свой калькулятор выхода на пенсию (FIRE)

🖥 Интересная задача про матричное уравнение

🫥 Задача по геометрии со «звёздочкой» * Сможете решить?

😱 Разбор 7 задач по аналитической геометрии и линейной алгебре

🧐 Задача: как найти сумму ряда из показательных функций Σ 4ⁿ⁺¹ / (3ⁿ⁻³ ∙ 5ⁿ)

☹️ Что происходит с математическим образованием в школе?!

🤥 Мишустин задал задачку лицеистам, а они её не смогли решить

🤏🏻 Чему равна сумма 1∙1! + 2∙2! + 3∙3! + ... + n∙n!

🫨 Найти площадь закрашенной фигуры: олимпиадная задача по математике (для школьников)

💡 Репетитор IT men // @mentor_it

📝 Математическая ловушка иррациональных уравнений

В этой статье на примере задачи из ЕГЭ по математике разберемся в классической ловушке иррационального уравнения.

а) Решите уравнение: 
√(x + 4√(x - 4)) + √(x - 4√(x - 4)) = 4
б) Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку [2√3+1; 10].

📝 Читать заметку полностью

И вот тут открывается интересный момент: мы можем увидеть удобную замену переменных, которая немного упростит наше решение тем, что мы точно не потеряем ответ. Или...

💡 Репетитор IT men // @mentor_it

📝 Иррациональные уравнения

Впервые человечество столкнулось с решением иррациональных уравнений (уравнений, где переменная содержится под знаком корня) не в виде абстрактных алгебраических задач, а в ходе решения сугубо практических геометрических и строительных задач. Самые ранние свидетельства относятся к эпохе Древнего Вавилона (около 1800–1600 годов до н. э.). На глиняных табличках, таких как знаменитая YBC 7289, вавилоняне не только фиксировали значение квадратного корня из двух с очень хорошей точностью √2 ~ 1.41421296, но и решали задачи, где требовалось найти сторону квадрата по его диагонали или сторону прямоугольника по заданной площади и разности сторон. По сути, решая систему вида x - y = a и x ⋅ y = b, жители Вавилона неизбежно приходили к уравнению, которое содержало квадратный корень из суммы квадратов. Но они умели извлекать его, хоть и не пользовались современными символами радикала «√».

Если посмотреть внимательно на уравнения x - y = a и x ⋅ y = b, то их система дает квадратное уравнение. Но как же на самом деле решали такое до Эпохи Возрождения? И здесь кроется удивительный факт: древние вавилоняне решали такие задачи, не используя нашу современную алгебраическую символику, но при этом владели алгоритмом, который мы сегодня назвали бы «решением квадратного уравнения», причём за 1500 лет до того, как это было формализовано в античной Греции или Индии.

Их метод был словесно-геометрическим. На табличках (например, из коллекции Йельского университета, YBC 4663 и др.) задачи формулировались примерно так: «Я сложил длину и ширину, получил столько-то. Я перемножил длину и ширину, получил столько-то. Какова длина и ширина?» (где «длина и ширина» — это x и y, а их сумма — аналог разности, но с другими знаками). Вавилоняне использовали метод, который мы называем «методом среднего арифметического и среднего геометрического» (фактически — выделением полного квадрата).

Главное здесь: чтобы найти m, вавилоняне должны были извлечь квадратный корень из числа (b + d²). Именно на этом этапе они сталкивались с иррациональностью. И они умели вычислять такие корни с высокой точностью, используя итерационный алгоритм, который мы сегодня называем методом Герона (или вавилонским методом):

√S = Sₙ₊₁ ~ 0.5 ⋅ (a + Sₙ / a)

Они не записывали это формулой, но на табличках сохранились вычисления, где, например, для √2 они брали начальное приближение a = 1, затем уточняли и получали значение.

Таким образом, иррациональные уравнения возникали у них не в форме √x = a , а как необходимость извлечь корень из числа, которое не является полным квадратом, чтобы завершить решение геометрической или экономической задачи (раздел полей, расчёт кирпичей, строительство каналов). Сам процесс решения квадратного уравнения был для них «побочным продуктом» — они не видели в нём отдельной алгебраической сущности, а воспринимали его как цепочку арифметических и геометрических операций, финальным шагом которых было извлечение корня.

📝 Математическая ловушка иррациональных уравнений

💡 Репетитор IT men // @mentor_it

📈 Экономическая задача: наверное, одно из самых неприятных заданий для школьников

Почему? Когда её ни разу не решал, то трудно догадаться что происходит. Особенно, когда платежи неравные, т.е. мы имеем дифференцированный платёж, при котором сумма долга уменьшается равномерно (за месяц/год) — на одну и ту же величину. Но платежи каждый месяц/год разные.

Если эту задачу решать тем же способом, что экономическую задачу про аннуитентный платеж (фиксированная сумма), но мы потратим много времени и приходим в тупик.

Рассмотрим отличия в схемах

Дифференцированный платёж:
— Сумма основного долга (тело долга) делится равными частями на весь срок платежа.
— Проценты ежемесячно начисляются на остаток долга.
— С течением времени сумма выплат уменьшается, так как проценты начисляются на всё меньший остаток долга.

Аннуитетный платёж:
— Проценты за пользование кредитом, которые начисляются на остаток долга. Проценты рассчитываются каждый месяц исходя из остатка основного долга и текущей ставки.
— Погашение основного долга — тела кредита. То, что остаётся от фиксированного ежемесячного взноса после оплаты процентов, направляется на уменьшение тела кредита. На следующий месяц расчёт повторяется, но уже с новым остатком долга.

В таких задачах я бы рекомендовал составлять табличку, чтобы понять что именно происходит. А общий паттерн решения лучше запомнить (но прежде — осознанно понять).

Пример [Тип 16]: Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.

А есть ещё задачи с совмещением обоих схем. Но я их разбирал ранее и даже делал краткую 📝 PDF-методичку. Можете почитать, кому нужно разобраться в вопросе подробнее. Если помогло, то кинь обратную связь или реакцию.

#экономика #ЕГЭ #ОГЭ #математика #алгебра #кредиты #финансы

💡 Репетитор IT men // @mentor_it