می دونی می تونی از مثلث خیام پاسکال، دنباله فیبوناتچی را بدست بیاری؟!
@harmoniclib

جهت تبلیغات در
کانال
اخبار و کتابهای ریاضی
@harmoniclib
و یا
گروه
ارشد و دکتری ریاضی
@arshadoct
به آی دی زیر پیام دهید.
👇👇👇👇👇👇
@meisami_mah

آموزش مشتق گیری پارامتری با یک مثال
@harmoniclib

#رادیو_ریاضی
با آقای مجتبی کریم دخت
#MojeeNC
جلسه اول
از
1⃣فضای ریاضی شیراز
2⃣نظریه تحلیلی اعداد
3⃣مشکلات آموزش ریاضی
4⃣مشکلات تحصیلات تکمیلی رشته ریاضی
5⃣دانشگاه تربیت مدرس
گپ زدیم.
@harmoniclib

«قضیه ناپلئون و اعداد مختلط»

در پادکست اول از صحبت هایم در سلسله برنامه های "رادیو ریاضی" گوشه چشمی به کتاب هندسه اعداد مختلط از لیانگ-شین هاهن داشتم. این کتاب یک دید شهودی و خوب به خواننده خود جهت فهم اعداد مختلط از دریچه هندسه مسطحه می دهد. مثلاً در عکس های ضمیمه ی این پست، شکل و فرمول های مربوط به اثبات قضیه ی ناپلئون به کمک اعداد مختلط و همچنین چند فرمول دیگر برای فهم بهتر آن نشان داده شده است. در ادامه ابتدا مقدمه ای در مورد این قضیه زیبا گفته، سپس به شرح اثبات آن به کمک اعداد مختلط، و چند نکته اضافه تر می پردازم.

صورت قضیه می گوید: اگر بر رو اضلاع یک مثلث دلخواه، مثلث های متساوی الاضلاعی بسازیم (چه از داخل، چه خارج)، سپس مراکز آن ها را به هم وصل کنیم، مثلث جدیدی شکل می گیرد که آن نیز متساوی الاضلاع می باشد.

به مثلث های حاصل، مثلث ناپلئون (داخلی/خارجی) می گویند. تفاضل مساحت این دو مثلث (داخلی و خارجی) برابر با مساحت مثلث اولیه می باشد.

این قضیه را به ناپلئون بناپارت (1769-1821) نسبت می دهند، که البته به دلیل این که بعید است حاکمان و ظالمان در طول تاریخ انسان های اندیشمند و اهل علمی باشند (به علاوه دلایل محکم دیگری که در مقالات مختلف بدان اشاره گشته است)، لذا عده زیادی به این که ناپلئون از هندسه سر در می آورده و این قضیه را اثبات کرده باشد عمیقاً شک کرده و برخی پیشنهاد کرده اند که این سؤال احتمالاً بر می گردد به زمان رادرفورد در 1825 که آن سؤال را در "The Ladies Diary"، چهار سال پس از مرگ ناپلئون منتشر کرد. اما از طرفی نتیجه این قضیه در قالب سه سؤال در آزمون مدال طلای دوبلین در اکتبر 1820 نیز مطرح گشته، یعنی قبل از مرگ ناپلئون در ماه می 1821.

اثبات های زیادی برای این قضیه وجود دارد که شامل اثبات بدون استفاده از محور مختصات، اثبات به کمک توابع مثلثاتی و اثبات به روش تقارن می شود. اما در اینجا به اثبات آن به کمک اعداد مختلط می پردازیم.

برای سهولت تصاویر ضمیمه را با رنگ قرمز شماره گذاری کردم. در تصویر شماره 1 سمت چپ، صورت قضیه رسم شده که نیاز به توضیح خاصی ندارد. شکل سمت راست ریشه سوم واحد هست که با اومگای کوچک و اومگا دو نمایش داده شده است که خود یک مثلث متساوی الاضلاع تشکیل می دهد.

در تصویر شماره 5 گفته شده که اگر مثلث z1z2z3 متساوی الاضلاع باشد آنگاه در این شرایط صدق کرده. همان طور که در فرمول تصویر شماره 5 مشاهده می کنید، نقاط رئوس مثلث با نقاط مثلث اومگا ضربی شبیه به ضرب اسکالر تشکیل داده است. از همین نکته استفاده می کنیم و این حقیقت که مثلث های تشکیل شده بر روی اضلاع مثلث z1z2z3 متساوی الاضلاع هستند استفاده کرده و به معادلات شکل 2 می رسیم.

در تصویر شماره 3، زتای 1 و 2 و 3، مراکز مثلث های تشکیل شده بر روی اضلاع مثلث z1z2z3 می باشند. صفر شدن فرمول تصویر 3 نشان دهنده ی متساوی الاضلاع بودن مثلث ناپلئون بیرونی می باشد. بررسی جزئیات آن را بر عهده شما می گذارم.

فرمول شماره چهار نشان دهنده ی شرط کلی تشابه دو مثلث به زبان مختلط می باشد. در نهایت فرمول شماره 6 اشانتیوم است! در قسمت بالای آن z متغیر است و مکان هندسی عمود منصف حاصل از پاره خط واصل بین گاما و بتاست. به همین ترتیب عمود منصف بین گاما و آلفا و همچنین بین آلفا و بتا را نیز بدست آورده. در نهایت فرمول ترسناک مختصات مرکز مثلث حاصل از آلفا-بتا-گاما را بدست آورده است.

برای مطالعه بیشتر به کتاب مذکور رجوع کنید.

پ.ن: تصاویر از کتاب مذکور برش داده شده و بعضاً به هم چسباندم.

#MojeeNC
@harmoniclib