«حدس Szpiro و مشخصه»
(هشدار)👻☠️: این پست حاوی مطالب دردناک فکریست!
همانطور که در پست پیشین اشاره کردم، حدس Szpiro را با کمی تغییر می توان معادل با حدس abc کرد. اما حدس Szpiro چیست؟ این حدس در شاخه نظریه اعداد قرار دارد و رسانا (conductor) و مشخصه (discriminant ) یک خم بیضوی را به هم ارتباط می دهد. این حدس را ابتدا ریاضیدان فرانسوی، Lucien Szpiro در دهه 1980 فرموله کرد. وی در 18 آوریل 2020 فوت کرد.
فعلاً وارد صورت فنی این حدس نمی شویم. به این بهانه دو مفهوم رسانا و مشخصه یک خم بیضوی را باید بررسی کنیم. از آنجا که مفهوم رسانا بحث مفصل تر و سنگین تری را می طلبد پس فعلاً به مفهوم مشخصه می پردازیم.
مشخصه یا Δ را از دبیرستان به یاد داریم. تعمیم های این مشخصه به دو دسته زیر طبقه بندی می شوند:
-مشخصه یک میدان عددی جبری
-مشخصه بر اساس ضرایب چند جمله ای
دسته دوم تعمیم همان Δ یی است که در دبیرستان برای چند جمله ای های درجه دو محاسبه می کردیم، به گونه ای که مقدار آن وابسته به ضرایب چند جمله ای بود و به کمک آن می توانستیم به مشخصات ریشه های آن پی ببریم. حال، اگر چند جمله ای چند متغیره باشد این مشخصه هم دیگر عدد ثابت نخواهد بود و تحلیل آن پیچیده تر می شود.
اما مشخصه میدان عددی جبری بحث مفصلی می طلبد که بستگی به آشنایی شما با نظریه جبری اعداد دارد. این مشخصه یکی از بنیادی ترین ناورداهای یک میدان عددیست که در چندین فرمول مهم چون معادله تابعی تابع زتای ددکیند و فرمول تحلیلی class number برای یک میدان عددی K ظاهر می شود.
قضیه Hermite-Minkowski بیان می دارد که تنها تعداد متناهی میدان عددی با مشخصه کوچکتر مساوی عدد صحیح دلخواهی چون N وجود دارند، ولی تعیین تعدادشان هنوز یک مسئله باز و حل نشده است.
در حقیقت مشخصه یک میدان عددی جبری یک ناوردای عددیست که می توان به طور کلی و نا دقیق آن را نشان دهنده ی اندازه ی حلقه اعداد صحیح یک میدان عددی بر شمرد. در حقیقت این ناوردا متناسب با مربع حجم ناحیه بنیادی حلقه اعداد صحیح میدان عددی مورد نظر بوده و نشان می دهد که کدام اول ها منشعب (ramify) شده اند.
اگر K یک میدان عددی باشد و Ok حلقه اعداد صحیح آن باشد، آنگاه مشخصه K، مربع دترمینان ماتریسی است که درایه های آن از نشاندن اعضای پایه های Ok در میدان اعداد مختلط بدست می آید.
پ. ن: اگر متوجه بیشتر مطالب فوق نشدید بسیار طبیعیست و جای نگرانی ندارد، پیش نیاز های این مطالب بسیار زیبا و عمیق را در هزاران پست آینده شرح خواهم داد! (🤪👀😁)
پ.ن: conductor را به "رسانا" معادل سازی کردم. اطلاعی از معادل سازی جا افتاده یا رسمی این کلمه در هندسه جبری و خم های بیضوی ندارم.
#MojeeNC
@harmoniclib
(هشدار)👻☠️: این پست حاوی مطالب دردناک فکریست!
همانطور که در پست پیشین اشاره کردم، حدس Szpiro را با کمی تغییر می توان معادل با حدس abc کرد. اما حدس Szpiro چیست؟ این حدس در شاخه نظریه اعداد قرار دارد و رسانا (conductor) و مشخصه (discriminant ) یک خم بیضوی را به هم ارتباط می دهد. این حدس را ابتدا ریاضیدان فرانسوی، Lucien Szpiro در دهه 1980 فرموله کرد. وی در 18 آوریل 2020 فوت کرد.
فعلاً وارد صورت فنی این حدس نمی شویم. به این بهانه دو مفهوم رسانا و مشخصه یک خم بیضوی را باید بررسی کنیم. از آنجا که مفهوم رسانا بحث مفصل تر و سنگین تری را می طلبد پس فعلاً به مفهوم مشخصه می پردازیم.
مشخصه یا Δ را از دبیرستان به یاد داریم. تعمیم های این مشخصه به دو دسته زیر طبقه بندی می شوند:
-مشخصه یک میدان عددی جبری
-مشخصه بر اساس ضرایب چند جمله ای
دسته دوم تعمیم همان Δ یی است که در دبیرستان برای چند جمله ای های درجه دو محاسبه می کردیم، به گونه ای که مقدار آن وابسته به ضرایب چند جمله ای بود و به کمک آن می توانستیم به مشخصات ریشه های آن پی ببریم. حال، اگر چند جمله ای چند متغیره باشد این مشخصه هم دیگر عدد ثابت نخواهد بود و تحلیل آن پیچیده تر می شود.
اما مشخصه میدان عددی جبری بحث مفصلی می طلبد که بستگی به آشنایی شما با نظریه جبری اعداد دارد. این مشخصه یکی از بنیادی ترین ناورداهای یک میدان عددیست که در چندین فرمول مهم چون معادله تابعی تابع زتای ددکیند و فرمول تحلیلی class number برای یک میدان عددی K ظاهر می شود.
قضیه Hermite-Minkowski بیان می دارد که تنها تعداد متناهی میدان عددی با مشخصه کوچکتر مساوی عدد صحیح دلخواهی چون N وجود دارند، ولی تعیین تعدادشان هنوز یک مسئله باز و حل نشده است.
در حقیقت مشخصه یک میدان عددی جبری یک ناوردای عددیست که می توان به طور کلی و نا دقیق آن را نشان دهنده ی اندازه ی حلقه اعداد صحیح یک میدان عددی بر شمرد. در حقیقت این ناوردا متناسب با مربع حجم ناحیه بنیادی حلقه اعداد صحیح میدان عددی مورد نظر بوده و نشان می دهد که کدام اول ها منشعب (ramify) شده اند.
اگر K یک میدان عددی باشد و Ok حلقه اعداد صحیح آن باشد، آنگاه مشخصه K، مربع دترمینان ماتریسی است که درایه های آن از نشاندن اعضای پایه های Ok در میدان اعداد مختلط بدست می آید.
پ. ن: اگر متوجه بیشتر مطالب فوق نشدید بسیار طبیعیست و جای نگرانی ندارد، پیش نیاز های این مطالب بسیار زیبا و عمیق را در هزاران پست آینده شرح خواهم داد! (🤪👀😁)
پ.ن: conductor را به "رسانا" معادل سازی کردم. اطلاعی از معادل سازی جا افتاده یا رسمی این کلمه در هندسه جبری و خم های بیضوی ندارم.
#MojeeNC
@harmoniclib
❤3
فروش کتاب چاپ ۷۴
دو جلد حسابان لیتهولد
کاملا نو
قیمت 800 تومان
جهت خرید به آیدی
👇👇👇
@meisami_mah
پیام دهید.
دو جلد حسابان لیتهولد
کاملا نو
قیمت 800 تومان
جهت خرید به آیدی
👇👇👇
@meisami_mah
پیام دهید.
❤2
«تورینگ و دایره های اسرار آمیز»
چندی پیش بود که پستی در ارتباط با مفهوم مشترکی بین ریاضیات محض و علوم کامپیوتر (بحث تصمیم پذیری) گذاشتم. چند روز پیش هم خبری در وبسایت علمی خارجی دیدم که برایم جالب بود و به یکی از مردان شگفت انگیز علوم کامپیوتر (آلان تورینگ) ارتباط پیدا می کرد. همینطور این خبر حاوی عکسی بود که اولین بار در مستند بسیار شگفت انگیز Planet Earth دیده بودم. توضیح مختصری در مورد این مستند می دهم و وارد بحث این دایره های اسرار آمیز و در نهایت بحث الگوی تورینگ می شوم.
چند سال پیش بود که مجموعه مستند های بسیار شگفت انگیز Planet Earth 1,2 و Blue Planet 1,2 (چهار فصل که هر کدام حاوی چند قسمت می باشد) را با کیفیت بالا دانلود و چند بار مشاهده کردم. به گونه ای تحت تأثیر قرار گرفتم که تکه هایی از آن را آن زمان تبدیل به کلیپ های کم حجم کردم و برای دوستانم فرستادم. بعد ها دیدم که در وبسایت های سینمایی جهان جزو اولین و بهترین سریال های تاریخ تبدیل گشته اند! که به حق شایسته ی این عنوان هستند. یکی از حماسی ترین صحنه ها مربوط به آهنگ حماسی زیمر در صحنه امواج سهمناک و هولناک جنوب اسپانیا بود. اگر بخواهیم نکات علمی این مستند ها را نام بریم و مورد دقت قرار بدهیم خود بحثی مفصل می طلبد. بگذریم.
امروز صحنه دایره های اسرار آمیز دشتی در افریقا که در این مستند دیده بودم را مشاهده کردم و کنجکاو شدم تا خبر را بیشتر مورد دقت قرار دهم. بخصوص که عنوان آن این بود: "دایره های اسرار آمیز درون صحرای بزرگ افریقا توسط نظریه آلان تورینگ، 70 سال پیش توضیح داده شده است".
این ریاضیدان در 1952 با نظریه خود یعنی "الگوی تورینگ" توانست فهم انسان ها را در رابطه با زیست شناسی متحول نماید.
به طور خلاصه این نظریه که نظریه ای در ارتباط با سامانه های واکنشی-انتشاری است مدل مهمی را در زیست شناسی نظری معرفی می کند. سامانه های واکنشی-انتشاری به عنوان مدل اولیه ای برای تشکیل الگو، علاقه مندی های زیادی را به سمت خود جذب نموده است. الگوهایی چون جبه ها (مرز بین حالت های مختلف یک سیستم مثل جبه های هوا در هواشناسی)، شش گوشه ها، مارپیچ ها، راه راه ها و سولیتون های اتلافی یا میرا (سولیتون ها امواج مادی هستند که در فیزیک حالت جامد مورد مطالعه قرار می گیرند. این الگوها از حل معادلات واکنشی-انتشاری تورینگ-مانند ظهور پیدا می کنند.
در مدل تورینگ، دو ماده P و S که به طور همگن پراکنده گشته اند، برای تولید یک الگوی پایدار طی فرآیند شکل زایی با هم برهمکنش می کنند. این الگوها موجب ایجاد مناطقی از این دو ماده می شود که از نظر غلظت با هم تفاوت پیدا می کنند. در نهایت این برهمکنش موجب تولید ساختار منظمی از دل بی نظمی می گردد.
حال برخی از دانشمندان دایره های اسرار آمیز آن دشت در افریقا را به این نظریه ارتباط می دهند. در تصاویر ضمیمه این پست می توانید الگوی تورینگ بدن یک ماهی بزرگ از نوع Pufferfish و همچنین تصاویری از کف آن دشت و الگوها و همچنین تصاویر حاصل از شبیه سازی کامپیوتری الگوی تورینگ و همچنین تصویری از کاربرد الگوی تورینگ در زیست نظری را مشاهده کنید. در یکی از تصاویر، مراحل جوانه زنی اعضای بدن چهار موجود را مشاهده می کنید که با زیست تکوینی و شاخه های دیگر زیست شناسی ارتباط پیدا کرده، همچنین کنار هر کدام تصویر شماتیک الگوی تورینگی که طبیعت به کار برده را مشاهده می کنید. البته بحث الگوهای تورینگ نیاز به تفصیل بیشتری در آینده می باشد.
در نهایت باید گفت که ترکیب ریاضی-فیزیک-زیست-کامپیوتر به هدف کشف راز های طبیعت در زیست شناسی و دستیابی به ابزار های قدرتمند در زمینه سلامتی و دستکاری و ساخت موجودات جدید... دنیای بسیار زیبا و بزرگیست که در صورت امکان در آینده بدان خواهم پرداخت.
پ. ن:
نام دایره ها و محل آن در افریقا:
Fairy Circles in Namibia
#MojeeNC
@harmoniclib
چندی پیش بود که پستی در ارتباط با مفهوم مشترکی بین ریاضیات محض و علوم کامپیوتر (بحث تصمیم پذیری) گذاشتم. چند روز پیش هم خبری در وبسایت علمی خارجی دیدم که برایم جالب بود و به یکی از مردان شگفت انگیز علوم کامپیوتر (آلان تورینگ) ارتباط پیدا می کرد. همینطور این خبر حاوی عکسی بود که اولین بار در مستند بسیار شگفت انگیز Planet Earth دیده بودم. توضیح مختصری در مورد این مستند می دهم و وارد بحث این دایره های اسرار آمیز و در نهایت بحث الگوی تورینگ می شوم.
چند سال پیش بود که مجموعه مستند های بسیار شگفت انگیز Planet Earth 1,2 و Blue Planet 1,2 (چهار فصل که هر کدام حاوی چند قسمت می باشد) را با کیفیت بالا دانلود و چند بار مشاهده کردم. به گونه ای تحت تأثیر قرار گرفتم که تکه هایی از آن را آن زمان تبدیل به کلیپ های کم حجم کردم و برای دوستانم فرستادم. بعد ها دیدم که در وبسایت های سینمایی جهان جزو اولین و بهترین سریال های تاریخ تبدیل گشته اند! که به حق شایسته ی این عنوان هستند. یکی از حماسی ترین صحنه ها مربوط به آهنگ حماسی زیمر در صحنه امواج سهمناک و هولناک جنوب اسپانیا بود. اگر بخواهیم نکات علمی این مستند ها را نام بریم و مورد دقت قرار بدهیم خود بحثی مفصل می طلبد. بگذریم.
امروز صحنه دایره های اسرار آمیز دشتی در افریقا که در این مستند دیده بودم را مشاهده کردم و کنجکاو شدم تا خبر را بیشتر مورد دقت قرار دهم. بخصوص که عنوان آن این بود: "دایره های اسرار آمیز درون صحرای بزرگ افریقا توسط نظریه آلان تورینگ، 70 سال پیش توضیح داده شده است".
این ریاضیدان در 1952 با نظریه خود یعنی "الگوی تورینگ" توانست فهم انسان ها را در رابطه با زیست شناسی متحول نماید.
به طور خلاصه این نظریه که نظریه ای در ارتباط با سامانه های واکنشی-انتشاری است مدل مهمی را در زیست شناسی نظری معرفی می کند. سامانه های واکنشی-انتشاری به عنوان مدل اولیه ای برای تشکیل الگو، علاقه مندی های زیادی را به سمت خود جذب نموده است. الگوهایی چون جبه ها (مرز بین حالت های مختلف یک سیستم مثل جبه های هوا در هواشناسی)، شش گوشه ها، مارپیچ ها، راه راه ها و سولیتون های اتلافی یا میرا (سولیتون ها امواج مادی هستند که در فیزیک حالت جامد مورد مطالعه قرار می گیرند. این الگوها از حل معادلات واکنشی-انتشاری تورینگ-مانند ظهور پیدا می کنند.
در مدل تورینگ، دو ماده P و S که به طور همگن پراکنده گشته اند، برای تولید یک الگوی پایدار طی فرآیند شکل زایی با هم برهمکنش می کنند. این الگوها موجب ایجاد مناطقی از این دو ماده می شود که از نظر غلظت با هم تفاوت پیدا می کنند. در نهایت این برهمکنش موجب تولید ساختار منظمی از دل بی نظمی می گردد.
حال برخی از دانشمندان دایره های اسرار آمیز آن دشت در افریقا را به این نظریه ارتباط می دهند. در تصاویر ضمیمه این پست می توانید الگوی تورینگ بدن یک ماهی بزرگ از نوع Pufferfish و همچنین تصاویری از کف آن دشت و الگوها و همچنین تصاویر حاصل از شبیه سازی کامپیوتری الگوی تورینگ و همچنین تصویری از کاربرد الگوی تورینگ در زیست نظری را مشاهده کنید. در یکی از تصاویر، مراحل جوانه زنی اعضای بدن چهار موجود را مشاهده می کنید که با زیست تکوینی و شاخه های دیگر زیست شناسی ارتباط پیدا کرده، همچنین کنار هر کدام تصویر شماتیک الگوی تورینگی که طبیعت به کار برده را مشاهده می کنید. البته بحث الگوهای تورینگ نیاز به تفصیل بیشتری در آینده می باشد.
در نهایت باید گفت که ترکیب ریاضی-فیزیک-زیست-کامپیوتر به هدف کشف راز های طبیعت در زیست شناسی و دستیابی به ابزار های قدرتمند در زمینه سلامتی و دستکاری و ساخت موجودات جدید... دنیای بسیار زیبا و بزرگیست که در صورت امکان در آینده بدان خواهم پرداخت.
پ. ن:
نام دایره ها و محل آن در افریقا:
Fairy Circles in Namibia
#MojeeNC
@harmoniclib
❤2
❤4
کانال مرزهای علم به منظور آگاهی بخشی پیرامون آخرین دستآوردها، پیشرفتها و جدیدترین زمینههای مطالعاتی در علم از ریاضی، فیزیک، شیمی و زیستشناسی گرفته تا حوزههای مختلف فناوریهای جدید، شکل گرفته است.
👇👇👇
@sciencefrontiers
👇👇👇
@sciencefrontiers
❤4
به نقل از صفحه خانم یلدا ابتهاج:
زمانی که دکتر هوشیار از فلسفه ارزش ها و چگونگی ارتقای انسان از مرحله ی غریزی به مرحله ی عرفانی سخن می گفت، مرا متوجه نقش بسیار مهم تعلیم و تربیت کرد.فکر کردم طی این مسیر، برای هر انسانی چه قدر می تواند سازنده و کامل کننده باشد. به خود گفتم تعلیم و تربیت ، دریایی از اندیشه ، کار و حرکت است که دوست دارم در آن شناگر باشم.
برای هرکس در زندگی فرصت های خودشناسی به وجود می آید. این فرصت ها در ایران برای من به وجود آمده بود و در واقع دکتر محمدباقر هوشیار و جبار باغچه بان به من فهماندند که اهل تعلیم و تربیت هستم.
الان هم همین طور است. بچه ها در دبیرستان همه چیز می خوانند، ولی فرصت این که بفهمند «ماهی کدام آب اند» را پیدا نمیکنند.
#توران_میرهادی
@harmoniclib
زمانی که دکتر هوشیار از فلسفه ارزش ها و چگونگی ارتقای انسان از مرحله ی غریزی به مرحله ی عرفانی سخن می گفت، مرا متوجه نقش بسیار مهم تعلیم و تربیت کرد.فکر کردم طی این مسیر، برای هر انسانی چه قدر می تواند سازنده و کامل کننده باشد. به خود گفتم تعلیم و تربیت ، دریایی از اندیشه ، کار و حرکت است که دوست دارم در آن شناگر باشم.
برای هرکس در زندگی فرصت های خودشناسی به وجود می آید. این فرصت ها در ایران برای من به وجود آمده بود و در واقع دکتر محمدباقر هوشیار و جبار باغچه بان به من فهماندند که اهل تعلیم و تربیت هستم.
الان هم همین طور است. بچه ها در دبیرستان همه چیز می خوانند، ولی فرصت این که بفهمند «ماهی کدام آب اند» را پیدا نمیکنند.
#توران_میرهادی
@harmoniclib
❤10👏1
جهت تبلیغات در
کانال
اخبار و کتابهای ریاضی
@harmoniclib
و یا
گروه
ارشد و دکتری ریاضی
@arshadoct
به آی دی زیر پیام دهید.
👇👇👇👇👇👇
@meisami_mah
کانال
اخبار و کتابهای ریاضی
@harmoniclib
و یا
گروه
ارشد و دکتری ریاضی
@arshadoct
به آی دی زیر پیام دهید.
👇👇👇👇👇👇
@meisami_mah
❤1
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
آموزش مشتق گیری پارامتری با یک مثال
@harmoniclib
@harmoniclib
❤7
Audio
#رادیو_ریاضی
با آقای مجتبی کریم دخت
#MojeeNC
جلسه اول
از
1⃣فضای ریاضی شیراز
2⃣نظریه تحلیلی اعداد
3⃣مشکلات آموزش ریاضی
4⃣مشکلات تحصیلات تکمیلی رشته ریاضی
5⃣دانشگاه تربیت مدرس
گپ زدیم.
@harmoniclib
با آقای مجتبی کریم دخت
#MojeeNC
جلسه اول
از
1⃣فضای ریاضی شیراز
2⃣نظریه تحلیلی اعداد
3⃣مشکلات آموزش ریاضی
4⃣مشکلات تحصیلات تکمیلی رشته ریاضی
5⃣دانشگاه تربیت مدرس
گپ زدیم.
@harmoniclib
❤5
«قضیه ناپلئون و اعداد مختلط»
در پادکست اول از صحبت هایم در سلسله برنامه های "رادیو ریاضی" گوشه چشمی به کتاب هندسه اعداد مختلط از لیانگ-شین هاهن داشتم. این کتاب یک دید شهودی و خوب به خواننده خود جهت فهم اعداد مختلط از دریچه هندسه مسطحه می دهد. مثلاً در عکس های ضمیمه ی این پست، شکل و فرمول های مربوط به اثبات قضیه ی ناپلئون به کمک اعداد مختلط و همچنین چند فرمول دیگر برای فهم بهتر آن نشان داده شده است. در ادامه ابتدا مقدمه ای در مورد این قضیه زیبا گفته، سپس به شرح اثبات آن به کمک اعداد مختلط، و چند نکته اضافه تر می پردازم.
صورت قضیه می گوید: اگر بر رو اضلاع یک مثلث دلخواه، مثلث های متساوی الاضلاعی بسازیم (چه از داخل، چه خارج)، سپس مراکز آن ها را به هم وصل کنیم، مثلث جدیدی شکل می گیرد که آن نیز متساوی الاضلاع می باشد.
به مثلث های حاصل، مثلث ناپلئون (داخلی/خارجی) می گویند. تفاضل مساحت این دو مثلث (داخلی و خارجی) برابر با مساحت مثلث اولیه می باشد.
این قضیه را به ناپلئون بناپارت (1769-1821) نسبت می دهند، که البته به دلیل این که بعید است حاکمان و ظالمان در طول تاریخ انسان های اندیشمند و اهل علمی باشند (به علاوه دلایل محکم دیگری که در مقالات مختلف بدان اشاره گشته است)، لذا عده زیادی به این که ناپلئون از هندسه سر در می آورده و این قضیه را اثبات کرده باشد عمیقاً شک کرده و برخی پیشنهاد کرده اند که این سؤال احتمالاً بر می گردد به زمان رادرفورد در 1825 که آن سؤال را در "The Ladies Diary"، چهار سال پس از مرگ ناپلئون منتشر کرد. اما از طرفی نتیجه این قضیه در قالب سه سؤال در آزمون مدال طلای دوبلین در اکتبر 1820 نیز مطرح گشته، یعنی قبل از مرگ ناپلئون در ماه می 1821.
اثبات های زیادی برای این قضیه وجود دارد که شامل اثبات بدون استفاده از محور مختصات، اثبات به کمک توابع مثلثاتی و اثبات به روش تقارن می شود. اما در اینجا به اثبات آن به کمک اعداد مختلط می پردازیم.
برای سهولت تصاویر ضمیمه را با رنگ قرمز شماره گذاری کردم. در تصویر شماره 1 سمت چپ، صورت قضیه رسم شده که نیاز به توضیح خاصی ندارد. شکل سمت راست ریشه سوم واحد هست که با اومگای کوچک و اومگا دو نمایش داده شده است که خود یک مثلث متساوی الاضلاع تشکیل می دهد.
در تصویر شماره 5 گفته شده که اگر مثلث z1z2z3 متساوی الاضلاع باشد آنگاه در این شرایط صدق کرده. همان طور که در فرمول تصویر شماره 5 مشاهده می کنید، نقاط رئوس مثلث با نقاط مثلث اومگا ضربی شبیه به ضرب اسکالر تشکیل داده است. از همین نکته استفاده می کنیم و این حقیقت که مثلث های تشکیل شده بر روی اضلاع مثلث z1z2z3 متساوی الاضلاع هستند استفاده کرده و به معادلات شکل 2 می رسیم.
در تصویر شماره 3، زتای 1 و 2 و 3، مراکز مثلث های تشکیل شده بر روی اضلاع مثلث z1z2z3 می باشند. صفر شدن فرمول تصویر 3 نشان دهنده ی متساوی الاضلاع بودن مثلث ناپلئون بیرونی می باشد. بررسی جزئیات آن را بر عهده شما می گذارم.
فرمول شماره چهار نشان دهنده ی شرط کلی تشابه دو مثلث به زبان مختلط می باشد. در نهایت فرمول شماره 6 اشانتیوم است! در قسمت بالای آن z متغیر است و مکان هندسی عمود منصف حاصل از پاره خط واصل بین گاما و بتاست. به همین ترتیب عمود منصف بین گاما و آلفا و همچنین بین آلفا و بتا را نیز بدست آورده. در نهایت فرمول ترسناک مختصات مرکز مثلث حاصل از آلفا-بتا-گاما را بدست آورده است.
برای مطالعه بیشتر به کتاب مذکور رجوع کنید.
پ.ن: تصاویر از کتاب مذکور برش داده شده و بعضاً به هم چسباندم.
#MojeeNC
@harmoniclib
در پادکست اول از صحبت هایم در سلسله برنامه های "رادیو ریاضی" گوشه چشمی به کتاب هندسه اعداد مختلط از لیانگ-شین هاهن داشتم. این کتاب یک دید شهودی و خوب به خواننده خود جهت فهم اعداد مختلط از دریچه هندسه مسطحه می دهد. مثلاً در عکس های ضمیمه ی این پست، شکل و فرمول های مربوط به اثبات قضیه ی ناپلئون به کمک اعداد مختلط و همچنین چند فرمول دیگر برای فهم بهتر آن نشان داده شده است. در ادامه ابتدا مقدمه ای در مورد این قضیه زیبا گفته، سپس به شرح اثبات آن به کمک اعداد مختلط، و چند نکته اضافه تر می پردازم.
صورت قضیه می گوید: اگر بر رو اضلاع یک مثلث دلخواه، مثلث های متساوی الاضلاعی بسازیم (چه از داخل، چه خارج)، سپس مراکز آن ها را به هم وصل کنیم، مثلث جدیدی شکل می گیرد که آن نیز متساوی الاضلاع می باشد.
به مثلث های حاصل، مثلث ناپلئون (داخلی/خارجی) می گویند. تفاضل مساحت این دو مثلث (داخلی و خارجی) برابر با مساحت مثلث اولیه می باشد.
این قضیه را به ناپلئون بناپارت (1769-1821) نسبت می دهند، که البته به دلیل این که بعید است حاکمان و ظالمان در طول تاریخ انسان های اندیشمند و اهل علمی باشند (به علاوه دلایل محکم دیگری که در مقالات مختلف بدان اشاره گشته است)، لذا عده زیادی به این که ناپلئون از هندسه سر در می آورده و این قضیه را اثبات کرده باشد عمیقاً شک کرده و برخی پیشنهاد کرده اند که این سؤال احتمالاً بر می گردد به زمان رادرفورد در 1825 که آن سؤال را در "The Ladies Diary"، چهار سال پس از مرگ ناپلئون منتشر کرد. اما از طرفی نتیجه این قضیه در قالب سه سؤال در آزمون مدال طلای دوبلین در اکتبر 1820 نیز مطرح گشته، یعنی قبل از مرگ ناپلئون در ماه می 1821.
اثبات های زیادی برای این قضیه وجود دارد که شامل اثبات بدون استفاده از محور مختصات، اثبات به کمک توابع مثلثاتی و اثبات به روش تقارن می شود. اما در اینجا به اثبات آن به کمک اعداد مختلط می پردازیم.
برای سهولت تصاویر ضمیمه را با رنگ قرمز شماره گذاری کردم. در تصویر شماره 1 سمت چپ، صورت قضیه رسم شده که نیاز به توضیح خاصی ندارد. شکل سمت راست ریشه سوم واحد هست که با اومگای کوچک و اومگا دو نمایش داده شده است که خود یک مثلث متساوی الاضلاع تشکیل می دهد.
در تصویر شماره 5 گفته شده که اگر مثلث z1z2z3 متساوی الاضلاع باشد آنگاه در این شرایط صدق کرده. همان طور که در فرمول تصویر شماره 5 مشاهده می کنید، نقاط رئوس مثلث با نقاط مثلث اومگا ضربی شبیه به ضرب اسکالر تشکیل داده است. از همین نکته استفاده می کنیم و این حقیقت که مثلث های تشکیل شده بر روی اضلاع مثلث z1z2z3 متساوی الاضلاع هستند استفاده کرده و به معادلات شکل 2 می رسیم.
در تصویر شماره 3، زتای 1 و 2 و 3، مراکز مثلث های تشکیل شده بر روی اضلاع مثلث z1z2z3 می باشند. صفر شدن فرمول تصویر 3 نشان دهنده ی متساوی الاضلاع بودن مثلث ناپلئون بیرونی می باشد. بررسی جزئیات آن را بر عهده شما می گذارم.
فرمول شماره چهار نشان دهنده ی شرط کلی تشابه دو مثلث به زبان مختلط می باشد. در نهایت فرمول شماره 6 اشانتیوم است! در قسمت بالای آن z متغیر است و مکان هندسی عمود منصف حاصل از پاره خط واصل بین گاما و بتاست. به همین ترتیب عمود منصف بین گاما و آلفا و همچنین بین آلفا و بتا را نیز بدست آورده. در نهایت فرمول ترسناک مختصات مرکز مثلث حاصل از آلفا-بتا-گاما را بدست آورده است.
برای مطالعه بیشتر به کتاب مذکور رجوع کنید.
پ.ن: تصاویر از کتاب مذکور برش داده شده و بعضاً به هم چسباندم.
#MojeeNC
@harmoniclib
👍4❤1👏1
🔥3