#красота_спасет_мир

Подошла к концу олимпиада ЮМШ 🥇 Публикуем задачку, которая предлагалась в девятом классе 🔥

Задача. Дан вписанный выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 выбраны на прямых 𝐴𝐷, 𝐴𝐵, 𝐶𝐵, 𝐷𝐶 так, что 𝑃𝑄 ⊥ 𝐴𝐵, 𝑄𝑅 ⊥ 𝐵𝐶, 𝑅𝑆 ⊥ 𝐶𝐷 и 𝑆𝑃 ⊥ 𝐷𝐴. Оказалось, что четырёхугольники 𝑃𝑄𝑅𝑆 и 𝐴𝐵𝐶𝐷 (соответственно) подобны. Докажите, что центр описанной окружности четырёхугольника 𝑃𝑄𝑅𝑆 — это точка пересечения диагоналей 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Олимпиада ЮМШ 10 класс. Точки P и Q изогонально сопряжены в правильном треугольнике ABC с центром O. Оказалось, что угол POQ = 90.  Докажите, что PQ касается описанной окружности треугольника ABC.

продолжение истории: https://tttttt.me/olympgeom/1573

Можно ли в плоскости прорезать тонкое отверстие, не разбивающее ее на части, через которое можно продеть каркас: a) куба; b) тетраэдра? (Ребра каркаса считаются сколь угодно тонкими)

Есть следующая простая (и хорошая) планиметрическая задача Микеля. На каждой стороне треугольника взята точка, отличная от вершин. Тогда три окружности, каждая из которых проходит через вершину треугольника и две точки, взятые на сторонах, выходящих из нее, пересекаются в одной точке.

Имеет место быть и такой трехмерный аналог. На каждом ребре тетраэдра взята точка, отличная от вершин. Тогда четыре сферы, каждая из которых проходит через вершину тетраэдра и три точки, взятые на ребрах, выходящих из нее, пересекаются в одной точке.

Листочек на инверсию. Наверное не сильно оригинальный.

Дан треугольник ABC из каждой вершины провели красную и синию прямые, которые симметричны относительно биссектрис соответствующих углов. Оказалось, что они образовали два не равных треугольника с общим ортоцентром. Докаите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку на описанной окружности исходного.

Дан треугольник ABC. Пусть K -- точка касания вписанной окружности со стороной AC. Докажите, что окружности, касающиеся описанной окружности треугольника ABC, луча BK и продолжений AC за точки A и С, равны.