Forwarded from Фулл и точка
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
#колм
Публикуем задачи первого тура кубка Колмогорова. Обсудить их вы можете в комментариях👇
Задача. Внутри остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 60°, выбирается переменная точка 𝑃 так, что ∠𝐵𝑃𝐶 = 120°. Точки 𝑃₂, 𝑃₃ симметричны точке 𝑃 относительно сторон 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 соответственно. Прямые 𝐵𝑃₂ , 𝐶𝑃₃ пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑃𝑄 проходит через точку, отличную от 𝐴 и не зависящую от выбора 𝑃 .
Публикуем задачи первого тура кубка Колмогорова. Обсудить их вы можете в комментариях👇
Задача. Внутри остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 60°, выбирается переменная точка 𝑃 так, что ∠𝐵𝑃𝐶 = 120°. Точки 𝑃₂, 𝑃₃ симметричны точке 𝑃 относительно сторон 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 соответственно. Прямые 𝐵𝑃₂ , 𝐶𝑃₃ пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑃𝑄 проходит через точку, отличную от 𝐴 и не зависящую от выбора 𝑃 .
Forwarded from Фулл и точка
#колм
Сегодня на кубке Колмогорова 🏆 прошли вторые туры матбоев. Присоединяйтесь к обсуждению матчей и задач в комментариях👇
Задача. Точки 𝐻 и 𝑂 – ортоцентр и центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Точки 𝑃 и 𝑄 выбраны на описанной окружности 𝜔 так, что ∠𝐵𝑃𝐻 = ∠𝐶𝑄𝐻 = 90°. Пусть прямая 𝑃𝑄 пересекает касательную к 𝜔, проведенную в точке 𝐴, в точке 𝑆, а отрезки 𝑂𝑃 и 𝑂𝑄 пересекают отрезки 𝐵𝐻 и 𝐶𝐻 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что 𝑂𝑆 ‖ 𝑋𝑌.
Сегодня на кубке Колмогорова 🏆 прошли вторые туры матбоев. Присоединяйтесь к обсуждению матчей и задач в комментариях👇
Задача. Точки 𝐻 и 𝑂 – ортоцентр и центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Точки 𝑃 и 𝑄 выбраны на описанной окружности 𝜔 так, что ∠𝐵𝑃𝐻 = ∠𝐶𝑄𝐻 = 90°. Пусть прямая 𝑃𝑄 пересекает касательную к 𝜔, проведенную в точке 𝐴, в точке 𝑆, а отрезки 𝑂𝑃 и 𝑂𝑄 пересекают отрезки 𝐵𝐻 и 𝐶𝐻 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что 𝑂𝑆 ‖ 𝑋𝑌.
Forwarded from Фулл и точка
#колм #красота_спасет_мир
Подошел к концу третий день турнира Колмогорова, и мы, как обычно, радуем вас задачами с него 💥
Задача. На сторонах 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐴₁, 𝐵₁ и 𝐶₁ соответственно. Четырёхугольники 𝐴𝐵₁𝐴₁𝐶₁, 𝐵𝐶₁𝐵₁𝐴₁ и 𝐶𝐴₁𝐶₁𝐵₁ описаны около окружностей с центрами 𝐼𝑎, 𝐼𝑏 и 𝐼𝑐 соответственно. Докажите, что площади треугольников 𝐴₁𝐵₁𝐶₁ и 𝐼𝑎𝐼𝑏𝐼𝑐 отличаются в четыре раза.
Подошел к концу третий день турнира Колмогорова, и мы, как обычно, радуем вас задачами с него 💥
Задача. На сторонах 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐴₁, 𝐵₁ и 𝐶₁ соответственно. Четырёхугольники 𝐴𝐵₁𝐴₁𝐶₁, 𝐵𝐶₁𝐵₁𝐴₁ и 𝐶𝐴₁𝐶₁𝐵₁ описаны около окружностей с центрами 𝐼𝑎, 𝐼𝑏 и 𝐼𝑐 соответственно. Докажите, что площади треугольников 𝐴₁𝐵₁𝐶₁ и 𝐼𝑎𝐼𝑏𝐼𝑐 отличаются в четыре раза.