Часто ситуации, когда прямые можно "искривлять"
в коники, сохраняя дважды касание,
объясняются таким соображением:

Лемма (пучок, дважды касающемя сокружности в данных точках,
или обобщенная директриса для окружности и прямой).

Пусть коника $\omega = 0$ пересекает прямую $l=0$ в точках $A$ и $B$. Тогда коники, касающиеся $\omega = 0$ в точках $A$ и $B$ --- это пучок $\omega + \lambda l^2 = 0$.
(если $\omega$ --- окружность, то тут написано гмт $X$, для которых отношение $pow (X, \omega)$ к расстоянию от $X$ до $l$ равно const )

=========

Из этого утверждение следует в одну строчку:
Скажем, у нас пересекаются эллипсы $\omega + \lambda_1 l_1^2 = 0$ и
$\omega + \lambda_2 l_2^2 = 0$. Через точки их пересечения проходит вырожденная коника (пара прямых) $\lambda_1 l_1^2 - \lambda_2 l_1^2 = 0= 0$, которая, очевидно, проходит через
точку пересечения прямых $l_1=0$ и $l_2=0$.

=============

Еще о применении этого - напр. в последнем упражнении 17 статьи
https://www.mathnet.ru/links/be697473b64d836385257c3b19ae4332/kvant4535.pdf

============

Еще и еще ... - например, быстро решается задача Ф. Нилова
о параболическом 4-угольнике
https://www.mathnet.ru/links/c637ed850ac5245f76ddfe68fb2d9b99/mp254.pdf
Так:
Пусть $\omega = x^2+y^2-1$.
То, что $\omega - l_1^2 = 0$ --- параболического типа, задается условием $a_1^2+b^1=1$, где $l_1 = a_1x+b_1y+c_1$.
Аналогично для $l_2$. И отсюда получаем, что наша вырожденная коника (= пара диагоналей параболического 4-ка) $l_1^2-l_2^2 = 0$ --- это пара ортогональных прямых.

задача для начинающих от Vincent'а Pantaloni: чему равен угол? а почему?

(обе фигуры, которые выглядят как квадраты, — квадраты)

можно считать, что в продолжение предыдущего — коллега Бахарев поделился таким текстом

на сторонах остроугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построены треугольники ABC_1 и т.д., а во внутренную сторону — правильные треугольники с центрами N_A и т.д.

точка L_A делит отрезок AA_1 в отношении 1:2, считая от вершины и т.д.

доказать, что 7 точек: N_A, N_B, N_C, L_A, L_B, L_C и точка Торричелли T — лежат на одной окружности

(задача от М.Евдокимов с проходившего весной заочного конкурса учителей)

аналог предыдущей задачи:

построим на стронах четырехугольника во внешнюю сторону квадраты и соединим центры противоположных квадратов — тогда середины этих отрезков, их точка пересечения (а также аналогичная точка для квадратов, построенных внутрь), середины диагоналей лежат на одной окружности

В последний день весны Олимпиадная геометрия объявляет конкурс на стипендию для обучения в математическом кружке на ваш выбор в первом полугодии 2025/2026 учебного года (сентябрь — декабрь).

Размер стипендий:
• 🥇 1 место — 100% покрытия стоимости обучения
• 🥈 2 место — 70%
• 🥉 3 место — 30%

К участию приглашаются школьники, которые:

• уже начали изучать геометрию,
• не обучаются в выпускном классе (по российской системе — 8, 9 или 10 класс),
• хотят заниматься в действующем математическом кружке, у которого:
  — есть открытая страница в интернете (сайт, соцсеть или телеграм-канал),
  — кружок основан не в этом году,
  — указан список преподавателей и понятная система оплаты (цены указаны, есть контакт для связи).

Для участия необходимо до 15 июля 2025 года отправить письмо на olympiad.geom@gmail.com
Тема письма: [Фамилия Имя, город, класс]

Письмо должно содержать:
• Краткую информацию о себе: кто вы, в какой стране, городе и школе учитесь. (Можно указать достижения в математических соревнованиях но это не будет являться решающим фактором.)
• Мотивационное письмо — почему вам нужна стипендия.
• PDF-файл с тремя любимыми задачами по геометрии и их решениями. Не забудьте написать, почему вам нравятся эти задачи!
• Контактные данные преподавателей математики, которые могут вас порекомендовать (не забудьте заручиться их согласием). Сами рекомендательные письма присылать не нужно!

Важно:
Отправляя заявку, вы соглашаетесь, что в случае получения стипендии ваше имя может быть опубликовано в социальных сетях проекта Олимпиадная геометрия.

Подведение итогов: не позднее 15 августа

из типичной точки на кубике к этой кубике можно провести 4 касательных (возможно комплексных)

теорема Сальмона: если начать двигать точку, двойное отношение этих 4 касательных не будет меняться

(знаю возвышенное рассуждение, а у самого Сальмона было какое-то довольно элементарное, в котором не разбирался)

Задача 70:

Четырехугольник ABCD описан вокруг окружности с центром I. Пары лучей BA, CD и AD, BC пересекаются в точках E и F соответственно. O_F и O_E - центры (ABF) и (CBE) соответственно. Докажите, что угол DIO_F прямой тогда и только тогда, когда угол DIO_E прямой

Дан выпуклый пятиугольник A₁A₂A₃A₄A₅ такой, что Aᵢ₋₁Aᵢ₊₁ || Aᵢ₋₂Aᵢ₊₂ для любого i (все индексы по модулю 5).

Будем называть чевианой точки P из вершины Aᵢ — отрезок из Aᵢ с концом на прямой Aᵢ₋₂Aᵢ₊₂, содержащийся в прямой AᵢP.

Докажите, что существует такая точка P, для которой чевианы из всех вершин равны.

Источник. CAMO 2022/6.

Дан треугольник ABC с ортоцентром H. В него вписана окружность с центром в точке I, которая касается сторон BC, AC, AB в точках A_1, B_1, C_1 соответственно. Прямые A_1H и AI пересекаются в точке A_2. Аналогично определим точки B_2 и C_2. Докажите, что ортоцентр треугольника A_2B_2C_2 совпадает с H.

На плоскости нарисовано m синих и n красных окружностей, при этом любые окружности разных цветов касаются, а одинакового цвета - нет. Могут ли m и n быть равны a) 3 и 8; b) 3 и 9; c) 4 и 6; d) 4 и 7?

P.S. Выше картина В. Кандинского "Несколько кругов" 1926 г.

Дан треугольник ABC. В него вписана окружность с центром в точке I. К ней провели касательную, которая параллельна BC и выбрали на этой касательной точки U и V такие, что угол UIV = 90. Прямые IU и IV повторно пересекают окружность (AUV) в точках P и Q. Докажите, что точки O, P, Q лежат на одной прямой, где O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Обобщение теоремы Паскаля. Цветные фигуры — эллипсы.

добавлю к предыдущему утверждению вот какой контекст

на картинке (взятой у Мат. этюдов) — теорема Монжа (вот, кстати, еще подборка доказательств)

можно ли заменить в ней окружности на эллипсы? на произвольные нельзя, но можно — на эллипсы с общим фокусом

как и в многих других утверждениях, вместо фокуса можно рассматривать обобщенный фокус — окружность, дважды касающуюся эллипса (настоящий фокус получается, когда радиус этой окружности нулевой — это не так заметно, потому что точки касания при этом становятся комплексными)

вот такой родственник теоремы Монжа и нарисован на предыдущей картинке

upd: можно еще сказать, что это — гиперболическая версия теоремы Монжа (нарисованная в модели Клейна)

Задачи с турнира

В июне этого года прошел турнир имени Савина для школьников 7 и 8 классов. На нем ребята решали несколько моих задач. Предлагаю вам подумать над двумя из них.
Просьба: в комментах пишите только свои ответы:)

20 теорем об углах в треугольнике и не только

Увидел в ФБ такую вот коллекцию. Большая часть кажется весьма полезной, хотя и редко употребительной. Какие из «не школьной» части этого списка вы считаете самыми ценными?

Теорема Штейнера. На плоскости даны четыре прямые общего положения (никакие три не пересекаются в одной точки, никакие две не параллельны). Для каждой тройки прямых есть четыре окружности, которые их касаются. Таким образом, в общем случае получаем 16 окружностей, касающихся трех из четырех прямых. Тогда a) центры этих 16 окружностей лежат на 8 окружностях, по 4 центра на каждой.
b) среди этих 8 окружностей 4 лежат в одном пучке, а 4 оставшихся - в другом, перпендикулярном ему.

На картинке изображена одна четверка окружностей, центры которых лежат на одной окружности.

Есть ли что-то схожее в трехмерном пространстве для 5 плоскостей? Что будет, если исходные 4 прямые заменить на окружности?