Теорема Карно Штейнера.
Даны два треугольника ABC и A_1B_1C_1. Оказалось, что перпендикуляры из точек A_1,B_1,C_1 на прямые BC, AC, AB пересекаются в точке P. Докажите, что перпендикуляры из точек A, B, С на стороны B_1C_1, A_1C_1, A_1B_1 пересекаются в одной точке.

1. Дана бесконечно удаленная прямая и на ней некоторая проективная инволюция. Докажите, что после поворота на 90 градусов она останется проективной инволюцией.
2. Докажите прошлую задачу используя 1.

Дополнение к картинке К. Малевича.

Докажите, что если черный четырехугольник - квадрат, E и F - середины его сторон, то красный треугольник - правильный.

P.S. Хорошая учебная задача, которая следует из совпадения двух замечательных точек (центра описанной окружности и точки пересечения медиан) в красном треугольнике. А бывает ли так, что какие-то две замечательные точки совпадают, а треугольник - неправильный?

Давайте обсудим еще эту задачку)
1. Пусть дан шестиугольник ABCA_1B_1C_1 так, что никакие четыре точки не лежат на одной окружности, а прямые AA_1BB_1CC_1 пересекаются в одной точке. Что вы можете сказать про точки P такие, что окружности (APA_1), (BPB_1), (CPC_1) соосны.
2. Решите задачу используя 1.

Легко проверить, что если треугольник прямоугольный, то его полупериметр равен сумме диаметра описанной и радиуса вписанной окружностей. Попробуйте доказать геометрически обратное утверждение.

Разделить трапецию на рисунке а) на две подобных трапеции
б) на два подобных четырехугольника, не являющихся трапециями

Источник

Из четырех равных треугольников сложили выпуклый четырехугольник, у которого нет параллельных сторон. Какую форму могут иметь такие треугольники?