Задача В.В. Произволова.

Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. На катетах AC и BC взяли такие точки X и Y, что AX = BC и BY = CX. Найдите угол между прямыми BX и AY.

А вот такое интересное "доказательство" теоремы Монжа (о трех колпаках), говорят принадлежит Акопяну

Заметим, что точка пересечения общих внешних касательных к двум окружностям обладает тем свойством, что любая прямая, проходящая через эту точку составляет равный угол с этими двумя окружностями. При этом верно и обратное утверждение. Следовательно, прямая, проходящая через два центра гомотетии, составляет равные углы со всеми тремя окружностями, а значит проходит и через третий центр гомотетии.

а вот еще одно доказательство теоремы Монжа: https://dev.mccme.ru/~merzon/pscache/monge.html

Предыдущие упоминания теоремы о колпаках в нашем канале:

https://tttttt.me/geometrykanal/2122

https://tttttt.me/geometrykanal/1982

https://tttttt.me/geometrykanal/105

Steinbart teorem. Предлагается не двигать и не считать в синусах.

Cevian nest theorem.

если давно хотели изучить какое-нибудь доказательство теоремы Морли — то вот, например, свежий ролик: https://youtu.be/sfYUM20aAZA

Красиво вроде. Докажите, что красные окружности равны

Еще задача с тремя равными окружностями, но более простая. ELMO SL G2. Оказалось, что красные окружности равны. Надо доказать, что сумма радиусов красной и синий окружностей равна радиусу черной окружности.

Чешско-Австрийско-Польско-Словацкий матч 2024 (растут!)

В четырехугольнике ABCD
AB=BC=CD. На лучах CA и BD выбрали точки X и Y соответственно так, что BX=CY. Докажите, что середины BX, CY, DX, AY лежат на одной окружности.

Наверное уже была в этом канале, но как всегда можно придумать крутое доказательство, а не самое известное, которое конечно тоже крутое. Докажите, что фокус вписанной параболы в треугольник лежит на его описанной окружности

Сегодня много узнал о Паппе -- если почти ничего не знать, то иногда можно много узнать.

Не знал его теорему о площадях. Темная площадь (двух произвольных параллелограммов на двух сторонах треугольника) равна серой (площадь третьего, темного параллелограмма, построенного по двум темным) площади -- серый параллелограмм строится по темным строится на рисунке.

Простенька авторська.

Виявилося, що описане коло трикутника дотикається до описаного кола трикутника, сформованого стороною та двома серединними перпендикулярами до інших двох сторін. Доведіть що точка дотику цих кіл -- діаметрально протилежна до однієї з вершин.

Ладно в шортлисте IMO есть прям хорошая задача...

Тоже крепкий орешек по построению(ну или кто-то сроить не умеет).

IMO Shortlist 2023, G-3(https://www.geogebra.org/geometry/encgkzsy)

#IMOSL #IMOSL2023

Условия IMO-2024

Приятная задачка на теорему Пифагора. Чему равно расстояние до линии горизонта? Радиус Земли считать равным 6400 км, высоту глаз над уровнем моря 1,5 м. Покажите, что при увеличении высоты в x раз (например, если забраться на гору), расстояние до линии горизонта увеличивается примерно в корень из x раз.