Назовём стулом [невыпуклый] шестиугольник с 5 прямыми углами.

а) Найти хотя бы один стул, который можно разбить на три стула, подобные исходному.
б*) Найти все такие стулья.

// К.Кноп предложил в mathpuz@fb

Задача В.В. Произволова.

Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. На катетах AC и BC взяли такие точки X и Y, что AX = BC и BY = CX. Найдите угол между прямыми BX и AY.

А вот такое интересное "доказательство" теоремы Монжа (о трех колпаках), говорят принадлежит Акопяну

Заметим, что точка пересечения общих внешних касательных к двум окружностям обладает тем свойством, что любая прямая, проходящая через эту точку составляет равный угол с этими двумя окружностями. При этом верно и обратное утверждение. Следовательно, прямая, проходящая через два центра гомотетии, составляет равные углы со всеми тремя окружностями, а значит проходит и через третий центр гомотетии.

а вот еще одно доказательство теоремы Монжа: https://dev.mccme.ru/~merzon/pscache/monge.html

Предыдущие упоминания теоремы о колпаках в нашем канале:

https://tttttt.me/geometrykanal/2122

https://tttttt.me/geometrykanal/1982

https://tttttt.me/geometrykanal/105

Steinbart teorem. Предлагается не двигать и не считать в синусах.

Cevian nest theorem.

Вот картинка, которая сразу решает задачу. При этом объясняет почему эта теорема очень крутая...

если давно хотели изучить какое-нибудь доказательство теоремы Морли — то вот, например, свежий ролик: https://youtu.be/sfYUM20aAZA

Красиво вроде. Докажите, что красные окружности равны

Еще задача с тремя равными окружностями, но более простая. ELMO SL G2. Оказалось, что красные окружности равны. Надо доказать, что сумма радиусов красной и синий окружностей равна радиусу черной окружности.

Чешско-Австрийско-Польско-Словацкий матч 2024 (растут!)

В четырехугольнике ABCD
AB=BC=CD. На лучах CA и BD выбрали точки X и Y соответственно так, что BX=CY. Докажите, что середины BX, CY, DX, AY лежат на одной окружности.

Наверное уже была в этом канале, но как всегда можно придумать крутое доказательство, а не самое известное, которое конечно тоже крутое. Докажите, что фокус вписанной параболы в треугольник лежит на его описанной окружности

Сегодня много узнал о Паппе -- если почти ничего не знать, то иногда можно много узнать.

Не знал его теорему о площадях. Темная площадь (двух произвольных параллелограммов на двух сторонах треугольника) равна серой (площадь третьего, темного параллелограмма, построенного по двум темным) площади -- серый параллелограмм строится по темным строится на рисунке.

Ладно в шортлисте IMO есть прям хорошая задача...

Тоже крепкий орешек по построению(ну или кто-то сроить не умеет).

IMO Shortlist 2023, G-3(https://www.geogebra.org/geometry/encgkzsy)

#IMOSL #IMOSL2023

Условия IMO-2024