Я написал кому-то фразу "примерно полгода назад" и вдруг подумал, что "примерно" в такой фразе - всегда лишнее слово. Ведь никто не подумает, что "полгода назад" означает "в этот же день полгода назад".

Когда замечаю такую педантичность у себя, стараюсь избавляться.

Даю старшему ребенку решать подряд задачки из Сканави (не рассказывайте службе соц. защиты, пожалуйста). Пока что из группы А (самая легкая из трех групп), первые несколько глав. Не дошел еще до тригонометрии, скажем. Но вчера открыл на первой попавшейся странице и посмотрел на первую попавшуюся задачу. Оказалось как раз тригонометрия:

Вычислить

tan20°tan40°tan60°tan80°/cos20°cos40°cos60°cos80°

Смотрю я на это и думаю: неужели я вот этим занимался? Неужели я вот такие щелкал? Неужели я своего ребенка, кровинушку, заставлю так страдать?..

Я перечитывал сейчас роман Доди Смит "I Capture the Castle", о котором написал недавно, и подумал вдруг, что никогда не встречал имя Dodie, кроме как имени этой писательницы - или не запомнил. И буквально на следующий день открыл учебник математики, который читаю (Daniel A. Marcus, "Number Fields") случайно на странице со словами благодарности в начале книги. Вижу - он там благодарит студентку (по-видимому) Dodie Shapiro, за помощь в оформлении книги.

Так что теперь есть два места, где я встречал имя Доди, в двух книгах, которые читал одновременно. И больше нигде. А имя это - сокращенное от Дороти обычно, как я понимаю.

Программисту, который обычно не пишет графические интерфейсы, но тут вот нужно, начиная со второго дня надо платить надбавку за вредность. Еще пока не решил, какую и в каких единицах она измеряется, но надо.

Я в Регенсбурге, и пробуду здесь еще около недели. К сожалению, очень занят по работе, и не смогу выбраться в близлежайщий Мюнхен или еще куда-то, но если кто-то здесь или хочет приехать сюда познакомиться или повидаться, напишите, что-то придумаем. Если у вас будет полчаса времени и желание помочь научным исследованиям и нашему стартапу, мы даже запишем движение ваших глаз.

Здесь очень мило (немецкий городок, 150 тысяч жителей, университет, куча студентов, старый город с церквями и мощеными улицами). Отель, где мы поселились, сохранил отдельные стены и подвалы начала 14 века. В лобби в одном из закоулков, не на видном месте, за стеклом находится мумифицированный труп кошки. Его нашли десять лет назад, когда обновляли одну из этих стен. Оказывается, была традиция. В википедии есть статья, "Dried cat" называется.

R.I.P., Бахыт Кенжеев. Мои глубочайшие соболезнования родным и близким.

Есть нечто в механизме славы – какой-то липкий, как во сне
дефект, как будто для забавы в случайном поршне-шатуне
запрограммировали как бы изгиб, а может быть, надлом,
укромный, как змея под камнем. Томится нищий за углом,
и вся машина ходит шатко, и повторяешь без конца —
что слава! Яркая заплатка на ветхом свитере певца.

Есть что-то в механизме смерти – а я механику учил, —
то приподнимет, то завертит, то выбивается из сил,
то долго жертву выбирает, то бьёт наотмашь, но в конце
концов всё чаще побеждает с ухмылкой кроткой на лице.
И, отдыхая, смотрит в оба, а мы о прошлом не поём,
лишь замираем возле гроба и тихо плачем о своём.

А что до механизма страсти… но, впрочем, вру. На сто частей
разорван, жалок и безвластен, от просветляющих страстей
я так далёк! Должно быть, слишком устал. Печаль моя тесна.
Бежит компьютерная мышка, вздыхает поздняя весна,
и шевелит губами, точно неслышно шепчет мне «прости
за жизнь, потерянную почту, монетку светлую в горсти…»

Много лет назад, до рождения детей, я вместе с Р. полетел в Рим на неделю. Мы там были впервые, все нравилось, всюду ходили.

Как-то раз в середине дня мы оказались на площади Навона, пьяцца Навона. Это огромная площадь в виде овала, по периметру идут дворцы и церкви, в середине фонтаны. Очень туристское место. И везде, везде пиццерии, кафе, рестораны, ну в общем места для туристов.

Мы проголодались, и хотели сесть где-то пообедать. Но не садиться же прямо в какой-то туристской пиццерие прямо на пьяцца Навона! Я увидел, что от площади, кроме основных улиц, вливающихся в нее, отходит много маленьких улочек, которые петляют и уходят вглубь близлежащего района. Всего несколько метров - и ты уже не на шумной площади, окруженный туристами, картами, мобильниками и английским языком, а на тихой мощеной улочке.

Мы прошли по такой улочке всего метров двадцать, и наткнулись на кафе. Но рядом с кафе стояло меню по-английски, официант у входа вежливо обратился к нам по-английски, и внутри сидело явно много туристов. Я сказал Р.: давай пойдем дальше.

Мы прошли еще немного, и после второго поворота улочки оказались у небольшого ресторанчика. Мы сели; на столах лежало меню по-итальянски, и подошедший к нам официант начал говорить по-итальянски, но потом перешел на ломаный английский. С помощью отдельных слов и жестов мы как-то заказали, что поняли из меню и понравилось. Я откинулся на стуле, выдохнул, расслабился, осмотрелся по сторонам. В небольшом ресторанчике, кроме нас, сидело еще наверное пять людей или пар.

Внезапно меня пронзило озарение. Это было именно ощущение, не в словах. Я ощутил, что все эти люди вокруг меня - такие же туристы, как я, пришедшие именно на это впечатление - сесть в итальянском ресторанчике для местных, без английского меню и с официантом, который два слова едва может связать по-английски. И все они получают ровно то, что хотели, и я тоже.

Я подумал, что наверняка все остальные улочки вокруг пьяцца Навона тоже устроены так же: самые кричащие и откровенно туристские места на самой площади, вдоль по улочке - первый уровень, для тех, кто не хочет вот прямо на площади; дальше - следующий уровень местного колорита. Если мы сейчас встанем, выйдем и пойдем дальше по улочке, подумал я, то придем в туристское место для еще более ненавидящих туристские места туристов. И так всюду вокруг. Если ты пришел на пьяцца Навона, ты получишь то, за чем пришел. А уйти с пьяцца Навона невозможно вообще.

Я выдохнул еще раз и остался сидеть на своем месте. Вскоре нам принесли еду, очень вкусную. Мы поели, расплатились, и пошли гулять дальше. После того дня я навсегда поумерил пыл своего отвращения к туристским местам только оттого, что они для туристов. Я стремлюсь выбирать то, что мне удобно или интересно, и не превращать это в моральные или эстетические проблемы. И стараюсь помнить, или хотя бы вспоминать иногда, что никуда не ушел на самом деле с пьяцца Навона.

Отличная статья в архиве Гверна - отчет математика о встрече с 7-летним Теренсом Тао в 1985 году.

(Теренс Тао - один из самых знаменитых математиков наших дней, призер премии Филдса, я не раз давал ссылки на его блог)

Автор статьи встречается с Тао три раза на протяжении двух месяцев, во время первой встречи тому еще не исполнилось восемь. При первой встрече Тао объясняет, что такое ассоциативный, коммутативный, дистрибутивный законы (причем дает нетривиальный пример: в ответ на вопрос "а сложение бывает дистрибутивным по отношению к умножению?" отвечает "только в булевых алгебрах"). Решает всякие задачи, простые и сложные. Знает, что такое группа, но не знает, что такое поле.

Вторая встреча - через месяц. Тао восемь лет. Уже знает, что такое поле. Рисует графики функций, вычисляет простые определенные интегралы, знает про тригонометрические подстановки, но не может решить интеграл посложнее, и не знает первообразную от 1/x. Третья встреча еще через месяц. Решает те интегралы, что раньше не мог, итд.

Хотите почувствовать себя круче семилетнего Теренса Тао? Решите все три следующие задачи правильно - он сделал ошибку в одной из них.

1. Если бы вы решили написать на бумаге все числа от 1 до 99,999, то сколько цифр 1 при этом вам пришлось бы написать?
2. Машина проехала из А к Б со скоростью 20 км/ч, а потом из Б в А со скоростью 30 км/ч. Какой была ее средняя скорость за всю дорогу?
3. В супермаркете осталось 24 мешка картошки, некоторые из мешков весят 15кг, а остальные 9кг. Картошки в мешках по 15кг больше размером, чем в других мешках, и соответственно во всех 24 мешках одинаковое число картофелин. Если общий вес мешков по 15кг равен весу мешков по 9кг, то сколько есть мешков по 9кг?

Из блога Скотта Ааронсона я узнал сегодня, что мы теперь точно знаем значение BB(5) - функции Busy Beaver на 5 состояниях. Это одновременно тривиальная и захватывающая новость. Это что-то, про что я не был уверен, что будет известно в течение моей жизни - хотя полагал вероятным.

Что такое Busy Beaver? Попробую вкратце объяснить.

В информатике есть понятие "машина Тьюринга". Это не настоящая физическая машина из транзисторов, а теоретическая модель. Представьте себе бесконечную ленту, состоящую из ячеек, в каждой из которых может быть записано '0' или '1' (в общем случае можно и больше разных символов, но достаточно двух). Изначально на ленте везде написано '0', и над одной из ячеек находится головка чтения-записи, которая может находиться в одном из нескольких состояний (представьте себе переключатель, который может быть в положении A,B,C или D - это пример 4 состояний). За один шаг головка машины смотрит, что написано на ячейке, над которой она сейчас находится, а потом справляется в "таблице переходов". В таблице написано, например: если ты в состоянии A и видишь 0, то перейди в состояние B, напиши 1, и сдвинься вправо. И так на любую комбинацию "состояние-что я вижу" есть рецепт: в какое состояние перейти, что написать, 0 или 1, и куда сдвинуться, влево или вправо. Потом машина делает следующий шаг по таким же правилам. И так далее, пока она не войдет в состояние, которое заранее считается "конечным", например D, и тогда она останавливается.

В принципе такая модель может выполнять все, что мы считаем "алгоритмом" и поручаем компьютерам. Внутри вашего компьютера (или телефона) есть процессор, который понимает только нули и единицы. И хотя он работает сразу с многими нулями/единицами одновременно, и выполняет сложные программы, все, что он делает, в принципе можно смоделировать как машину Тьюринга (с очень большим числом состояний). Такая машина может получать входные данные не с клавиатуры, а записанные заранее на ее ленте, и выдавать результат не на экране, а тоже на своей ленте. Ученые используют эту модель в основном для того, чтобы доказывать, какие задачи компьютер не может выполнить никогда даже в принципе, или какие алгоритмы принципиально намного быстрее или медленнее других.

В 1962 году венгерско-американский математик Тибор Радо задал следующий вопрос. Обычно для того, чтобы сделать что-нибудь "интересное" машиной Тьюринга, нужно много состояний. Состояния играют роль внутренней логики алгоритма, позволяют машине "помнить", где она находится внутри сложного алгоритма, что она уже выяснила, итд. Но давайте для любого N посмотрим на все возможные машины (т.е. разные таблицы перехода) из N состояний, и что они делают с пустой лентой (все нули). Одни программы быстро остановятся, войдя в состояние остановки; другие войдут в бесконечный цикл, или уйдут "в бесконечность" без цикла - например, будут писать 1, двигаясь все дальше и дальше по бесконечной ленте без возврата. Но есть какая-то машина, которая в конце концов остановится, но после наибольшего числа шагов по сравнению со всеми остальными из N состояний. Такая машина-чемпион называется Busy Beaver. Сколько шагов она сделает перед тем, как остановится, для данного N?

Для очень малого числа состояний, 1-2-3, легко перебрать все возможные машины и посмотреть, что они делают, слишком примитивными они являются. Для 4 состояний максимальное число шагов перед остановкой равно 107, и это доказали в 1983 году. Однако уже 5 состояний позволяют сделать хитрые машины, про которые нелегко понять, они делают что-то бесконечное, или все-таки остановятся рано или поздно. С 1990 года есть кандидат - машина, которая останавливается после 47 миллионов шагов - но чтобы доказать, что она чемпион, нужно перебрать все возможные машины из 5 состояний, а их 16 триллионов! Проблема в том, что нет универсального метода определить, остановится данная машина или нет (это как раз "проблема остановки", которую принципиально невозможно решить с помощью алгоритма). Можно либо запускать ее на симуляторе, желательно очень оптимизированном, делающим миллионы шагов в секунду, и ждать, пока она остановится, либо искать математическое доказательство того, что никогда не остановится - а его надо искать для каждого сложного случая отдельно. К началу 2000-х осталось только около 40 сложных случаев - машин, которые скорее всего никогда не останавливаются, но доказать это пока не могли. В принципе могло бы оказаться и так, что одна из них "моделирует" сложную математическую проблему. Скажем, есть машина из 23 состояний, которая останавливается только если неверна знаменитая гипотеза Гольдбаха, которую никто не может доказать уже несколько сотен лет. Но 5 состояний все же настолько мало, что такое казалось маловероятным. И вот, после нескольких лет усердной работы фанатов этой проблемы в последние годы, им удалось избавиться от всех сложных случаев, и доказать то, что все подозревали - что кандидат 1990 года и есть чемпион. Все технические подробности - на сайте bbchallenge.org!

Проблема Busy Beaver - странная, любопытная штука. С одной стороны, не очень ясно, зачем ей заниматься. Найти общую формулу или метод для любого N невозможно в принципе. Ответ для N=5 никакой конкретной пользы ни для чего не приносит. Ответ для N=6 скорее всего останется недоступен для человечества за все время его существования. Более того, то, как именно сформулирована задача (какое из нескольких определений простой машины Тьюринга используется, например) "все меняет" в смысле ответа и его доступности нашим усилиям, так что задача в любом случае довольно "искусственно" выглядит. И все равно есть что-то притягательное в ней для горстки программистов и математиков, которые продолжали активно работать над ней все эти годы.

Я это хорошо понимаю, потому что много лет назад внес свой крохотный вклад в этот сизифов труд. Тогда был свежий и многообещающий кандидат в ряды Busy Beaver из 6 состояний, который останавливался после 8 квадриллионов шагов (квадриллион это миллион миллиардов), но этот факт еще никто не подтвердил независимо от первооткрывателя этой машины (столько шагов невозможно было запустить "напрямую" симулятором, надо было придумать и написать специальную программу, которая использует логику этой конкретной машины). Я помню, что написал такую программу, подтвердил результат и послал первооткрывателю, но не мог вспомнить сегодня, когда это сделал, думал, что где-то в начале 2000-х. Но потом нашел упоминание, которое все еще лежит на сайте этого человека: "No 2 has been verified independently by Anatoly Vorobey <mellon@pobox.com>
at 20 Sep 1997. He was the first to detect that the original number of steps were one too large (corrected above)."

Я уже 20 лет не пользуюсь этим мейлом. Я забыл, что поправил на 1 количество шагов этого кандидата. Сам кандидат три года спустя был заменен другим, гораздо более крутым по числу шагов, а потом снова и снова - тот кандидат, что есть сейчас, останавливается после невообразимо огромного числа шагов, это число не записать обычными цифрами, не хватит атомов во Вселенной. Но все равно приятно.

BB(5) = 47,176,870

Для программистов. Сегодня час искал баг в старом коде (задолго до меня написан). Код рассчитывает, на каком месте на экране - в пикселях - поставить цель, чтобы она была на заданном угловом расстоянии от центра экрана, с точки зрения наблюдателя на расстоянии ровно в метр от экрана точно по центру. Известны размеры экрана в пикселях и в миллиметрах.

Это чистая и очень простая тригонометрия. Но у меня получается на один пиксель разница с тем, что код раньше посчитал и записал в лог. Никак не могу понять, откуда этот пиксель берется. Округление там в другую сторону. Вычисления все в плавающей точке. Из-за того, как структурирован код и передача данных между компонентами, вычисления проводятся немного муторно, по сути лишний раз делается тангенс/арктангенс в середине. Может, это как-то накапливает ошибку? - но вроде не должно настолько.

Я напихал всюду отладочные сообщения, перезапустил, сравнил все с ручным пересчетом... и наконец нашел в самом последнем месте, которое и в голову не приходило. См. картинку.

Нашли это пару недель назад на пустой парковке недалеко от офиса.

Обратите внимание, что коробочка пустая. Так что the AI is out of the box. Не говорите потом, что я не предупреждал.

Р. пересматривает абсолютно все экранизации "Джейн Эйр" под предлогом того, что хочет решить, какую из них показать старшему ребенку.

Эндрю Гельман, статистик (я читаю его блог уже лет 15), недавно написал небольшую, но очень хорошую запись о Джоне Маркванде, американском писателе, который совершенно забыт, а в середине 20 века был одним из самых читаемых.

"I’m a big Marquand fan, but I know he’s been forgotten. Indeed, Teachout writes, “Twenty-seven years after Marquand’s death, he is very dead indeed. His books are neither read nor remembered.” And that was in 1987!"

Он дает ссылку на статью 1987 года о Маркванде, тоже интересную, а также на свою запись двухлетней давности, которая упоминает Маркванда, но в основном посвящена подробному отзыву на "Стоунер" Джона Уильямса, роман, который пережил неожиданное возрождение из безвестности в 2000-х, через 40 лет после первоначального выхода в свет. Гельман о университетской политике:

"The nightmarish feeling where you’re just doing your thing and all of a sudden it turns out that you’re in the way of someone else’s power play."

"Стоунер" хороший роман, хоть и перехваленный. Маркванда я ничего не читал и действительно даже и не слышал о нем. Возможно, стоит попробовать. Гельман размышляет, на примере, Маркванда, о том, что все, что мы делаем, будет забыто:

"Sad. But that’s the way it goes. Here I am writing 400 blog posts a year, really pouring my heart out here, and it will all be forgotten. Art Buchwald wrote a funny column every day for decades—he was a local celebrity—and now he’s only remembered for writing the first version of Coming to America. Yeah, I know, Ozymandias and all that. Still, I agree with Teachout that Marquand deserves to be better remembered."

Ссылки:
- Гельман о Маркванде: https://statmodeling.stat.columbia.edu/2024/06/27/marquand/
- Гельман о "Стоунере": https://statmodeling.stat.columbia.edu/2022/11/06/stoner/
- Тичаут о Маркванде: https://www.commentary.org/articles/terry-teachout/justice-to-john-p-marquand/

Дядька за 60 поет "Мы купались неглиже" - воспоминания о студенческой юности. Может, этой безыскусной прозрачностью, или еще чем-то, но мне эта песня нравится.

https://www.youtube.com/watch?v=UE0FJFW2yV8

Прочувственные слова в конце

Годы скачут, как драже
По дубовому паркету,
Их из Божьего пакета
Столько выпало уже -
На последнем вираже
Станем толсты и учены,
Помянем тогда о чем мы?
Да о том, как в море Черном
Мы купались неглиже!

напомнило, каким-то душевным движением, любимое "Рондо" Ли Ханта:

Jenny kissed me when we met,
Jumping from the chair she sat in;
Time, you thief, who love to get
Sweets into your list, put that in!
Say I’m weary, say I’m sad,
Say that health and wealth have missed me,
Say I’m growing old, but add,
Jenny kissed me.

Аналогия неточная, потому что Дженни целует уже старого Ханта, а Егоров вспоминает молодого себя, и все же, и все же...

Я построил плейлист в Spotify из избранных песен "Битлз" - чтобы дети слушали (не будут) и знали хоть немного (не узнают). Силой ограничил себя временем в один час примерно - если я их подкуплю чем-то, может, с часом они справятся.
Вот моя подборка. Можете рассказать мне, почему я ничего не понимаю в музыке "Битлов", и не включил самые главные песни, а поставил всякую попсу вместо этого.
1. Girl
2. Let It Be
3. Help!
4. Strawberry Fields Forever
5. Can't Buy Me Love
6. Hey Jude
7. Penny Lane
8. She Loves You
9. Lucy In The Sky With Diamonds
10. All You Need Is Love
11. Here Comes The Sun
12. Eleanor Rigby
13. Michelle
14. While My Guitar Gently Weeps
15. Norwegian Wood (This Bird Has Flown)
16. Something
17. In My Life
18. Hello, Goodbye
19. Yesterday
20. With A Little Help From My Friends
21. Yellow Submarine

(может быть интересно математикам и сочувствующим)

Я медленно читаю учебник алгебраической теории чисел (Marcus, Number Fields), просто для души. Очень нравится, как он написан, подача материала, мотивирование читателя, все такое.

При этом у меня возникла такая мысль. В процессе изучения разных конечных расширений Q автор постоянно пользуется тем фактом, что мы знаем те или иные алгебраические числа в качестве членов R или C, можем делать с ними всякие вычисления итд. В этом нет ничего плохого, но мне кажется, что в каком-то смысле это "поверхностное удобство", за которым нет глубокой нужды в этих огромных полях. Наверное, в аналитической теории чисел это совсем не так, но в алгебраической, по крайней мере в начале, должно быть возможным обойтись вообще без действительных и комплексных чисел.

Скажем, круговые поля в тексте вводятся как Q[e^(2pi*i/n)]. Это удобно: сразу очевидно, что присоединяемый элемент - n-ный корень единицы и не является m-ным корнем единицы ни для какого m<n. Мы просто "видим" это на комплексной плоскости. Но можно было бы сказать: посмотрим на многочлен x^n-1 и его поле разложения над Q. В нем нет кратных корней, так что их всего n, и поскольку они образуют конечную группу по умножению, она циклична и есть порождающий элемент. Он и будет примитивным корнем единицы порядка n, и круговое поле получаем, присоединив его, итд.

Интересно, можно ли всю книгу переписать так, вообще не упоминая R и C, и не пытаясь никаким образом "положить" алгебраические числа на числовую прямую или комплексную плоскость. Я не знаю ответа на этот вопрос - я пока ближе к началу книги, чем к концу. А может, есть учебники, именно так и написанные?

===========

Чтобы не вставать дважды, упомяну, что на днях узнал о забавном способе построения действительных чисел, отличающемся от сечений Дедекинда и фундаментальных последовательностей (Cauchy sequences). Назовем f:Z->Z почти линейной, если множество значений f(a+b)-f(a)-f(b) по всем a,b \in Z ограниченно (или конечно, что одно и то же). Две таких функции f,g эквивалентны, если множество значений f(x)-g(x) ограниченно. Классы эквивалентности и есть действительные числа.

Подробности см. тут, а в этой обзорной статье приведены все известные построения действительных чисел, около 20 (хотя некоторые из них морально эквивалентны метрическому пополнению).