Richard Hammack, Book of Proof. Замечательный текст для первокурсников для чтения о том, как писать математику

Простые числа Вифериха — это когда 2^{p-1} это 1 не только по модулю p (это всегда), а когда 1 по модулю p^2. Из abc-гипотезы следует, что много простых НЕ такие.

Таких чисел всего два известно: 1093 и 3511. Был большой коллаборативный проект, где проверили, что других нет до 10^19. Гипотеза, что их бесконечно много, но третьего не нашли пока...

Прикольно, что с помощью ИИ можно написать быстро (и правильно!))) работающий код, который побыстрее это всё перебирает, и до 10^14 можно прям за часик посчитать (сразу по многим базам, чем я сегодня и занялся). Есть страничка, где много вычислено. Запущу свой код на пару месяцев на ненужном компе, вдруг что-нибудь ещё найдёт.

Попробовал посчитать также для гауссовых целых, но там получается прямо ровно то же самое, что для целых, нет никаких новых примеров (что само по себе удивительно).

Covering system это прикольная штука, типа такой:

любое целое число:
либо делится на 2
либо делится на 3
либо имеет остаток 1 от деления на 4
либо остаток 1 от деления на 6
либо остаток 11 от деления на 12.

Эрдеш это придумал, чтобы указать бесконечную арифметическую прогрессию нечётных чисел, никакое из которых не равно p+ 2^k (где p — простое).

Ясно, что необходимо, чтобы сумма обратных к числам, по модулю которых берём остатки, была больше 1. Но этого совершенно недостаточно. Например, сложно даже построить такую систему, где наименьший модуль большой (например, 40). В 2015 доказали, что вообще минимальный модель ограничен сверху.

А мне нужно несколько таких (почти) непересекающихся покрывающих последовательностей (четыре). И как-то не найти.