ویدئوهای جلسه‌ی بیست و ششم (بخش اول و دوم) در آپارات بارگذاری شد.
جلسات بعدی هم در همین کانال منتشر خواهد شد.
#ویدئو

نام اشیا در یک ساختار ریاضی مطلقا فاقد اهمیت است و به همین دلیل انتظاری طبیعی است که تصور کنیم دو ساختار یکریخت باید در "همه‌"‌ی ویژگی‌هایشان یکسان باشند، یعنی اگر A و B دو ساختار یکریخت باشند، آنگاه برای هر ویژگی P(X) داشته باشیم P(A) اگر و تنها اگر P(B). اما اگر قرار باشد همه‌ی رفتارهای مثلا دو گروه یکریخت G و H یکسان باشند، در این صورت برای ویژگی P(X) که می‌گوید X=G، از آنجایی که G=G باید داشته باشیم G=H. بنابراین یا دو گروه یکریخت نمی‌توانند در همه‌ی ویژگی‌هایشان یکسان باشند یا این معنای تساوی است که باید تغییر کند...
#معرفی‌مقاله

دوستان عزیز،

فایل‌ درس‌نامه‌ی جلسه‌ی بیست و هفتم رو به کانال اضافه کردیم. #درس‌نامه

ویدئوهای جلسه‌ی بیست و هفتم (بخش اول و دوم) در یوتیوب بارگذاری شد.
جلسات بعدی هم در همین کانال منتشر خواهد شد.
#ویدئو

ویدئوهای جلسه‌ی بیست و هفتم (بخش اول و دوم) در آپارات بارگذاری شد.
جلسات بعدی هم در همین کانال منتشر خواهد شد.
#ویدئو

تصور کنید ریاضیدانی هستید که لزوما علاقه‌ای به مبانی ریاضیات و مسائل فلسفی مرتبط با آن ندارد و تنها حاضر است مفاهیمی را مطالعه کند که به دلیل نیازهای درونی ریاضیات روزمره مطالعه‌ی آن‌ها اهمیت دارد. حال، آیا ریاضیات ساختی (نه ساختارگرایانه) چیزی برای جلب توجه شما خواهد داشت؟ در مقام مقایسه این سوال شبیه آن است که بپرسیم آیا هندسه‌ی نااقلیدسی برای کسی که به استقلال اصل پنجم اقلیدس و مسائل منطقی-فلسفی مرتبط با آن علاقه‌ای ندارد، مطلقا فاقد اهمیت است؟

وقتی در هندسه‌ی نااقلیدسی می‌گوییم که (۱) "از هر نقطه‌ی خارج یک خط می‌توان حداقل دو خط موازی با خط اول ترسیم کرد" یا (۲) "از هر نقطه‌ی خارج یک خط نمی‌توان هیچ خط موازی‌ای با خط اول ترسیم کرد" آیا این‌ها تنها یک بازی منطقی-فلسفی در نقض کردن یک اصل آشنای هندسی است یا چیزی که هندسه‌ی نااقلیدسی را مهم می‌کند نه این تقابل با اصل پنجم که توانایی این هندسه است در ارائه‌ی توصیفی اصل موضوعی از جهان‌هایی آشنا در ریاضیات؛ جهان‌هایی چون نقاط درون یک دایره که در آن منظور از "خط" وتر دایره است (۱) یا نقاط روی کره که در آن "خط" به دایره‌ای عظیمه تعبیر می‌شود (۲).

آیا هندسه‌ی نااقلیدسی در واقع تلاشی نیست برای توصیف این جهان‌ها، تنها با ارجاع به درون آن‌ها و بدون نشاندن آن‌ها در فضایی اقلیدسی؟ به همین سیاق، آیا نمی‌توان گفت که احکام عجیب و غریب ریاضیات ساختی تلاشی هستند برای توصیف اصل موضوعی جهان‌هایی آشنا در ریاضیات، بدون ارجاع به دنیای بیرون آن‌ها و بدون نشاندن آن‌ها در دنیای مجموعه‌ها؟ مثلا در توصیف جهان متناظر با نظریه‌ی محاسبه که در آن همه ‌چیز (از جمله زیرمجموعه‌های اعداد طبیعی) محاسبه‌پذیر است، آیا این که ریاضیات ساختی اصل طرد شق ثالث (هر گزاره یا درست است یا نادرست) را رد می‌کند تنها بیان این حکم آشنا نیست که برخی زیرمجموعه‌های اعداد طبیعی محاسبه‌ناپذیرند و در نتیجه نمی‌توان به شکلی محاسبه‌پذیر درباره‌ی درستی گزاره‌ی "عدد x عضوی از زیرمجموعه‌ی مذکور است" تصمیم گرفت؟ یا در توصیف جهان هندسی که در آن همه چیز (از جمله همه‌ی توابع از اعداد حقیقی به فضای گسسته‌ی صفر و یک) پیوسته است، این که گونه‌هایی از ریاضیات ساختی به این حکم عجیب معتقدند که "مجموعه‌ی اعداد حقیقی را نمی‌توان به شکل اجتماع دو زیرمجموعه‌ی مجزا و ناتهی نوشت" آیا تلاشی نیست برای بیان اصل‌موضوعی این مطلب که فضای اعداد حقیقی همبند است و نمی‌توان از آن تابعی پیوسته به فضای گسسته‌ی صفر و یک تعریف کرد؟ آیا اهمیت ریاضیات ساختی در توصیفی نیست که می‌تواند از ساختار و قوانین درونی جهان‌های آشنای ما مشتمل بر جهان محاسبه‌پذیر، جهان پیوسته، جهان مشتق‌پذیر و غیره ارائه کند بدون آن که لازم باشد آن‌ها را در دنیای مجموعه‌ها بنشاند؟
#معرفی‌مقاله

دوستان عزیز،

فایل‌ درس‌نامه‌ی جلسه‌ی بیست و هشتم رو به کانال اضافه کردیم. #درس‌نامه

ویدئوهای جلسه‌ی بیست و هشتم (بخش اول و دوم) در یوتیوب بارگذاری شد.
جلسات بعدی هم در همین کانال منتشر خواهد شد.
#ویدئو

ویدئوهای جلسه‌ی بیست و هشتم (بخش اول و دوم) در آپارات بارگذاری شد.
جلسات بعدی هم در همین کانال منتشر خواهد شد.
#ویدئو

آنالیز نااستاندارد شاخه‌ای متاثر از نظریه‌ی مدل‌هاست که در آن مدل‌هایی نااستاندارد از اعداد حقیقی ساخته و مطالعه می‌شوند که در آن‌ها میدان اعداد حقیقی در معنای معمول آن به میدانی گسترش می‌یابد که اعدادی نااستاندارد موسوم به بینهایت کوچک‌ها‌ و بینهایت بزرگ‌ها‌‌ را هم شامل شود. به دلیل حضور همین بینهایت کوچک‌هاست که در این مدل‌ها کار با مفاهیم آنالیزی چون پیوستگی و مشتق‌پذیری آسان‌تر شده و به تعبیری آنالیز به جبر محض فرومی‌کاهد. (مثلا تابعی پیوسته است که در هر نقطه میزان تغییرات تابع برای هر تغییر بینهایت کوچک در ورودی، بینهایت کوچک باشد).

عموما برای کار با این مدل‌های نااستاندارد، مختصری از منطق ریاضی و نظریه‌ی مدل‌ها مفروض گرفته می‌شود که برای آشنایی اولیه آن چنان هم مورد نیاز نیست. در مقاله‌ای که در ادامه می‌بینید ساختمانی نااستاندارد از اعداد حقیقی به شکلی ملموس ارائه می‌شود که در آن از به کارگیری مفاهیم نظریه‌ی مدل‌ها به عمد خودداری شده و تنها اندکی از نظریه‌ی حلقه‌ها به کار گرفته می‌شود که در ابتدای مقاله نیز یادآوری شده است. #معرفی‌مقاله

دوستان عزیز،

فایل‌ درس‌نامه‌ی جلسه‌ی بیست و نهم رو به کانال اضافه کردیم. #درس‌نامه

ویدئوهای جلسه‌ی بیست و نهم (بخش اول و دوم) در یوتیوب بارگذاری شد.
جلسات بعدی هم در همین کانال منتشر خواهد شد.
#ویدئو

ویدئوهای جلسه‌ی بیست و نهم (بخش اول و دوم) در آپارات بارگذاری شد.
جلسات بعدی هم در همین کانال منتشر خواهد شد.
#ویدئو

آیا نظریه‌ی رسته‌ها به منزله‌ی "حساب مجرد تبدیلات" می‌تواند برای فرایندها، ترکیبات (سری و/یا موازی) و ویژگی‌های آن‌ها (وارون‌پذیری، تحویل‌ناپذیری و غیره) که مفاهیمی بنیادین در علومی کاربردی‌ چون فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و زبان‌شناسی هستند، مدلی ساختارگرایانه ارائه ‌کند که در آن فهم یک فرایند به فهم ساختمان‌های اساسی، رفتارهای نسبی آن‌ها و نحوه‌ی ترکیب شدن این اجزا فروکاسته ‌شود؟ نظریه‌ی کاربردی رسته‌ها تلاشی متاخر در این راستاست. #معرفی‌مقاله

دوستان عزیز،

فایل‌ درس‌نامه‌ی جلسه‌ی سی‌ام رو به کانال اضافه کردیم. #درس‌نامه

ویدئوهای جلسه‌ی سی‌ام (بخش اول و دوم) در یوتیوب بارگذاری شد.
جلسات بعدی هم در همین کانال منتشر خواهد شد.
#ویدئو

ویدئوهای جلسه‌ی سی‌ام (بخش اول و دوم) در آپارات بارگذاری شد.
جلسات بعدی هم در همین کانال منتشر خواهد شد.
#ویدئو

دوستان عزیز،

فایل‌ درس‌نامه‌ی جلسه‌ی سی‌ و یکم رو به کانال اضافه کردیم. #درس‌نامه