О том как одиночные атомы фотографирую (spin-resolved)
#coldatoms #masterthesis@qdiag

Всё это происходит в рамках аналогового квантового симулятора, когда систему электронов, моделируем системой атомов. И на самом деле электроны разного спина |↑⟩ и |↓⟩ это скорее просто [1] два различимых типа фермионов. Так что чтобы воспроизвести это на атомах достаточно иметь два различимых типа фермионных атомов, что достигается просто положением электрона у них в двух разных конфигурациях.

На fig 1 видна система уровней ⁶Li и их расщепление во внешнем магнитном поле. Удобно работать с атомами, когда они находятся в |1⟩ и |2⟩ состояниях [2], где мы их и приготавливаем. А потом для фотографирования мы через две антенны (радиоволновую и микроволновую) отправляем их в stretched состояния |3⟩ и |6⟩.

Когда светим на атомы резонансным светом (смесью σ₊ и σ₋ поляризаций), они флуоресцируют, и |3⟩ в σ₋, а |6⟩ в σ₊. Остается поставить λ/4 пластинку и поляризационный кубик, и мы пространственно разделили свет от двух разных спинов. Сфокусировав свет на разных областях камеры получаем fig 5.

P.S. Через [1], [2] отметил места, которые поясню в комментариях.
P.P.S. Если хотите дать обратную связь, то пусть ничего непонятно это 👀, а понятно это 🐳

О том какие на улице бывают лампы
(или о дифракции в домашних условиях)

Ночь, улица, фонарь, дождь, белый и монохроматичный свет.

Сегодня вечером от дождя на очках у меня образовались капельки, которые вполне себе неплохие линзы. И всматриваясь в сторону желтых ламп увидел характерные дифракционные паттерны. Действительно, теплый свет на улице зачастую идет от натриевых ламп высокого давления, спектр которых имеет узкий пик на 589 нм (дублет D-линий натрия).

Сфотографировав уличную лампу через очки с капельками, получаем прекрасную демонстрацию волновой природы света. На графике как раз приведен получившийся на капельке паттерн дифракции на полуплоскости!

P.S. Совсем другая история с белыми лампами, гораздо более широкого спектра. Белый свет составной, у разных длин волн максимумы будут в разных местах, из-за чего дифракционная картинки размывается и становится околонулевой контрастности. Вы можете разглядеть первый максимум, а вот потом всё. Для натриевой лампы, для сравнения, было видно около 7 осцилляций.

О том как числа быстро перемножать
(или о Карацубе и FFT)

Наивная реализация столбиком требует O(n²) операций. Но давайте разобьём числа на две части длины m=n/2:
(2ᵐa₀+a₁)(2ᵐb₀+b₁) = 2ⁿ(a₀b₀)+2ᵐ(a₀b₁+a₁b₀)+2⁰(a₁b₁)

Итого вместо одного n-bit умножения, у нас четыре (n/2)-bit умножения, пока чуда не случилось. Но давайте перегруппируем (как тут для матриц)
a₀b₁+a₁b₀=(a₀+a₁)(b₀+b₁) - a₀b₀ - a₁b₁

И у нас получилось уже всего три (n/2)-bit умножения! Повторяя процедуру рекурсивно получим алгоритм Карацубы 1960 года работающий за О(n^log₂3), то есть О(n^1.58).

Мы могли разбить числа не на две части, а например на n/8 частей длины 8 bit. Тогда результат умножения двух чисел это результат умножения двух полиномов с основанием х=2⁸. А это можно сделать эффективно через FFT за O(n log n), что и предложили в 1968 году. Правда, как понял, накладные расходы на Фурье приводили к O(n × log n × log log n), так что формально только в 2019 году была опубликована реализация за O(n × log n), но это представляло больше теоретический интерес, на практике используют версию 1968 года)

P.S. Про FFT и умножение полиномов очень советую этот элегантный рассказ, а потом тут можете найти подробнее про Карацубу)
P.P.S. Алгоритм 1968 года это работа того же Штрассена, что и предложил способ умножать матрицы за O(n^2.8)

Я тут сделал небольшую головоломку (и мой первый сайт)!

Но пока не понимаю как оценивать сложность получающихся задач. Можно регулировать размер доски и количество слагаемых, но даже когда они зафиксированы всё равно возникают задачи очень разной сложности.

Если некоторая конфигурация покажется особенно интересной, то можете прислать код задачи (есть в настройках) через feedback. Можете попробовать решить 841204FBA4F939366B3. Буду рад обратной связи)

P.S. Внизу показаны миникарточки слоёв, они выбираются нажатием. Итоговый результат получается через их сумму (по mod 2 или булеву).

Закончил магистрский диплом!

По мотивам некоторых постов выше сложился диплом про кусочки аналогового симулятора для Ферми-Хаббарда. Я, из основного, сделал штуку которая фотографирует отдельные атомы (с учётом их электронной конфигурации), написал для неё ПО, написал ПО для штуки которая управляет двухмерным массивом оптических пинцетов и придумал как в них загружать произвольные конфигурации атомов с учётом их спина, так раньше не умели. А ещё написал под GPU пакет для численного моделирования многочастичной системы.

Я доволен)

P.S. К слову игра BMF как раз возникла в контексте задачи загрузки массива пинцетов.

О гамильтониане Ферми-Хаббарда
(fermions vs. hard-bosons)

Недавно делал семинар по численным методам, в том числе с ответом на вопрос о разнице между хард-бозонами и фермионами. Мы рассматриваем частицы на решётке. Если взять бозоны и выкрутить энергию на узле в +∞, то эффективно числа заполнения будут {0,1}, как и у фермионов. Будет ли в плане динамики между ними разница?

Разница будет, если у нас случится перепрыгивание одной частицы через другую (второй слайд) — в матричном элементе гамильтониана возникнет знак минус. Действительно, мы можем рассматривать базисные состояния, как вакуум на который подействовали операторами рождения (первый слайд). А если происходит такое туннелирование, то нужно упорядочить состояние, чтобы выразить результат через наш базис. Для бозонов на разных узлах операторы коммутируют и про упорядочивание можно не думать, а вот для фермионов они антикоммутируют AB=-BA. Так что когда фермион туннелирует, то в матричном элементе возникает множитель (-1)^{# частиц через которые перепрыгнули}.

К слову в одномерном случае таких перепрыгиваний не будет, так что гамильтонианы будут идентичными. Это позволяет сводить 1d спиновые цепочки к невзаимодействующим фермионам (Jordan-Wigner transforamation), которые легко решаются)

P.S. Да, фермионы подразумевал спин-поляризованные (неразличимые)

О сложности судоку
(или о хороших головоломках)

Что значит, что задача сложная? Возьмём к примеру судоку. С точки зрения компьютера мы могли бы запустить DFS и дальше размер дерева поиска решения и был бы сложностью. То есть пробуем поставить в пустой квадрат цифру, двигаемся дальше и если приходим к противоречию, то понимаем ошибочность предположения. Guess and try. Но делать так самому не очень интересно.

Вообще хорошее судоку составлено так, что каждый следующий шаг может быть получен из некоторых логических соображений. Например на картинке видно, что в одном из жёлтых квадратов должна стоять 6, поэтому в зелёном её быть не может — там 3. Так что решение сводится к тому что ищется некоторый паттерн, и если нашли то можем уменьшить пространство вариантов (хороший зоопарк паттернов).

Получается сложность сводится к самому сложному паттерну, необходимого для решения. Так и сделал у себя на сайте (картинка с него же). Делаем солвер с техниками (или берём готовый): генерируем возможное заполнение (их всего 5.5B с точностью до симметрий), убираем подсказки до минимального набора (убрать любую следующую приведёт к потере единственности решения) и дальше смотрим каким набором паттернов это решается.

В общем предлагаю вниманию мой минималистичный сайт с 5 уровнями сложности и автоматизированными заметками (включите в настройках prefill, auto clear и нажмите new game):

https://qdiag.xyz/sudoku/

Фракталы Ньютона
(возвращение к старому)

Маленькая, но довольно интересная вещь.

Напоминание:
Метод Ньютона для поиска корней функции f(x) заключается в последовательном применении к некоторому исходному значению x₀ отображения
xₙ₊₁ = xₙ – f(xₙ) / f'(xₙ).
При "хороших" f и x₀ последовательность {xₙ} сходится к одному из корней f.

Если применять метод Ньютона для
f(x) = x² + 1,
начав с некоторого вещественного x₀, то вроде бы ничего особо интересного не получим. Точки будут скакать туда-сюда (рис. 1).

Но метод Ньютона работает много над какими полями, в частности над комплексными числами.

Если начать с
x₀ = 1 + i,
последовательность быстро сойдётся к i (рис. 2), а если, скажем, с
x₀ = 5 – 2i,
то к –i (рис. 3).
Несложно доказать, что области, откуда последовательность будет приходить в соответствующий корень, выглядят очень просто: это верхняя и нижняя полуплоскость.
На рис. 4 каждая точка из решётки, приближающей квадрат со стороной 2 вокруг нуля, окрашена в цвет, отвечающий тому корню, куда придёт последовательность.
Этот результат понятен, и ясно, как обобщить его на произвольный многочлен второй степени.

А что будет, если корней больше?

Получатся (просто по определению) множества Фату для рассматриваемого отображения. Это фрактальные множества, которые можно нарисовать численно, просто беря точки из решётки.
Два примера показаны на рис. 5 и 6.
Можно заметить, что отображения всегда выглядят довольно просто:
xₙ₊₁ = xₙ – ( Σᵢ (xₙ – rᵢ)⁻¹ )⁻¹,
где {rᵢ} — корни f.

Точки, не попавшие ни в одно из этих множеств Фату, образуют множество Жюлиа (рис. 7 и 8). В самом первом примере это множество было просто вещественной осью (это, разумеется, самый лучший одномерный фрактал).

Описанные картины называются (довольно естественно) фракталами Ньютона.

В комментариях .nb, в котором можно построить что-нибудь своё. Правда, вы не найдёте там каких-то продвинутых погромистских методов.